L'irrationalité de racine de deux

On peut par exemple considérer $(\sqrt{2}-1)^n=a_n\sqrt{2}+b_n$ où $a_n$ et $b_n$ sont entiers et passer à la limite.

Je signale aussi la preuve géométrique d'Apostol

http://www.math.uic.edu/~lewis/mtht430/apostol.pdf

Une autre méthode alternative : on suppose que $\sqrt 2 \in \mathbb {Q}$ et soit $q$ le plus petit entier $\geqslant 1$ tel que $q \sqrt 2 \in \mathbb {N}$. Notons $p := q \sqrt 2 - q$. On a :

(i) $p \in \mathbb {N}$ et $p < q$.
(ii)$p \sqrt 2 \in \mathbb {N}$.

Ainsi, cet entier $p$ est $< q$ et vérifie $p \sqrt 2 \in \mathbb {N}$, ce qui contredit la définition de $q$.


Borde.

Je confirme. En fait, je crois que cela a ete applique d'abord au pentagone et au nombre d'or...
C'est bien explique dans un des bouquins de Marc Guinot (Arithmetique pour amateurs, vol.1 ou 2, je ne sais plus)

Bonjour à tous.

Je vois des preuves qui reviennent à la preuve par l'absurde (" Si c'est un rationnel, etc."). Une vraie preuve "directe" utiliserait un critère d'irrationalité qui lui même serait établi sans utiliser une preuve du genre "si x est rationnel, etc.". Je n'en connais pas. Et vous ?

Cordialement.

NB : Difficile de faire une preuve autre que par l'absurde (ou par contraposition) du fait que un objet mathématique n'est pas d'un cas simple.

Ni la démonstration de l'irrationalité du nombre d'or avec le pentagone ni la démonstration à laquelle fait référence Michel Coste ne sont attestées avant Euclide. Il est vraisemblable, néanmoins, que la démonstration précédente existait, car le procédé pouvait être issues de la théorie musicale,
mais dans le cas de quantité irrationnelles elle nécessite une suite d'opérations infinies, or les grecs ont toujours rejeté la notion d'infinie.
En revanche, Aristote qui précède Euclide, fait référence à une démonstration par l'absurde pour démontrer l'irrationnalité de la diagonale:

On prouve par exemple, l'incommensurabilité de la diagonale, par
cette raison que les nombre impairs deviendraient égaux aux
nombres pairs, si on posait la diagonale commensurable; on tire
alors la conclusion que les nombres impairs deviennent égaux aux
nombres pairs, et on prouve hypothétiquement l'incommensurabilité
de la diagonale par ce qu'une proposition fausse découle de la
proposition contradictoire. Car tel est, le raisonnement par
l'absurde : (...)
Aristote Premier analytique, I,24,41

Pour plusieurs autres raisons, il semble ainsi que les premiers géomètres aient préféré ce type de démonstration (par l'absurde), qui, entre autres choses, paraissaient plus convaincantes.

Référence: Les débuts des mathématiques grecques, Arpad Szabo,
Vrin, 1977.

Bonsoir

à la coquille près que la fraction continue mentionnée dans le message de jean l'ismonde est le nombre d'or, c'est me semble-t-il toujours une preuve par contrapposition de :
si un nombre est rationnel alors son développement en fraction continue est fini.

Comme GERARD à la maison, je ne connais pas de version directe et suis curieux de savoir si cela existe.

S

Théorème :

Si pour $x>0$ réel il existe 2 suites d'entiers strictement positifs $p_n$ et $q_n$ telles que $\lim_{n\rightarrow\infty}q_n\,x-p_n=0$ alors $x$ est irrationnel. On peut le démontrer par l'absurde (:P) mais il me semble que cela peut se montrer autrement (un irrationnel ne peut pas être trop bien approché par des rationnels).

Application du théorème : $(\sqrt{2}-1)^n=a_n\sqrt{2}+b_n$, où $a_n$ et $b_n$ sont entiers non nuls, et tend vers zéro lorsque $n$ tend vers l'infini. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.Si on tient le théorème pour acquis alors cette démonstration n'est pas par l'absurde. Mais on peut chipoter longtemps.

Pour ceux qui veulent en savoir plus sur cette belle constante, Benoit Rittaud a consacré une grande partie de sa vie à racine de 2 :

\lien{http://www.math.univ-paris13.fr/\~{}rittaud/RacineDeDeux}

[Activation du lien. AD]

Bonsoir

PB pour réponse (mais mon ignorance est infinie)

(p/q)² n'est jamais égal à deux, une version directe me donnerait l'écart en fonction de p et q par exemple. Pouvez-vous me donner cet écart et me montrer qu'il est toujours non nul?

