qu'est-ce qu'un ensemble ?

Bonjour,
Bon je tire le premier...
Ca dépend de la théorie dans laquelle tu te place. Dans celle de Zermelo- Fraenkel, les ensembles sont des "trucs" qui intuitivement bien surs sont des collections , qui satisfont un certain ensemble (?!) d'axiomes.
Dans d'autres théories où les éléments premiers sont des classes , les ensembles sont alors des classes particulières.
Comme dit l'u d'entre nous "en espèrant ne pa avoir dit trop de c...."
Bonne journée.
Jean-Louis.

Salut tout le monde,

le problème est que justement il n'existe pas de définition d'un ensemble... Le but de la théorie des ensembles a été justement de ramener toutes les maths à ce problème et de se rendre compte qu'on ne pouvait pas aller plus loin.... Les maths reposent sur une notion informalisable....

@l

Bonjour jean lismonde.

Tous les habitués du forum connaissent ton aversion pour le formalisme. Cependant :

quand tu écris : a écrit:

"notion informalisable"; "relation binaire"; "théorie de Zermelo-Fraenkel" que de jargon propre aux matheux!

Tu dépasses les bornes de la courtoisie. Il s'agit peut-être d'expressions propres aux matheux mais en aucun cas d'un jargon.

un ensemble est tout simplement un groupe d'éléments réunis suivant une caractéristique

A part d'entamer un magnifique cercle de pseudos définitions, que révèle cette phrase ? on ramène "ensemble" à "groupe d'éléments" mais qu'est-ce qu'un groupe d'éléments ? Et d'éléments réunis ? Et une caractéristique ?

La question initiale de miaou était : a écrit:

je voulais savoir si il existe une définition formelle d'un ensemble.

J'ai l'impression que tu dénigres les réponses précédentes sans faire vraiment avancer la question.

Bonjour,

Je vous propose une idée qui me parait à la fois mathématique, platonicienne et expérimentale donc matérialiste.

Si on tient pour fondamentale, dans une théorie des ensembles, la manière dont s'entretiennent les relations entre leurs constituants - intuitivement des éléments, des parties composées d'éléments, et le tout - nous pourrions chercher à définir un processus automatique qui simulerait un " bouillon " initial ayant la capacité de faire émerger axiomatiquement dans son milieu ces constituants.

Car ceci oblige les concepteurs à se situer à l'intérieur du probléme autant qu'à le tenir à distance. C'est aussi constructif.

Cordialement.

Présupposer ce qui est le plus élémentaire et le plus incontournable ne me semble que bien naturel. N'est-ce pas ce que l'on rencontre dans ZF avec l'énoncé générateur de l'ensemble vide ? ( Il existe x tel que, quelque soit y, x n'appartient pas à y )
Ainsi je suppose que l'on peut mettre en avant dans la délimitation de " choses ", le fait de l'établissement des limites entre elles, et de tout ce qu'elles impliquent. Comme le fait qu'une chose en expansion n'est limitée que par celle qui peut être considérée, et ainsi devenir, une autre chose. Vu sous cet angle les mathématiques ressemblent à une méditation décontractée qui essaye d'envisager le plus librement les représentations que notre expérience nous fournit sur le monde.
Même si on a l'impression que nos axiomes ne sont qu'une espèce de métaphysique de gros bon sens, pourrait-on rêver mieux pour des fondements, qu'une méthode qui s'efforce de garder le cap du plus élémentaire ?
Car je crois que l'on peut étendre substantiellement le thème des limites. On peut toujours noter à quel titre les constituants que l'on choisit de distinguer sont considérés tels, et notamment les uns par rapport aux autres. Même s'il est trivial de remarquer que dans l'espace et le temps, comme pour l'esprit, une chose est ce qu'elle est par le fait qu'elle se délimite parmi les autres.
Ce qui compte dans ce genre de réflexion me semble être de recadrer à intervalles réguliers où l'on va, par des synthèses et un système sur lequel on se met d'accord. Je suppose que la conscience elle-même ne serait qu'une intégration profonde entre phénomènes et calculs, vécus.
Je trouve au concept de limite quelques modes de réalisation qui semblent se distinguer. Je ne sais où placer la convergence vers une limite ni, si certains cas sont transformables en d'autes mais il y aurait : La limite d'une chose par une autre ; la limite en tant que frontière. La limite en tant que frein à une expansion ou une contraction. La limite en tant que signal assimilable à une information. Du même genre est la limite en tant que forme.
Mais pour faire quelque chose de ces remarques il semble indispensable de chercher à se situer dans un espace propre, propice à l'émergence des constituants dont on commence à se faire une représentation.

Bonsoir,

il me semble qu'il y a une grande différence avec le paradoxe du dictionnaire qui "se mord la queue".

Si on ne définit pas le mot "ensemble", c'est tout simplement qu'on n'en a aucun besoin.

Contrairement au dictionnaire, la définition d'un ensemble n'est jamais utilisée pour aller plus loin dans la théorie ou définir d'autres objets. On s'intéresse uniquement aux relations que ces objets de base entretiennent entre eux.

Alors libre à chacun de se représenter un ensemble comme une étoile, un proton ou une patate, ça ne change strictement rien.

