Le paradoxe du menteur... démenti

Vanished · January 2008

Bien le bonsoir,

J'ai découvert le paradoxe du menteur et toutes les recherches que j'ai pu faire sur internet arrivent à la conclusion qu'il s'agit la d'un problème indécidable due a une incomplétude (wikipedia entre autre)... de quoi d'ailleur, de la théorie axiomatique de la logique ? Je me trompe peut-être : ce paradoxe a peut-être été résolu depuis longtemps et n'est plus un problème pour personne, mais je n'ai pas réussi à trouver un raisonnement explicitant clairement ce que j'ai conclu de mon propre raisonnement. J'aimerai donc savoir ce que vous en pensez.

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Considérons deux propositions :
P1 : "Je cours maintenant"
P2 : "Je mens maintenant"

Pourquoi P1 ne mène pas à un paradoxe alors que P2 y mène ? C'est parce que P1 est considérée comme une proposition tandis que nous considérons P2 comme "plus" qu'une simple proposition. Voila la première approche pour tenter de cerner le problème, poursuivons.

Considérons la proposition :
P3 : "Je mens en disant que je cours maintenant"
P3 => "Je ne cours pas maintenant" (Je pense que cette implication ne posera de problème à personne)
Donc ici on dégage le sens de "mentir", il s'agit d'un élément linguistique fonctionnel représentant la négation en logique : " $\neg$ ".
Ainsi on peut ecrire P3 : "$\neg$(je cours maintenant)"

Ainsi le pseudo-paradoxe vient du fait que l'on considère P2 comme outil logique et comme une proposition à la fois. En logique classique je ne pense pas que cela soit possible. Enfin suivant la compréhension qu'on en a, on peut imaginer les choses suivantes :
-"Je mens en disant que je mens maintenant"="$\neg$(Je mens maintenant) => "Je ne mens pas maintenant" (Aucun paradoxe ici)
-"$\neg$$\neg$" (je ne pense pas que cela existe en logique classique)
-Quoi d'autre ?
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Ainsi le paradoxe semble venir d'une erreur de raisonnement dû au language et nous induisant en erreur. Et non comme on aurait pu le croire d'une incomplétude d'axiomisation de la logique

jobherzt · January 2008

Le paradoxe du menteur suppose que la personne qui dit "je mens" mens tout le temps, y compris quand elle dit cette phrase, c'est une situation "ideale"... je prefere la forme "cette phrase est fausse" qui requiert me semble t il moins de presupposé et que je trouve plus parlante. Ou le paradoxe du barbier, par exemple.

A part ca je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement. Ce genre de paradoxe se produisent dans des langages suffisamment complexe pour autoriser les propositions auto referentes (ie qui parlent d'elle meme). c'est le cas aussi bien du langage de l'arithmetique que de "notre" langage.

Vanished · January 2008

S'il ment tout le temps alors ca donne : "$\neg(\neg$(je mens maintenant)". Suivant les logiques (intuitionnistes, classiques etc...) cette proposition n'est pas paradoxe de toute facon.

"A part ca je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement. Ce genre de paradoxe se produisent dans des langages suffisamment complexe pour autoriser les propositions auto referentes (ie qui parlent d'elle meme). c'est le cas aussi bien du langage de l'arithmetique que de "notre" langage."

Ok, alors concernant "notre" langage je veux bien que tu m'en donnes les axiomes ;=). La logique du language n'est-elle pas la même que la logique mathématique ?
Pour ce qui est des des théories suffisament complexes pour autoriser les propositions auto-référentes, tu peux me donner un exemple ? (Je n'ai pas encore très bien étudié le théorème d'incomplétude de Godel).

Edit : Je sais pas si j'ai été clair je considère le verbe "mentir" certaines fois comme fonctionnel et d'autres fois comme faisant partie d'une simple proposition. La forme "$\neg\neg$" étant inenvisageable dans aucune théorie logique. Si vous me dites que cette forme est envisageable dans le language il faut m'expliquer précisément... Le language fonctionne tout de même pas mal sur les analogies, il est donc possible qu'une erreure de raisonnement puisse s'immiscer. Est-ce parce que cela nous semble "naturel" que c'est vrai ? Je pense que l'on peut prouver pas mal de choses si l'on se base uniquement sur l'impression de vérité que nous donne le language...

jobherzt · January 2008

Je ne comprend pas ta premiere phrase.

