Bac S et malaises dus au langage

christophe c · April 2008

Il est rare que je participe à des fils "lycée" (question de gout)

Cependant, comme j'ai des élèves que j'ai eu en 6ième en 2001 et qui passent le bac cette année, j'ai regardé d'un peu plus près "internet" (bon je l'avoue, je n'ai fouillé google pendant des heures).

J'avoue être stupéfait et impressionné par les profs qui ont créé des sites entiers, parfaitement soignés et organisés, {\bf en tout bénévolat}, où ils ont mis en ligne gratuitement, des cours complets pour leurs élèves.

Par exemple: celui-ci ---> \lien{http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT.htm}

Perso, j'ai un site, j'y mets souvent des liens, mais quand ça me prend, dans le désordre, et sans fil précis, ni volonté de respecter des programmes. Un merci à ces profs pour la quantité de travail fastidieux qu'ils accomplissent.

***

Je crée ce fil pour apporter un "autre angle de vue" et proposer des exercices pouvant aider les lycéens "sérieux" (c'est à dire un peu tenace) à s'interroger sur leur maitrise des concepts qu'ils ont à manipuler. En effet, j'ai aussi été sidéré par la quantité astronomique de calculs rédhibitoires des cours de 1S et de TS. Je mets en parallèle le témoignage de plein d'élèves (que j'ai bien connus) qui me disent {\it "jsuis dégouté des maths"} ou encore {\it "j'aime bien ça, mais franchement, j'ai pas envie de continuer"} et la quantité de calculs qu'ils ont à abattre.

Du coup, comme (question d'époque et de réforme de 82) ils n'ont une approche qu'impressionniste des concepts mis en jeu, les calculs qu'ils doivent abattre pendant leur lycée doivent bien les stresser.

***

Ne lancez pas de tomates pour la vacuité des exercices que je mets là: c'est le but!

Ne contenir aucune difficulté mathématique, mais plutôt uniquement linguisitique, de manière à ce que les lycéens-étudiants qui les trouvent difficiles puissent s'interroger sans se disperser sur la part (du coup proche de 100 pourcents) qui vient de leurs manques personnels.

1) Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ telle que $\forall (x,y)\in \R ^2: f(x)=f(y)$. Prouver que $f$ est constante.

2) Soit $a\in \R$ tel que $\forall x>0: a\leq x$. Prouver que $a\leq 0$

3) Soit $A,B$ 2 sous-ensembles de $\R ^2$ (qu'on identifie au plan, via un repère orthonormé) tels que $A\cup B=\R$. Prouver qu'il exsite une application de $\R$ dans $\R$ telle que son graphe $G$ ait la propriété suivante:

$G\subseteq A$ ou $G\subseteq $ l'image de $B$ par la rotation de centre l'origine du repère et d'angle -90 degrés.

4) Inventer une notion respectable et honnête de "courbes parallèles", sachant que "courbe" veut juste dire "graphe d'une application partout dérivable de $\R$ dans $\R$. Donner une définition formelle!

{\bf Merci aux intervenants (professionnels) du fil de NE PAS donner les solutions}

Je vais essayer d'enrichir ces "à-côtés" linguistiques sur une page unique de mon site:

\lien{http://www.logique.jussieu.fr/\~{}chalons/z022008/utilbacs.php}

christophe c · April 2008

5) Trouver l'erreur dans le raisonnement (célèbre!) suivant:

SI ne pas exister est une imperfection, et SI Dieu n'a pas d'imperfection ALORS Dieu existe

6) Prouver que tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels

7) Prouver que la parabole ensemble des points tels que ordonnée=abscisse×abscisse rencontre toutes les droites qui passent par un point de coordonnées (0;t) avec t>0

8) Prouver qu'il existe une infinité de droites (dans le plan)

9) Prouver qu'il existe un ensemble infini de droites qui sont toutes 2 à 2 sécantes

10) Prouver qu'il existe un ensemble infinie de cercles qui sont tous 2 à 2 d'intersection non vide

11) Revenez aux sources et prouvez que tout nombre entier qui n'est pas pair est suivi par un nombre pair.

Sylvain · April 2008

J'aime bien la 5...N'est-ce pas ce qu'on appelle la "preuve ontologique" de l'existence de Dieu ?

christophe c · April 2008

12) Prouver qu'il existe une application f de $\R$ dans $\R$ telle que pour tout $a\in \R$ $(x\mapsto f(x))\neq (x\mapsto ax)$

13) Prouver que pour tout ensemble fini de nombres $F$ il existe un nombre $m$ tel que la somme quand $x$ parcourt $F$ des $x-m$ vaut $0$

14) (Existence de l'isobarycentre): prouver que pour tout ensemble fini $F$ de points du plan, il existe un point $G$ tel que la somme quand $A$ parcourt $F$ des vecteurs $\vec{GA}$ est le vecteur nul $\vec{0}$

15) Prouver que si (AB) est parallèle à (UV) (A,B,U,V étant des points 2 à 2 distincts), alors il existe un nombre réel $t$ tel que $t\vec{AB}=\vec{UV}$

christophe c · April 2008

Ouais la (5) c'est la version "médiatisée" de la preuve ontologique. D'ailleurs, j'ai écrit une phrase, et non un raisonnement.

Voici le raisonnement:

Dieu n'a aucune imperfection, ne pas exister est une imperfection DONC Dieu existe

Axiomes utilisés:
a) Dieu n'a pas d'imperfection
b) Ne pas exister est une imperfection

Sylvain · April 2008

M'est avis que l'axiome b sert pas à grand-chose...

christophe c · April 2008

Sans l'axiome (b) le raisonnement n'aurait même pas l'air d'être correct...