S

Edit : correction de faute d'ortographe

nicola.patrois,

Pourrais-tu développer un petit peu...

Pour moi, si mon langage contient $x\in\Q$, et si j'ai droit à la négation, mon langage contient aussi $\neg x\in\Q$ ; le tiers exclu, c'est pouvoir affirmer que mon langage contient $(x\in\Q) \vee (\neg x\in\Q)$.

Si l'on déduit $\perp$ de $x\in \Q$, on montre $x\in\Q \Rightarrow \perp$, on établit le théorème $\neg x\in\Q$, sans utiliser le tiers exclu (à moins de l'avoir utilisé de façon intermédiaire dans la démonstration...).

Par contre, si l'on prend comme hypothèse $\neg\neg x \in\Q$, on fait un raisonnement par l'absurde, et l'on a peut-être besoin du tiers exclu pour utiliser $\neg\neg x \in\Q \Rightarrow x\in\Q$.
Encore que, si l'on montre $\neg\neg x\in\Q \Rightarrow \perp$, on établit $\neg\neg\neg x \in\Q$, et il me semble bien que l'on a $\neg\neg\neg x \in\Q \Rightarrow \neg x\in\Q$ sans le tiers exclu. On a finalement le théorme $\neg x\in\Q$.

[La commande \verb=\bottom= ne semble pas connue du forum :-(. AD]

Pour Samok :

Le théorème de Liouville sur la mauvaise approximation diophantienne des nombres algébriques dit qu'il existe une constante $c>0$ telle que, pour tout nombre rationnel $p/q$, on ait
$$ \left| \sqrt{2} -\frac{p}{q} \right| \geq \frac{c}{q^2}\;.$$
En regardant la démonstration (qui n'utilise pas plus que l'inégalité des accroissements finis), on voit qu'on peut prendre $c=1/5$.

Pour l'aspect logique : d'accord avec PB et gb pour dire que la démonstration n'utilise pas le "principe du tiers exclus", mais uniquement la règle intuitionniste d'introduction de la négation, qui s'écrit dans le calcul des séquents

$$\frac{\Gamma, A \vdash \perp}{\Gamma\vdash\neg A}$$

Cordialement,

MC

[edit: correction coquilles orthographiques + logique]

Bonsoir,

Michel Coste, je n'ai pas compris la fin mais le début répond complètement à ce que j'attendais, merci.

S

Bonsoir,

$\perp$ signifie "faux" et $\vdash$ "démontre".

Teg

Tout cela est trop complique pour faire confiance a wikipedia.

Faisons confiance a Michel Coste.
Comme de toutes facons, j'ai encore plus horreur de la logique que de la geometrie descriptive, ce n'est pas un probleme.

Comme l'a fait remarquer Gérard, à partir du moment où on définit un irrationnel comme un non rationnel, on utilise le principe du tiers exclu

C'est exactement le contraire: si on définit "irrationnel" par "ne pas être rationnel", on n'utilise pas l'axiome du raisonnement par l'absurde, puisque qu'on prouve intuitionnistiquement "si racine de 2 rationnel alors tout"

Par contre, évidemment, il faut préciser quelles sont les notions premières pour que le thème de ce fil ait un sens formel. Si "irrationnel" est une notion première et que rationnel:="non irrationnel", ça change la réflexion (peut-être pas le résultat).

L'argument classique (consistant à montrer pourquoi si une fraction vaut racine de 2 alors elle n'est pas irréductible) livre une contradiction* avec le fait que tout rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction irréductible. Mais ce dernier fait est-il un axiome, un théorème, ... ?

Dès lors qu'on mélange de la récurrence et l'axiome du RPA (ou non) il peut vite devenir ambigu de savoir si on a établi tel ou tel énoncé sans usage du RPA

Rappel formels:

l'axiome du RPA dit: [(A-->tout)-->tout]-->A (autrement dit, non(non(A) entraine A)

La version (intuitionnistiquement) équivalente sans utilisation de "tout" et de "non" s'appelle l'axiome de Pearce: [(A-->B)-->A]-->A

Les équivalences entre le RPA et le tiers exclus sont des exercices (à faire, surement avant de se demander pour racine de 2)

Soit r un rationnel: soit (a/b=r) avec a,b entiers, et b>0 minimum possible (axiome du genre récurrence utilisé). (a/b) est "irréductible" (sans RPA?). En supposant que r²=2, on obtient l'implication (a/b) irréductible --> tout. Et donc tout.