Accessoirement, cet exemple est une illustration "intuitive" de la notion de proposition indecidable. Evidemment que pour parler rigoureusement de proposition indecidable il faut se placer dans un cadre mathematique, mais de tels exemple existent.

Pour Gödel, je ne suis pas specialiste, mais en gros il trouve un moyen de coder des propositions exprimées dans le langage mathématique par des nombres. Ensuite, on appelle "nombre de Gödel" un nombre qui correspond a une proposition vraie. Le fait pour un nombre d'etre de Gödel est donc une propriété arithmetique. Finalement, on trouve un nombre N qui exprime la proposition "N n'est pas un nombre de Gödel". Ce qui implique que N est de Gödel ssi il ne l'est pas.

Apres, la notion de proposition indecidable est loin d'etre aussi mysterieuse qu'elle en a l'air. Si tu te place dans le cadre de la theorie des groupes, par exemple, tu peux considerer cette theorie comme une theorie logique dont chaque groupe est un modele.

Dans ce cadre, la proposition "pour tout $x,y,$ $xy=yx$ est une proposition indecidable, simplemen parce qu'il existe des modeles ou cette proposition est vraie, et d'autre ou elle ne l'est pas, tout en n'introduisant pas de paradoxe.

La particularité de l'exemple de Gödel est que sa proposition est indemontrable {\bf mais vraie} : N n'est effectivement pas un nombre de Gödel, mais on ne peut pas le demontrer dans le cadre de la theorie de l'arithmetique.

bisam · January 2008

Je crois que tu dois te documenter beaucoup et lire tout lentement avant de venir poser tes questions car c'est un fouillis atroce.

Tu dis ne pas connaître très bien le théorème d'incomplétude de Gödel. Malheureusement pour toi, c'est justement la conception de la numérotation dite "de Gödel" qui (la première) a permis de noter puis de prouver ou infirmer des phrases logiques autoréférentes. C'est ainsi que Gödel a prouvé son fameux théorème. il serait donc bon que tu lises à ce sujet (même de la vulgarisation devrait suffire à te faire comprendre : par exemple les livres de Raymond Smullyan sont très bien)

Quant à ton affirmation (sic) : " La forme $\neg\neg$ étant inenvisageable dans aucune théorie logique." elle est non seulement vide de sens en français mais même si on traduit ce que tu veux dire elle est totalement fausse.
On peut très bien nier 2 fois. Les intuitionnistes, qui n'acceptent pas le principe du tiers exclu, envisagent la possibilité que cela ne conduise pas au fait que l'on retombe sur du vrai. Il n'en reste pas moins que la double négation existe bel et bien !

Enfin de nombreuses choses ont également été écrites sur la théorisation du langage mais je n'y connais pas grand chose... alors j'évite d'en parler plus... comme tu le devrais peut-être.

Aleg · January 2008

Voilà, avec ces affaires-là, il faut savoir prendre le temps de la réflexion en gardant à l'esprit le théorème d'Aleg : "Tout prend toujours plus de temps que prévu, même en tenant compte du théorème d'Aleg".

GG · January 2008

On n'en connaît d'ailleurs pas encore la démonstration

jobherzt · January 2008

Corollaire : Après avoir ajouté du temps pour les imponderables, prevoyez en aussi pour les imponderables imponderables.

lg0 · January 2008

jobherzt Écrivait:

je prefere la forme "cette phrase est
> fausse" qui requiert me semble t il moins de
> presupposé et que je trouve plus parlante. Ou le
> paradoxe du barbier, par exemple.
>
oui mais pour le barbier rien ne prouve qu'il n'est pas imberbe .donc c'est un paradoxe perdu
de plus supposons qu'il ne soit pas une femme ni imberbe.
étant donné qu'il est un homme qui ne se rase pas il fait appel à lui en tan que barbier pour se raser donc il se rend au salon pour se faire raser comme les autresX:-(
et si il se rase chez lui, il n'a pas à faire appel au barbier, donc il n'a pas à se rendre à son salon

"cette phrase est fausse"
l'affirmation est vraie: et: "cette phrase est fausse"
l'affirmation est fausse: et il est faux de dire "cette phrase est fausse"comme je ment tout le temps mon affirmation fausse est vraie et "cette phrase est fausse" est vraie!(:P)

bonne année

Jinx · January 2008

Une phrase fetiche de mon prof de math de 1er S et de Terminale C:

"L'un de nous deux se trompe, et ce n'est pas moi."