16) Une maison construite dans l'antarctique sort d'une longue période où elle avait un vieux chauffage intérieur. A l'instant t, il y fait 40 degrés. On change son chauffage, par un radiateur magique: à partir de l'instant t, tant que la température moyenne de l'intérieur de la maison est supérieure ou égale à 20 degrés, il reste éteint. Dès qu'elle passe à une température strictement inférieure à 20 degrés, il s'allume instantanément, et réchauffe la maison progressivement.

16.1) formaliser le problème
16.2) Prouver qu'un tel radiateur n'existe pas.
16.3) En déduire que: ou bien la notion de température moyenne est "impossible" ou bien la transmission instantané d'informations à distance est "impossible"

17) Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R^2$ telle que pour tout $(x,y)\in \R^2$ avec $x<y$: abscisse de $f(x)\neq$ abscisse de $f(y)$. Prouver qu'il existe une application de $\R$ dans $\R$ telle que pour tout $x\in \R$:
$f(x)=($abscisse de $f(x)$; $g($abscisse de $f(x)))$

18) Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ dérivable partout. On suppose que $f'(a)\neq 0$ pour un certain nombre $a$. Prouver qu'il existe 2 nombres réels u,v tels que $f(u)\neq f(v)$

19) Soit $g$ une application dérivable partout de $\R$ dans $\R$. Prouver qu'il existe une application $f$ dérivable partout de $\R$ dans $\R$ et un nombre réel $x\in \R$ tel que $g(f(x))\neq f'(x)$

christophe c · April 2008

20) Soit g une application quelconque de $\R ^2$ dans $\R$. Prouver qu'il existe une application $f$ dérivable partout, de $\R$ dans $\R$ et un nombre $t$ tel que $g(t,f(t))\neq f'(t)$

21) Prouver que l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble fini est fini

22) Prouver que l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble infini est infini

23) Prouver (parfaitement formellement) que toute fraction $\frac{n}{p}$ avec $n,p$ entiers peut être mise sous forme irréductible

24) Une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ est dite polynomiale quand il existe un entier $n$ et des nombres réels $a_0,...a_n$ tels que $\forall x\in \R$:
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$. Soit $g$ une application de $\R^2$ dans $\R$. Prouver qu'il existe une application polynomiale de $\R$ dans $\R$ et un nombre $t$ tel que $g(t,f(t))\neq f'(t)$

25) Soit $A,B$ 2 sous-ensembles de $\R^2$ tels que pour tout triplet $(x,y,z)\in \R ^3:\ (x,y)\in A$ ou $(y,z)\in B$. Prouver que $A$ contient une droite verticale ou que $B$ contient une droite verticale. (La droite verticale $D_a$ est l'ensemble des $(a,x)$ pour $x$ parcourant $\R$)

christophe c · April 2008

26) On note $exp$ la fonction exponentielle. Etant donné $u,v$ des nombres réels strictement positifs, on note $u*v$ le nombre $exp(ln(u)\times ln(v))$.
En utilisant les propriétés usuelles {\bf mais calculatoires} (qu'on peut énoncer sans quantificateur) des entiers et des réels, {\bf mais sans jamais utiliser l'axiome de récurrence ou quelque chose qui s'en approche}, démontrer que $9999*99999$ est majoré par un entier (ie il existe un entier $n$ tel que $9999*99999<n$)

27) Expliquer en quoi le slogan suivant est respectable: {\it il n'y a aucun moyen de distinguer $i$ et $-i$}, en notant $i$ un nombre complexe tel que $i^2=-1$

28) Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $\forall x\in \R: f(x)>x$. Soit $u$ une suite de réels tels que $\forall n\in \N: u_{n+1}=f(u_n)$. Prouver que $u$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$

29) Prouver qu'il existe une application $f$ continue de $\R$ dans $\R$ telle qu'il n'existe aucune suite $u$ de nombres réels avec $\forall n\in \N: u_n=f(u_{n+1})$

30) (difficile pour un lycéen) Soit $(f_n)_{n\in \N}$ une suite d'applications continues de [0,1] dans [0,1]. Prouver qu'il existe une suite $u$ de nombres réels telle que $\forall n\in \N: \ u_n=f_n(u_{n+1})$

Ryuken · April 2008

Es-tu certain de l'énoncé 18 ? Pour ma part je pencherais pour "f'(a) non nul".
Sinon j'aime beaucoup tes exos

christophe c · April 2008

Merci beaucoup. J'ai corrigé directement dans le message!

christophe c · April 2008

31) Rappel: quand $f,g$ sont des applications de $\R$ dans $\R$, on note $f\circ g$ l'application $x\mapsto f(g(x))$.
Si on a une opération binaire $*$ (une application de $\R^2$ dans $\R$), on note $a*b$ l'image du couple $(a,b)$ par $*$. Et on étend $*$ aux applications de $\R$ dans $\R$ de la manière suivante:

$f*g$ est l'application $x\mapsto f(x)*g(x)$

Soit * une opération. Prouver qu'il existe 2 applications $f,g$ de $\R$ dans $\R$ telles que $f\circ g\neq f*g$

32) Soit $T$ une application de $\R ^5$ dans $\R$. Prouver qu'il existe 2 applications $f,g$ partout dérivables de $\R$ dans $\R$ et un nombre réel $x$ tels que:
$f(g(x))\neq T(x,f'(x),g'(x),f(x),g(x)$
Remarque: j'abuse un peu, je n'ai même pas vérifié si c'est "évident"

33) Une application dérivable partout $f$ de $\R$ dans $\R$ est cachée dans une boite. On voudrait connaitre $f(0)$. On a le droit de ne poser qu'une seule question au gardien de la boite. On lui propose l'ensemble fini $F\subseteq \R$ qu'on veut et il doit nous donner l'ensemble des $(a,f'a))$ quand $a$ parcourt $F$. A-t-on un moyen infaillible de trouver $f(0)$ avec cette seule information accessible?

34) Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ telle que:
$\forall a,b,c: $ $f(a)=f(b)$ ou $f(b)=f(c)$
Prouver que $f$ est constante

35) On voudrait faire mieux que la fonction logarithme népérien (dont le domaine n'est que $\R ^{*+}$). On voudrait une application $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que $\forall x,y: f(xy)=f(x)+f(y)$. Est-ce possible? Sinon, prouvez-le.

Toto.le.zero · April 2008

4) Inventer une notion respectable et honnête de "courbes parallèles", sachant que "courbe" veut juste dire "graphe d'une application partout dérivable de dans . Donner une définition formelle!

C'est le genre de questions foutage de gueule ça.

Sylvain · April 2008

Pour le 16 il me semble qu'il y a une autre possibilité : que les réels ne modélisent pas parfaitement une "température moyenne".

bonne initiative ! · April 2008

Je ne vois pas en quoi la question 4) est du foutage de gueule....

Ca fait réfléchir sur la notion de parallèle vu comme une translation. En imposant au tangentes d'un point de même abscisse d'être parallèles, on se rend compte qu'une courbe parallèle à une autre n'est rien de plus que l'image de ladite courbe par une translation...

Par contre le 6) avec le chauffage magique j'accroche moyennement :S

En tout cas je plussois l'initiative de CC !

t-mouss

christophe c · April 2008

Sylvan a dit: Pour le 16 il me semble qu'il y a une autre possibilité : que les réels ne modélisent pas parfaitement une "température moyenne".

En fait un ordre dense me semble suffire à entrainer une contradiction avec le pouvoir du chauffage (et de l'environnement) (si on reraconte l'histoire sans tricher avec)

En tout cas je plussois l'initiative de CC !

Bah, au moins j'ai appris un mot. J'ai tapé "plussoir" sur google et j'ai trouvé un petit forum qui en parle:
http://forum.bourseuros.info/index.php?showtopic=1764

Toto a dit: C'est le genre de questions foutage de gueule ça

Quelle partie? Pardon, je n'aurais pas dû dire "sachant que courbe...", mais plutôt "supposant que courbe..."
Sinon, la réaction de "Bonne initiative" me parait être la bonne. Bien évidemment, il s'agit d'un problème non mathématique en ce sens qu'on n'a pas de critère formel pour départager les réponses "correctes" des autres

Mais enfin à la question: donner une notion respectable et honnête qui associe un prix (ou un nombre) à la quantité de moquette qu'il faut acheter pour recouvrir une surface donnée est une question à laquelle les instituteurs et les profs de collège doivent répondre dans des circonstances plus dramatiques, puisque leurs réponses sont écrites ensuite dans des cahiers de cours d'enfants de 10-11 ans.

Toto.le.zero · April 2008

Ben foutage de gueule car c'est uen question qui demande une définition formelle, comme historiquement les notions étaient formalisées aussi vite...alors un élève qui découvre la notion....

Puis les termes respectable et honnête sont parfaitement trompeurs car finalement on souhaite que les élèves arrivent à noter définition qu'on connaît, s'ils aboutissent (dans le cas où ils feraient un truc...) à autre chose on les reprimeraient sans menagement sans doute...

Médiat · April 2008

bonne initiative ! Écrivait:

> Je ne vois pas en quoi la question 4) est du
> foutage de gueule....
>
> Ca fait réfléchir sur la notion de parallèle vu
> comme une translation. En imposant au tangentes
> d'un point de même abscisse d'être parallèles, on
> se rend compte qu'une courbe parallèle à une autre
> n'est rien de plus que l'image de ladite courbe
> par une translation...

Pourquoi un point de même abscisse, ce qui donne un rôle particulier à une direction, pourquoi ne pas choisir un point de coordonnée fixe sur le vecteur orthogonal unitaire (pour les fonctions paramétrées, il peut y avoir des points singuliers, mais ce n'est pas l'hypothèse de Christophe).

Dans le cas de cercles parallèles je préfère penser à des cercles concentriques plutôt qu'à des cercles de même rayon.

Sylvain · April 2008

Christophe Chalons a écrit:

Citation:
Sylvan a dit: Pour le 16 il me semble qu'il y a une autre possibilité : que les réels ne modélisent pas parfaitement une "température moyenne".

En fait un ordre dense me semble suffire à entrainer une contradiction avec le pouvoir du chauffage (et de l'environnement) (si on reraconte l'histoire sans tricher avec)

Certes, mais je ne suis absolument pas certain du fait qu'une différence de température puisse être arbitrairement petite...

christophe c · April 2008

36) Rappel d'un axiome vox populi "sécurisé": 3cm=3×cm; 15secondes=15×seconde;etc
Prouver que 0cm=0kg (sans supposer que 0×n'importe quoi=0)

37) Prouver qu'une force × distance=une masse × une vitesse × une vitesse

38) Prouver que tous les triangles équilatéraux d'aire donnée sont isométriques

39) A,B,C sont 3 points non alignés. Prouver qu'il existe un triangle équilatéral entièrement inclus dans l'intérieur du triangle ABC