Est-ce que c'est satisfaisant? Est-ce que ça répond à la question?

irrationnel= non rationnel
impair=non multiple de 2

a²=2b²; non(non (a pair)); non(non (a de la forme 2k));NN(a²=4k²); NN(b²=2k²);..; NN ((a/b) réductible) ce qui est bien la conclusion non((a/b)irréductible).

Mais attention: j'ai passé sous silence le quantificatuer "il existe" en restant vague.

non(non il existe un x bleu)=si (quelque soit x, x non bleu) alors tout.

Bonsoir commando.

Si un nombre est pair il peut s'écrire $2k$ où $k$ est un entier.
Si un nombre est pair il peut s'écrire $2m+1$ où $m$ est un entier.
Yapuka développer.

e.v.

[La case LaTeX fouchtra!]

et merci de m avoir repondu quand meme et bonne soirée a toi

Bonjour commando.

Je vais traiter le premier cas même si je ne suis que prof de seconde vraisemblablement merdique et qui n'apprécie pas spécialement ton commentaire sur ma collègue.
-$a$ est impair et $b$ est impair.
Donc je peux écrire $a = 2m+1$ et $b = 2n+1$
L'égalité $a^2 = 2b^2$ s'écrit alors:
$( 2m+1)^2 = 2(2n+1)^2$ soit en développant:
$4m^2 + 4m + 1 = 2(4n^2 + 4n + 1)$
soit encore
$4m^2 + 4m + 1 = 8n^2 + 8n + 2$
ou encore
$4m^2 + 4m - 8n^2 - 8n = 1$
Le membre de gauche peut s'écrire $2(2m^2 + 2m - 4n^2 - 4n)$ ce qui prouve que c'est un nombre pair. 1 serait un nombre pair: ce cas est impossible.
Je te laisse traiter les deux autres cas de la même façon, pendant ce temps tu ne pleurnicheras pas sur ton sort.
Il y a une marche entre la troisième et la seconde. Pour certains élèves (toi peut-être) elle ne peut être franchie qu'avec beaucoup de travail et une remise en question. Alors travaille bien et bon courage.

e.v.

Pfiou, tes copies sont aussi mal orthographiées, toi qui prétends dire comment faire ce métier ?

je suis fatigué c'est tout

C'est exactement la même chose.

En admettant que tout nombre positif peut se décomposer d'une manière UNIQUE en produit de facteurs premiers positifs[/b], le raisonnement suivant réalise le désir général exprimé dans le fil

supposons que a²/(b²)=un entier n, avec a,b entiers naturels. Donc a²=b²n. Tous les facteurs premiers de n sont des facteurs premiers de a², donc de a.

Si "a/b" est irréductible alors aucun facteur premier de b n'est un facteur premier de a. Tous les facteurs premiers de a² apparaissent un nombre pair de fois dans l'écriture de a² en produit de facteurs premiers. Idem pour l'écriture de b².

Dans l'écriture de n comme produit de facteurs premiers, chaque facteur premier apparait donc un nombre pair de fois et n est donc le carré d'un entier naturel p.

Il s'ensuit a/b=p et b=1 et n=p²

Remarque: l'unicité (admise au départ) de l'écriture d'un entier comme produit de facteurs premiers n'est pas aussi "triviale" qu'elle l'est souvent préjugée, et d'expérience, j'ai l'impression que la démonstration la plus communément exhibée de ça passe par Bézout et son corollaire que si un nombre premier p divise uv alors p divise u ou p divise v.

Michel Coste écrivait:

---

> Le théorème de Liouville sur la mauvaise
> approximation diophantienne des nombres
> algébriques dit qu'il existe une constante $c>0$
> telle que, pour tout nombre rationnel $p/q$, on
> ait
> $$ \left| \sqrt{2} -\frac{p}{q} \right| \geq \frac{c}{q^2}\;.$$
> En regardant la démonstration (qui n'utilise pas
> plus que l'inégalité des accroissements finis), on
> voit qu'on peut prendre $c=1/5$.

Bonjour

personnellement, quand on me demande de prouver que racine de 2 irrationnel, i.e. non rationnel, j'étudie la différence $ \left| \sqrt{2} -\frac{p}{q} \right|$.
On arrive alors à prouver facilement à l'aide de simples manipulations d'inégalités (sans accroissements finis)
que $$ \left| \sqrt{2} -\frac{p}{q} \right| \geq \frac{\sqrt{2}-1}{q^2}\geq \frac{1}{3q^2}$$

Cela prouve évidemment que racine de 2 n'est pas rationnel, en même bien davantage... (contrairement à une preuve par l'absurde "minimaliste")

Comment prouvez-vous que
$\displaystyle \left\vert \sqrt{2} -\frac{p}{q} \right\vert \geq \frac {\sqrt{2}-1}{q^2} $ ?