J.

[Autant continuer sur cette discussion récente sur le même sujet. AD]

lg0 · January 2008

"L'un de nous deux se trompe, et ce n'est pas moi."
Il y a deux affirmations :
Si ce n’est toi et ce n’est pas moi, l’un de nous deux se trompe !

Ce n’est toi ; donc je me trompe c’est moi.

Mais comment cela se pourrait il, puisque je me trompe.

L’inverse donnerait: c’est toi je me suis pas trompé ce n’est pas moi. Mais il prouve qu’il s’est trompé.

Alors intuitivement l’un de nous deux ne se trompe pas et c’est toi ; (« ce qui est faux, aussi! En effet cette dernière phrase ne peut être dite que par celui qui se trompe. »)

La première phrase : "L'un de nous deux se trompe, et ce n'est pas moi." Est vraie….car la logique voudrait, que seul celui qui ne se trompe pas, peut affirmer cette phrase. Pour celui qui se trompe cette phrase vaut 0

Archimondain · January 2008

Salut tout le monde.
Vanished, Le paradoxe du menteur survient bien quand tu établis une proposition qui fait référence à elle même. Je ne vois pas de moyen de traduire avec le formalisme des prédicats la proposition : 'cette phrase est fausse' : Quand tu écris
'$\neg$ cette phrase est fausse' ou '$\neg$ cette phrase', ça ne représente pas le paradoxe du menteur, parce que tu n'a pas formellement dans tes propositions d'auto-référence, et donc de récursion.
Je pense que quelque chose comme 'phrase -> $\neg$ phrase' correspond davantage à ce que tu cherches à exprimer.

Une manière de mieux saisir le concept serait peut-être de décomposer l'assertion en deux assertions P1 et P2 :

P1 : P2 est vrai
P2 : P1 est faux

Dans ce cas, il est clair que tu ne peux jamais t'arrêter :
P1 est vrai
-> P2 est vrai
-> P1 est faux
-> P2 est faux
-> P1 est vrai
...

Quand tu 'fusionnes' ces deux phrases, ça donne

P1 : P1 est faux
Ici encore, on voir bien qu'on ne peux jamais t'arrêter :
P1 est vrai
-> P1 est faux
-> P1 est vrai
...

Note que si on suit ce raisonnement, la phrase
P1 : P1 est vrai
est elle aussi sujette à une récursion infinie :
P1 est vrai
-> P1 est vrai
-> P1 est vrai
-> P1 est vrai
...

Mais dans ce cas il n'y a pas de paradoxe, car la valeure de P1 (vrai ou faux) reste la même tout le temps.

Pour ce qui est de Godel, il me semble que le théorème de l'incomplétude ne correspond pas directement au paradoxe dont tu parles. Le nombre de Godel qui permet d'arriver au théorème de l'incomplétude n'est pas de type
P1 : P1 est faux
mais ressemble plutôt à
P1 : P1 est indémontrable à l'intérieur du système utilisé

Quand on est à l'extérieur du système, on se rend bien compte que P1 est vrai. Si il était démontrable, on aboutirai à un paradoxe. D'ailleur, ce théorème s'appelle le théorème de l'incomplétude (on ne peut pas tout prouver), pas le théorème de l'incohérence (il existe des paradoxes dans le système).

je ne peux que te conseiller le livre 'Goedel Escher Bach'. C'est en quelques sorte un livre de vulgarisation sur le théorème de Goedel. C'est un peu bourrin si tu veux une réponse rapide (environs 800 pages). Mais il traite en profondeur le sujet ainsi que beaucoup de sujets liés de près ou de loin... ou de très loin parfois

à ton problème. Et c'est vraiment un livre passionant si tu t'interesse à ces questions.

Vanished · January 2008

Merci à tous pour vos réponses et a Archimondain pour cette réponse ayant bien ciblé mon problème

Archimondain a écrit:

Dans ce cas, il est clair que tu ne peux jamais t'arrêter :
P1 est vrai
-> P2 est vrai
-> P1 est faux
-> P2 est faux
-> P1 est vrai
...
//
Pour ce qui est de Goedel, il me semble que le théorème de l'incomplétude ne correspond pas directement au paradoxe dont tu parles.