40) Soit a un nombre strictement compris entre 0 et 1. Soit p la pente de la tangente au cercle centré en l'origine et de rayon 1 qui touche le cercle en un point d'ordonnée positive. Exprimer p en fonction a sans utiliser (exagérément) de formule de trigonométrie

christophe c · April 2008

42) Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ telle que $\forall x: f(x)>x$. Soit $T\subseteq \R$ la réunion des intervalles ouverts $]x,f(x)[$ quand $x$ parcourt $\R$. Soit $A\subseteq \R ^+$ un ensemble non vide disjoint de $T$. Prouver que $A$ contient un plus petit élément, ie: $\exists u\in A, \forall y\in A:\ u\leq y$

43) Soit $f$ une application de l'alphabet dans l'alphabet. Prouver qu'il existe une suite $u$ de lettres telle que $\forall n\in \N$:
$u_n=f(u_{n+1})$

PS: alphabet=$\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\}$

44) (Pour embêter Toto) On joue au hasard une suite d'entiers, tous les tirages étant indépendants les uns des autres. Enoncez des axiomes naturels et honnêtes qui gèrent cette notion. Soit $a$ la probabilité que le minimum de la suite $u$ tirée au sort soit pair. PS: le minimum de $u$ est un des $u_n$ tel que $\forall p\in \N: u_n\leq u_p$.
Prouver que $a=0$ ou $a=1$

christophe c · April 2008

45) (pour Toto) Soit f une application de R dans R dont la courbe a été tracée sans lever le stylo. Prouver que f est continue partout.

christophe c · April 2008

47) Prouver que les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes en n'utilisant que les vecteurs

48) Prouver que les quadrilatères ayant des diagonales qui se coupent en leur milieu sont des parallélogrammes en utilisant juste les vecteurs

49) Prouver que les quadrilatères ayant des diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu sont des losanges en utilisant juste les vecteurs

50) Prouver que le joueur2 gagne à coup sûr au jeu suivant, s'il joue bien:
Le joueur1 joue 3 longueurs a,b,c. Puis le joueur2 joue une aire S. Puis le joueur1 joue un triangle T dont les côtés mesurent a,b,c.
Arbitrage: le joueur2 gagne ssi S=aire de T

50bis) Prouver que c'est le joueur1 qui est avantagé pour le jeu analogue, mais avec des quadrilatères.

50ter) Prouver que le joueur2 est avantagé si on met la contrainte au joueur1 de jouer un quadrilatère convexe dont les 4 sommets appartiennent à un cercle

51) (Pour toto): a) Calculer la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle dont les sommets sont les points de coordonnées (x,f(x)); (x+dx,f(x+dx));(x+dx,f(x))
b) exprimer f(x+dx) en fonction de f(x), f'(x). Que représente le nombre $\int _0 ^1 (\sqrt{1+f'^2(x)})dx$?

52) Prouver que le joueur2 est avantagé au jeu suivant:
le joueur1 joue une longueur L en cm. Le joueur2 joue un polygone P dont l'aire est inférieure à $1cm^2$. Le joueur2 gagne ssi L<périmètre de P

christophe c · April 2008

53) En utilisant des axiomes les plus "vox populi" possible, prouvez que:
a) si $\vec{u}.\vec{v}=0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
b) la réciproque. $\vec{u}.\vec{v}$ désigne le produit scalaire de u et v

54) Sans utiliser de définition analytique du produit scalaire, juste des "intuitions", et sa bilinéarité, prouver ce qui précède

55) Prouver que la bilinéarité de $.$, le fait que $\vec{u}.\vec{u}=0$ implique $\vec{u}=\vec{0}$ (pour tout $\vec{u}$) suffit à faire de l'application $\vec{u}\mapsto \vec{u}.\vec{u}$ une bonne façon de représenter $\vec{u}\mapsto $longueur de $\vec{u}$ au carré, avec une unité bien choisie.

56) Prouver le théorème de Pythagore en fondant la notion de distance comme ci-dessus

(décidément, j'en veux à Toto)

57) (Dans le plan) prouver (juste avec les vecteurs et le produit scalaire) que les quadrilatères qui ont des côtés opposés aussi longs et qui ont des diagonales non parallèles sont forcément des parallélogrammes.

christophe c · April 2008

58) On invente un mot "application régulière". On suppose l'axiome suivant: si f:$\C \to \C$ est régulière, sa restriction à $\Q$ la détermine complètement. (Toto) De plus, on suppose que toutes les applications définies par des opérations, sans test, sont régulières, et de plus on suppose que toute opérations habituelle, ainsi que la composition, appliquée à des fonctions régulières donne une fonction régulière

58.1) On suppose pour tous complexes $u,v$: $f(u+v)=f(u)f(v)$ et il existe $z$ tel que $f(z)\neq 0$.
Prouver que parmi les $g:z\mapsto f(az)$ quand $a$ parcourt $\C$ il y en a une telle que $g'=g$.
58.2) A chaque réel $x$ on associe le nombre complexe $h(x)$ de module 1 (donc sur le cercle trigonométrique) obtenu en tournant d'un angle $x$ autour de l'origine. Trouver une application t telle que pour tout réel $x$, $f(t(x))=h(x)$ et telle que pour tout $a,b\in \R: t(a+b)=t(a)+t(b)$. (Toto): inventez une "bonne" notion de "cosinus", de "sinus" à partir de f,h,t.

59) Prouver qu'une isométrie conserve l'alignement

60) Prouver que, pour un triangle donné, les hauteurs ont leur longueur inversement proportionnelles aux côtés correspondant

61) Existe-t-il des polygones convexes d'aire < 1cm² et de périmètre arbitrairement grand?

62) Le diamètre d'un polygone est la plus grande distance possible entre 2 de ses points. Existe-t-il des polygones convexes de diamètre < 1cm et de périmètre arbitrairement grand?

63) Même question sans "convexes"

64) (Toto) Soit P un polygone avec un supergrand périmètre et de diamètre <1cm. Prouver qu'il a superbeaucoup de côtés.