Bon, c'était une idée.

Aldo

Je me force à intervenir, mais la vie est courte...

à miaou: à mon avis tu devrais te fier aux réponses de @I; ev et Bruno principalement qui t'ont répondu académiquement (c'est à dire l'opinion* consensuels et "officielle" des scientifiques professionnels)

* mais sociologique

Pour plus de détails, il faudrait AVANT que tu vois de quelle manière systématique les maths sont formalisées (qu'elles le soient dans ZF, ou autrement)

Et là, j'ai la flemme de détailler, d'autant que c'est assez subtil et une longue histoire et que le naufrage de la physique théorique actuelle (par exemple la théorie des cordes) est devenu inéluctable faute d'avoir fait pareil

Comme te l'a dit ev, les mots qu'on utilise ont 2 statuts possibles: définis par le dico officiel des maths (1), ou non (2). Comme ils sont en nombre finis, ev t'as fait remarqué que si (2) est vide (ensemble vide de mots lol) alors il y a forcément des circuits dans le graphe orienté où on met une arête qui part de x et arrive à y quand la définition de y utilise x.

Les maths ne pouvant se permettre d'avoir des circularités, (2) est non vide: il contient le signe "appartient";le signe "quelquesoit" le signe "implique" et le signe "tout" et de variables (jouant toute le même rôle). Le graphe du dico mathématique est sans cycle (bien fondé, dit-on professionnllement)

La théorie formelle qui contient toutes les autres est ZF (c'est une liste d'axiomes appelés théorie des ensembles, axiomes qui expriment ce qu'on attend comme comportement du monde des ensembles: il te reste à fureter partout pour les détails)

Une fois admis qu'il existe un supermonde qui contient tous les mondes possibles (ou au moins tous les mondes significatifs possibles) et donc une fois qu'on a l'impression (c'est juste une impression) de parler de choses qui ont du sens, les objets mathématiques de ce monde sont appelés des ensembles. (Autrement dit, une fois qu'on se place en imagination DANS un modèle de ZF)

Peut-être aurait-on pu procéder autrement?

Maintenant, pourquoi "des ensembles"?

Et bien, c'est assez instinctif: quand on parle, il y a une structure robuste qui est la structure "sujet-verbe". Les adjectifs ne sont pas utiles: par exemple putain ya des travaux chez moi, je m'entends plus taper être-un-chat-orange peut être considéré comme un verbe, de même que manger-du-pain

On aurait pu aussi dire que les verbes sont inutiles et que la structure est "sujet-adjectif" (séparé par "est"). Par exemple: je mange=je suis mangeant

Bref...

Comme cette structure pour parler et penser parait inévitable, comme notion première, il a dû à un moment paraitre naturel de limiter à la notion de "être" la seule notion première (les mots non définis sont désigne des notions premières)

De plus, ne connaissant rien, en profondeur, de la nature profonde de la différence entre sujets et verbes, il a dû paraitre naturel de les considérer tous désignant des objets d'un même monde. D'où les ensembles: au départ, ils correspondre plutôt aux verbes (ensemble des gens qui sont bêtes, ensembles des chats qui sont gris, etc) (des verbes être-bête; être-un-chat-gris, etc)

Leur intérêt réside dans leur "souplesse": tout verbe V correspond "tranquillement" à un ensemble: "l'ensemble des x qui V" (au présent de l'indicatif) ce qui ne serait pas le cas si on avait choisi d'autre notions intuitives comme notion première

ZF a l'air compliqué comme ça, mais initialement la seule, vraie et authentique théorie TT des maths se résume à un seul schéma d'axiomes: pour tout verbe "glouglouer" qu'on aurait défini (sans préciser de quelle manière, ni même accorder de l'importance au fait qu'on aurait utilisé pour ce faire le mot "appartient", il existe un ensemble A tel que [pour tout x si x appartient à A alors x glougloue, et réciproquement, si x glougloue alors x appartient à A]

"L'invention" de ZF n'est que le résultat d'un effort consécutif au fait que TT est contradictoire, mais cette invention préserve, et veut préserver "l'esprit" de TT (et l'intention instinctive qui la fait naitre)

Si tu veux aller plus loin, par exemple comprendre pourquoi même les sujets ont pu être (c'est une découverte scientifique pas une invention par contre) finalement vus comme des ensembles, il faut que tu étudies la logique plus en détails

Je te donne juste un indice, mais dans la théorie TT plutôt que ZF:

soit x un "objet" (à priori quelconque, et non présupposés ensemble): soit G(x) l'ensemble des ensembles H qui contiennent x. Alors l'application qui à x associe G(x) est injective et on peut identifier mathématiquement x à G(x), ce qui fait qu'on ne perd rien à considérer que tous les objets possibles et imaginables, ou même non imaginables sont des ensembles.

Il y a d'inoffensifs détails à voir (mais longs!) pour passer de TT à ZF, mais rien de plus profond.

Voilà pourquoi les maths et la science sont parvenus à tout éliminer à part les ensembles, et la logique des notions premières.

Tu n'obtiendras donc pas de réponse sérieuse si tu demandes à quelqu'un la définition d'un ensemble