Cela modélise très bien le problème il me semble. Je pensais que ce problème était justement traité par le théorème d'incomplétude. Et quelle conclusion doit on apporter à ce paradoxe alors ? Car laisser ce paradoxe tel quel et dire qu'on ne peux rien conclure donne l'impression que l'ensemble axiomatique de la logique est incohérent dans la mesure ou il permet de créer des formulations qui ne peuvent trouver de conclusions. Une conclusion satisfaisante serait par exemple de dire (conformément aux axiomes et theorèmes de la logique) que de telles assertions ne sont tout simplement pas correctes.

Enfin, je vais éviter de poser trop de questions avant d'avoir étudié le théorème de Goedel ^^. A propos :

Archimondain a écrit:

je ne peux que te conseiller le livre 'Goedel Escher Bach'. C'est en quelques sorte un livre de vulgarisation sur le théorème de Goedel. C'est un peu bourrin si tu veux une réponse rapide (environs 800 pages). Mais il traite en profondeur le sujet ainsi que beaucoup de sujets liés de près ou de loin... ou de très loin parfois smiling smiley à ton problème. Et c'est vraiment un livre passionant si tu t'interesse à ces questions.

Lorsque tu dis que c'est un livre de vulgarisation, il énonce tout de même de facon rigoureuse le théorème de Godel et sa démonstration ? Faut il avoir de bonnes bases sur le formalisme des prédicats ou il n'y a que des formulations en language francais ? Merci pour la référence en tout cas

Archimondain · January 2008

Pour ce qui est des paradoxes, je ne pense pas que l'on puisse les supprimer

La logique permet de créer des paradoxes. C'est ainsi. Mais cela relève à mon avis au moins autant de la philosophie que des mathématiques. A la question de savoir si les mathématiques font partie de la logique, si la logique fait partie des mathématiques, si ce sont les mêmes mots pour une seul chose, ou si ce sont deux choses différentes, je n'ai pas de réponses. Et je ne sais pas quelle conclusion apporter à ce genre de paradoxe

Pour ce qui est de 'Godel Escher Bach', c'est vrai que c'est un peu maltraiter ce livre de dire que c'est un simple livre de vulgarisation

Ce qui est sûr, c'est que pour l'aborder il faut avoir une logique solide. Ce livre reste tout de même compliqué. Il ne contient pas du tout que des formulations en Français, mais en général, il explique toujours de façon claire les formalismes qu'il utilise. Mais c'est vrai qu'il vaut mieux avoir un minimum de connaissances en logique mathématique, et certains chapitres te seront difficile d'accès si tu n'as pas quelques connaissances en algorithmique ou en théorie des langage.

Mais le gros du contenu même s'il est dense et demande une lecture attentive, reste lisible.

christophe c · February 2008

C'est un sujet qui fait toujours couler beaucoup d'encre.

En fait, la phrase "je suis fausse ou je ne veux rien dire" ne peut être mise dans aucune des 3 catégories [vraie, fausse, insensée] sans provoquer une insatisfaction chez presque chaque être humain.

Elle est un témoin qu'il existe des phrases en langue naturelle qui ne sont ni vraies, ni fausses, ni insensées (ou qui quand elles le sont, génèrent de l'insatisfaction scientifique)

Sache que ces mécanismes dont on peut à peu près dire qu'ils ont été très regardés au début du siècle sont des "démonstrations" et non pas seulement des paradoxes, et "donnent du jus".

Comme les mots "vrai, faux" n'ont pas de sens mathématique, cette phrase a eu en tant que telle du mal à être exploitée. Mais elle a fait des petits, par exemple, le théorème de Godel dont la plus simple façon de le résumer est de dire:

1) Godel a découvert "à la main" que "je suis indémontrable" a un sens mathématique (modulo la théorie où elle est énoncée), permettant que tout un chacun en prenne conscience

2) Et manifestement, elle est "vraie" sans être démontrable.

Les godélites sont des phrases mathématiques qui parlent d'elles-mêmes et sont mathématiques. Pas besoin de faire "de la technique". Prends n'importe quelle phrase "je suis bleue", "je suis belle", etc, et si l'adjectif après "suis" est mathématique alors la phrase tout entière l'est, et peut être étudiée mathématiquement.

Une démonstration (mais si historiquement, on peut la classer dans les archives paradoxales) n'a pas à être "élucidée" ou "résolue", d'où ton impression que ce "paradoxe" du menteur n'a jamais été "résolu": et pour cause, il s'agit d'un théorème.

Le paradoxe du menteur... démenti

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