Toto.le.zero · April 2008

C'est trop d'honneurs, mais tu n'as pas répondu à mon message finalement...

christophe c · April 2008

Je vais essayer d'y répondre.

1) Quand j'ai inventé cette question, je t'avoue que je ne savais même pas (et pas plus now) s'il y a une notion officielle de courbe parallèle. Du coup, la question n'a pas de correction toute faite, donc il me viendrait pas à l'idée de, comme tu dis, "réprimer sévèrement" les élèves (d'ailleurs quels élèves?) qui proposeraient de mauvaise "définition honnête"

2) Je suis d'accord avec toi sur le temps qu'il faut pour parvenir à de "bonnes définitions"

3) Il y a un post qui a répondu sérieusement (je ne peux remettre la page1 sinon, je perds ce msg, donc je n'ose citer de pseudo) en parlant de définir le parallélisme de 2 ensembles comme "l'un image de l'autre par une translation"

4) Comme ici, il ne s'agit pas d'une notion profonde, dire juste que f et g (dérivables) ont des courbes parallèles s'il existe a tel que pour tout x la tangente à la courbe de f en (x,f(x)) est parallèle à la tangente à la courbe de g en (x+a,g(x+a)) peut être labellisé honnête

5) Finalement, ta réaction pose une question cruciale: au nom d'un certain "bourbakisme" (et je me mets dans ce parti pour ce post!), il ne faut pas confondre les délires de la pédagogie moderne (réforme de 82 et suite), les notions insensées que sont par exemple "démonstrations empiriques" et tous ces gadgets AVEC les preuves irréfutables qui partent d'hypothèses fausses ou d'axiomes infondables. Ces dernières de parfaites maths!!!
Exemple: quand tu prouves que 0=1 de la manière suivante
"1=0×(1/0)=0×0×(1/0)=0×1=0", tu fais de parfaites maths!!!!!

Et il n'y a rien à répondre à un élève qui la ferait (ce faisant d'ailleurs, il prouve que (1/0) n'existe pas ou qu'il est différent d'un nombre qui donne 1 quand on le × par 0)

Tout est formalisable, même les délires les plus extravagants. Ce qui est erroné dans le mouvement "pédagigiste" (je ne sais comment l'appeler) c'est exactement l'opposé de ce que je viens de dire. Non seulement les recettes de cuisine à apprendre par coeur sont énoncées rigoureusement, mais en plus elles ne sont pas démontrées.

Une démonstration, c'est super pénible à lire, ça n'intéresse (plus) personne, mais ce n'est pas quelque chose qui doit être mis dans les reproches ou dans ce qu'on considère comme des obstacles à la liberté intuitive. La confusion est trop souvent faite entre "mettre du mou" et bannir les preuves formelles.

Donne-moi n'importe quel texte qui affirme quelque chose en argumentant, je te le traduis illico en preuve formelle, aussi poétique ou délirant soit-il. L'impératif de démontrer n'implique NULLEMENT l'impératif de fondation rigoureuse des concepts (ou mots) utilisés dans la preuve (ils peuvent tout à fait ne vouloir rien dire de précis). La phrase "j'implique tout" est d'ailleurs là pour le rappeler à ceux qui l'oublient.

christophe c · April 2008

Quand j'en corrige quelques uns je mets les corrections dans le lien ci-dessous
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/utilbacs.php

mais il est recommandé de chercher seul sans aller voir les corrections

christophe c · April 2008

Pour illustrer ce que je disais sur les "démonstrations", voici un petit lien: en fait, il s'agit d'un petit programme que j'ai fait qui "sonde" son interlocuteur et transforme ses réponses (de pourquoi il est sûr de quelque chose) en preuve formelle. J'ai tapé à peu près n'importe quoi (mais sincèrement) et ça a donné les résultats en exemple. Les preuves sont certifiées IRREFUTABLES (quoique tu répondes). Je le mettrai en ligne quand il sera plus "convivial" (avec un mode d'emploi et des caractères soignés)

http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/z022008/utilbacs.php#exemplesauto

Toto.le.zero · April 2008

j'ai la flemme d'écrire ce soir, mais en gros, le point réside dans ce que tu appelles "honnête" et "raisonnable". Faudrait êter clair sur les termes je pense.

GG · April 2008

Exemple: quand tu prouves que 0=1 de la manière suivante
"1=0×(1/0)=0×0×(1/0)=0×1=0", tu fais de parfaites maths!!!!!

Ca m'étonnerait !

Médiat · April 2008

christophe chalons Écrivait:

> 3) Il y a un post qui a répondu sérieusement (je
> ne peux remettre la page1 sinon, je perds ce msg,
> donc je n'ose citer de pseudo) en parlant de
> définir le parallélisme de 2 ensembles comme "l'un
> image de l'autre par une translation"
>
> 4) Comme ici, il ne s'agit pas d'une notion
> profonde, dire juste que f et g (dérivables) ont
> des courbes parallèles s'il existe a tel que pour
> tout x la tangente à la courbe de f en (x,f(x))
> est parallèle à la tangente à la courbe de g en
> (x+a,g(x+a)) peut être labellisé honnête

Je persiste à penser que la définition que j'ai donnée (et que je re-prècise ci-dessous) et qui n'est aucune de ces deux là, fait sens (même si certains résultats peuvent paraître bizarres).

Deux courbes sont parallèles si à tous points de l'une correspond un point de l'autre ayant la même droite orthogonale et telle que la distance de ces deux points soit constante.

christophe c · April 2008

le point réside dans ce que tu appelles "honnête" et "raisonnable". Faudrait êter clair sur les termes je pense.

D'accord avec toi Toto!

De GG:

Exemple: quand tu prouves que 0=1 de la manière suivante
"1=0×(1/0)=0×0×(1/0)=0×1=0", tu fais de parfaites maths!!!!!

Ca m'étonnerait !

Utilisation de l'axiome (a/b)×b=a pour tout a,b (y compris 1,0) et d'autres axiomes acceptés dès l'école primaire tacitement.

En plus de ecla, je suis prêt à parier que si toi-même, alias GG, tu prouves (irréfutablement) que 1/0 n'existe pas, tu passeras FORCEMENT par cette étape! Ne ferais-tu, alors, pas de parfaites maths?

christophe c · April 2008

65) Ultra-toto-ique: soit E un ensemble muni muni des 4 opérations comme l'est le corps des nombres complexes. T est un corps, il contient le corps des réels et ses opérations prolongent celles de R. On suppose qu'il y a une notion de "plus court chemin" sur T, répondant à des axiomes "naturels" (et honnêtes lol). On appelle "." l'application qui à un couple (u,v) d'éléments quelconques de T associe le nombre le plus proche de u×v.
Justifier que "." se comporte comme un produit scalaire.

65bis) Justifier que pour a,b dans T: a-b mérite de s'appeler "vecteur(b,a)"

65ter) Justifier qu'il existe une unité de longueur privilégiée telle que la "longueur" de a au carré est toujours égale à a.a fois cette unité au carré

christophe c · April 2008

70) Soit C un cercle, A un point sur le cercle. Soit M un autre point du cercle C. Prouvez que quand M fait un tour complet sur C, la droite (AM) fait un demi-tour autour de A.

Animation:
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/utilbacs.php#spinsol

Remarque: ça donne une solution à un problème que j'ai posé récemment sur le forum et que François Colmez a résolu aussitôt.

Le Phacochère · April 2008

christophe chalons a écrit:

Utilisation de l'axiome (a/b)×b=a pour tout a,b (y compris 1,0) et d'autres axiomes acceptés dès l'école primaire tacitement.

Je ne sais pas si à l'école primaire on laisse trainer des zéros au dénominateur ; pour parler de 3/0 par exemple : en combien de paquets de 0 objets peut-on regrouper 3 objets ?
De toutes façons tous les gamins savent bien qu'en divisant par 0 sur la calculette, "ça donne E". Ce qui leur apporte la preuve irréfutable que 1/0 n'existe pas.

christophe c · April 2008

Du phacochère: tous les gamins savent bien qu'en divisant par 0 sur la calculette, "ça donne E". Ce qui leur apporte la preuve irréfutable que 1/0 n'existe pas.

Je suppose que c'est de l'humour...

A propos d'humour, je signale à la ou les personnes qui ont réussi à poster sous mon (un de mes) IP que je sais qui elle est (elles sont) et comment elle a (ont) procédé, et il me semble que les motivations n'étaient, pas chez toi (vous), "humoristiques" (vue la suite. Le temps permet souvent de comprendre, mais c'est vrai qu'à l'époque je ne voyais même pas l'intérêt de ce genre d'initiative... Je me débrouille très bien tout seul pour poster des délires divers. Qu'est-ce qui était le plus dur: imiter mon style fantaisiste ou l'usurpation informatique?).

Je ne me vengerai pas, mais si un jour j'ai vos ip... miam miam. Bref, c'était la minute énigmatique.

71) Soit un triangle dont les côtés mesurent a,b,c. Le plus élégamment possible, exprimer son aire (en justifiant tout irréfutablement) en fonction de a,b,c

72) Prouve que la racine carrée de n'importe quel nombre entier positif qui n'est pas un carré parfait est irrationnelle

73) Soit e>0. Soit C un cercle. Prouver qu'il existe un polygone qu'on peut construire avec les outils (règle compas) à partir de C, et dont le périmètre est compris entre celui du cercle-e et celui du cercle+e

74) Soit P une phrase. On suppose qu'on peut prouver une autre phrase, disons Q en utilisant P comme axiome en plus des autres axiomes des maths. On suppose aussi qu'on peut prouver P à partir des axiomes des maths. Prouver qu'il existe une preuve de Q à partir des axiomes des maths.
Remarque: cet exercice ne nécessite pas de connaitre "les axiomes des maths"

75) Soit T un ensemble de suites finies de "0" et de "1". On suppose que pour toute suite infinie u de "0" et de "1", il existe un entier n tel que [u(1);u(2)..u(n)] n'est pas dans T. Prouver que T est fini

76) Prouver que la fonction exponentielle n'est pas un polynome

77) Soit f une fonction polynomiale telle que pour tous réels x,y f(x+y)=f(x)+f(y). Prouver que f est une application linéaire

78) Soit f une application continue de R dans R telle que pour toute application continue g de R dans R qui tend vers +l'infini en +l'infini, la limite quand x tend vers +l'infini de g(x)-f(x) est +l'infini. Prouver qu'il existe un nombre M tel que pour tout nombre u il existe un nombre v avec f(v)<M

christophe c · April 2008

79) On jette un sort à Toto. Pour lui le temps défile 10 fois moins vite que pour le reste de l'univers. Quand il regarde l'horloge, il a l'impression que chaque seconde prend 10 secondes à s'écouler.
79.1) Prouver que Toto se sent CENT fois plus léger
79.2) Prouver qu'il se sent 100 fois plus fort
79.3) Toto s'inscrit à Rolland Garros et ne s'y prépare pas. Quelles sont les premières erreurs qu'il commet face à ses adversaires? Les battra-t-il?

80) On dessine un grand cercle dans le désert de 10km de diamètre. On met des douaniers dessus de manière à ne laisser aucun passage sans douanier. Au départ le disque est vide. Pendant une journée chaque douanier compte +1 pour une personne qui traverse le cercle de l'extérieur vers l'intérieur et -1 pour une personne qui va dans l'autre sens. A la fin de la journée, le disque est à nouveau vide. Prouver que la somme des -1=la somme des +1

81) Soit E l'ensemble des uplets (date, heure, minute, lieu, mot). Soit f l'ensemble des histoires de gens. Prouver qu'il existe une application h de E dans F telle que l'image par h de (date de naissance de x, heure...,minute..., lieu..., nom de x)=l'histoire de x. En déduire que la vie d'une personne ne dépend que de sa date de naissance précise, son lieu de naissance et son nom.

christophe c · April 2008

82) On appelle "graphe d'échanges" la donnée de:
Un ensemble $E$ dit de "sommets"
Un ensemble $A$ de triplets $(a,b,r)$ où $a\neq b$; $(a,b)\in E^2$; et $r\in \R ^+$

On appelle "recette de $a$" (quand $a\in E$) le nombre $\sum _{(b,a,r)\in A}\ r$.

On appelle "dépense de $a$" le nombre $\sum _{(a,b,r)\in A}\ r$.

On appelle "fortune de $a$" le nombre "recette de $a-$dépenses de $a$"

Démontrer que la somme des fortunes des $a$ pour $a\in E=0$

christophe c · May 2008

(86) Dans le lien suivant, la droite blanche passe par le point vert et un point invisible (qui est fixe). But du jeu: construire ce point invisible fixe ou démontrer que c'est impossible. François Colmez conjecture que c'est impossible...

http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/utilbacs.php#enigma

christophe c · May 2008

90) Soit ABC un triangle non aplati. En chaque angle (A,B,C), on trace les 2 trissectrices intérieures. a1,a2 pour A; b1,b2 pour B... (Les trissectrices d'un angle le coupent en 3 parts d'égale mesure)

On note A1,B1,C1 les points d'intersection comme suit: A1 est le point d'intersection de la trissectrice en B et de la trissectrice en C chacun la plus proche du coté [BC]
<a href="http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/morley.html"> Voir dessin1 et animation </a>
8991

christophe c · May 2008

Waouhhh!!! Merci AD!

[A ton service

AD]

christophe c · May 2008

91) Soit ABC un triangle. Soit e une ellipse. Prouvez qu'il existe une ellipse similaire à e qui est inscrite dans ABC. (Pas de calculs, des arguments convaincants juste)

92) Soit T un tétraèdre. Soit C un convexe d'intérieur non vide et fermé. Prouver qu'il existe un convexe C' similaire à C qui est "inscrit" dans le tétraèdre (inclus dedans et tangent à ses 4 côtés)

Remarque: sans le 92, le 91 serait plus difficile...

93) Prouver qu'on ne peut pas recouvrir le plan avec un nombre fini de disques

94) Prouver que toute droite passant par le centre d'un cercle coupe ce cercle

95) Soit 2 suites finies u,v de même longueur L et telles que pour tout n compris entre 1 et L, il existe un unique p compris entre 1 et L tel que u(n)=v(p). **De plus on suppose que pour tout couple (n,p) d'entiers compris entre 1 et L, différents, u(n) est différent de u(p)

a) Prouver qu'il existe une suite finie w avec une certaine longueur M de suites finies qui sont toutes de longueur n et telle que:

pour tout entier i compris entre 1 et M-1, la suite w(i) et la suite w(i+1) sont proches, où le mot "proche" est défini par:

2 suites a,b de longueur n sont proches quand:

ou bien a(1)=b(2) et b(1)=a(2) et pour tout j compris entre 3 et n a(j)=b(j)
ou bien a(1)=b(n) et pour tout j compris entre 2 et n a(j)=b(j-1)

b) l'hypothèse * est-elle indispensable?

96) L'écriture dite "polonaise" évite les parenthèses: par exemple pour écrire 3+4, on écrit somme de 3 avec 4. Pour écrire 7/(6×4), on écrit la quotient de 7 par le produit de 6 par 4. Etc...
Prouver que si une expression avec toutes ses parenthèses (sans convention) est traduite en écriture polonaise, alors si on regarde juste l'écriture polonaise, il n'y a aucune ambiguité pour l'interpréter et on retrouve bien l'expression de départ. Il est demandé de définir le problème en plus de le résoudre... (Vive Toto)

cc non connecte · May 2008

98) Soit T un ensemble non vide d'applications de R dans R tel que pour toutes f,g:

si f appartient à T ainsi que g, alors fog aussi

si f appartient à T alors f est bijective et la réciproque de f est dans T

98.1) Prouver qu'il existe une application g dans T telle que pour toute f dans T: fog=gof=f

98.2) Soit C l'ensemble des applications f de T qui sont telles que pour toute g dans T: fog=gof. On note z(f) l'ensemble des g dans T telle que:
f o réciproque de g appartient à C. Et on souhaite "inventer" une opération binaire * qui ait la propriété suivante sur l'ensemble D des z(f) quand f parcourt T:

pour toute f,g dans T, z(fog)=(z(f))*(z(g))

Prouver que c'est possible en détails.

Remarque: * est une application de D×D dans D

Remarque2 clin d'oeil à gb (un groupe / son centre)

[Corrigé selon ton indication. AD]

Bati · May 2008

Bonjour à tous et plus particulièrement à Christophe,

J'ai vu que tu proposais sur ce fil des exercices enrichissants destinés aux élèves de TS ou qui en sont sortis depuis peu, cela me concerne

J'ai lu l'énoncé de la question 95), je ne sais pas ce que tu entends par suite "finie" ni par sa "longueur". Je ne connais que les suites numériques (programme de lycée et de MPSI) et vaguement les suites de fonctions.

Veux-tu parler d'une suite qui comporterait un nombre fini de termes, la longueur étant alors ce nombre de termes ?

Désolé si cette indication a déjà été fournie ailleurs, je n'ai en tout cas pas eu l'occasion de la lire.

D'avance merci.

Bati

christophe c · May 2008

Oui, tu as parfaitement deviné!

Une suite finie d'éléments de E est une application de {1;2;...n} dans un ensemble E, et sa longueur est n

Les puristes préfèrent dire que c'est une application de n dans E (et sa longueur est toujours n, car n:={0;...n-1} en termes officiels

christophe c · May 2008

Les exercices qui suivent sont rendus possibles par domi (membre de ce forum)

100) Soit ABC un triangle isocèle en A. Soit (d) la bissectrice intérieure en A de ce triangle, soit E sur (d). Prouver que EBC est isocèle en E avec des axiomes "enregistrés" dans vos tablettes scolaires

101) Soit plein de points du plan tels que les triangles suivants sont isocèles en leur premier point nommé (ie si je dis UVW isocèle, c'est en U).

BTU; DTV; CTW; EXT

On suppose de plus que T est sur le segment [BE]
On suppose de plus que T est sur le segment [CD]
On suppose de plus que B est sur le segment [AU]
On suppose de plus que D est sur le segment [AV]
On suppose de plus que C est sur le segment [BW]
On suppose de plus que E est sur le segment [DX]

Prouver que le triangle AWX est isocèle (lol j'espère n'avoir rien oublié)

christophe c · June 2008

mauvaise humeur, envie de me défouler: quelques questions avec "handicap".

105) Prouver que pour tout nombre y: y×0=0 à partir uniquement des axiomes de la préhistoire*.

* associativité de + et ×; (a-b)+b=a et (a/c)×c=a pour tout a,b et c non nul

106) Soit * une opération ayant seulement, à priori, les 2 propriétés suivantes:
a) (a×t)*(b×t)=a*b pour tout (a,b,t)
b) a*1=a pour tout a

Prouver que pour tout a et b non nul a*b=a/b

107) (Toto) La science est à la recherche de certitudes, elle construit des avions avec (qui sont sensés ne pas s'écraser). Quand on invente 1/3 ou racine carrée de 2*, par exemple, on nomme des désirs et on démontre que sous l'hypothèse de leur satisfaction ils se comportent comme ci et comme ça, mais on suppose explicitement qu'ils sont satisfiables. Prouver**, si possible, que ce pari est sain et n'aura pas pour conséquence que trop d'avions s'écrasent.

Par exemple, on donne un nom à un nombre positif qui multiplié par lui-même donne 2, on suppose qu'il existe et on calcule... Les conclusions scientifiques obtenues sont ainsi soumises à l'hypothèse de l'existence d'un tel nombre. Est-ce sérieux.

**C'est possible!

108) Même question que la 107 en ce qui concerne l'axiome: "pour tout nombre entier n il existe un nombre entier p qui est >n"

109) Même question, mais avec l'axiome: "il existe une application f de IN dans IN telle que pour tout entier p: f(p+1)=2×f(p)"

christophe c · June 2008

110) Donner un argument convaincant (non mathématiques forcément, mais convaincant) que PI ne peut pas être un nombre rationnel (ie un entier divisé par un entier)

111) Même question pour "e" (je ne sais si on connait "e" en TS)

112) Même question pour n'importe quel nombre hyperuniversel qui n'est pas un entier et soit attaché à de nombreuses symétries.

christophe c · July 2008

120) On dit qu'une application $f$ de $\N$ dans Chiffre (l'ensemble des chiffres 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9) est "presque nulle" s'il existe un ensemble fini F tel que pour tout $n\notin F: f(n)=0$. Prouver que pour tout entier $p$ il existe une unique application presque nulle f de $\N$ dans $Chiffre$ telle que:
p=somme pour $n\in \N$ des $10^n \times f(n)$

121) Soit T un tableau de nombres. On suppose que toutes les lignes sont 2 à 2 proportionnelles. Prouver que toutes les colonnes le sont aussi

122) Soit A un ensemble non vide de couples d'entiers positifs. Prouver qu'il existe un couple $(a,b)\in A$ tel que pour tout couple $(x,y)\in A$ ou bien $a<x$ ou bien ($a=x$ et $b\leq y$)

christophe c · August 2008

le lien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,461278,461278#msg-461278

m'a donné l'idée de cet exercice:

130) Soit p un nombre premier et a un nombre entier. On suppose que a×a est un multiple de p. Prouver très formellement que a est un multiple de p. Attention: utilisation de la "fausse" évidence qu'on peut décomposer un entier en produit de ses facteurs premiers interdite (à noter d'ailleurs qu'on se sert souvent de l'affirmation à prouver pour établir la "fausse-évidence")

131) (un des fils récent y fait référence): prouver que (-1)×(-1)=1 (avec le minimum d'axiomes)

132) Pourquoi le nombre (-5) ne mérite-t-il pas de s'appeler "nombre premier"?

133) (1)Prouver le théorème de Wilson (un fil récent le fait): si p est un nombre premier alors (p-1)!+1 est un multiple de p. (2) Prouver que si n n'est pas un nombre premier alors (n-1)!+1 n'est pas un multiple de n.

140) Prouver que "le faux" implique tout

Aide pour le 133.1: regrouper les nombres compris entre 2 et p-2 2 par 2 de sorte que le produit d'une paire quelconque soit égale à 1+un multiple de p

Bac S et malaises dus au langage

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