Inductif
Bonjour,
Soit A un ensemble et PA l'ensemble des parties de A
Soit Y= { g | g est une fct dont le domaine est contenu dans PA et dont l'image est contenu dans A et tel que g(x) est dans x pour tout x du domaine}
alors je voudrais montrer que A muni de l'inclusion est un inductif mais je ne vois pas comment faire...
merci
Soit A un ensemble et PA l'ensemble des parties de A
Soit Y= { g | g est une fct dont le domaine est contenu dans PA et dont l'image est contenu dans A et tel que g(x) est dans x pour tout x du domaine}
alors je voudrais montrer que A muni de l'inclusion est un inductif mais je ne vois pas comment faire...
merci
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Réponses
Peut-être cherches-tu le fait suivant:
Pour chaque ordinal $e$, tu notes $z(e)$ l'image par g du complémentaire $T(e)$ de l'ensemble des $z(u)$ tels que $u<e$, si cet ensemble $T(e)$ est dans le domaine de $g$, sinon tu t'arrêtes (ie tu fais la construction ordinal jusqu'à plus possible). En notant $L$ l'ordinal à partir duquel la construction n'est plus possible:
par ton hypothèse, chaque $z(e)\in T(e)$ donc est différent de tous les $z(u)$ tels que $u<e$. Et ça donne une injection $z$ de $L$ dans $A$ telle que le complémentaire de l'image de $L$ par $z$ n'est pas dans le domaine de $g$. Autrement dit, "on arrive à monter jusqu'à une certaine limite de $g$ elle-même"
je crois tout simplement que cyclique a en vue une Zornification sur son ensemble Y d'applications partielles (il a fait une coquille en écrivant A au lieu de Y, visiblement). Est-ce si dur de montrer qu'une réunion croissante de graphes d'applications partielles de P(A) dans A vérifiant la condition est bien le graphe d'une application partielle vérifiant cette condition?
Cordialement.
Soit $E$ un ensemble, et $G$ un ordinal
Soit $T$ l'ensemble des applications de $E$ dans $G$.
Soit $L$ une application de $T$ dans $E$
Alors, il existe un élément $e$ de $E$ et une application $Y$ de $G$ dans $T$ ayant les propriétés suivantes:
1) pour tout $m\in G: L(Y(m))=e$
2) pour tout $m,n\in G$ avec $m<n$: pour tout $x\in E$; $Y(m)(x)\leq Y(n)(x)$
3) pour tout $m\in G$ l'application $Y(m)$ transforme $e$ en $m$
Je laisse qui est intéressé un peu de temps pour le prouver...
Pourquoi tu dis ça?
On regarde L comme une coloration du pavé $E^G$ en $G$ couleurs, et l'existence de $Y$ assure un chemin $m\to Y(m)$ qui traverse le pavé en restant toujours de la même couleur, la propriété de croissance (2) étant une sorte de continuité.
$g_m(e):=$ le plus petit $n\in G$ tel que pour tout $p<m$, si $L(g_p)=e$ alors $g_p(e)\neq n$. On construit ainsi par induction ordinale, les $g_m$ jusqu'à plus possible, ie jusqu'à ce qu'il y en ait une qui ne puisse avoir comme domaine $E$ tout entier.
Soit $m$ l'ordinal tel qu'on ne peut construire $g_m$. Il existe donc $e\in E$ tel que pour tout $n\in G$; il existe $p<m$ avec $L(g_{p_n})=e$ et $g_{p_n}(e)=n$, CQFD
Vu la définition il est évident que les $g_p$ pour $p<m$ donnent la $Y: n\to g_{p_n}$ dont on voulait prouver l'existence.
OUps je n'avais pas relu.
> Euh...
>
> je crois tout simplement que cyclique a en vue une
> Zornification sur son ensemble Y d'applications
> partielles (il a fait une coquille en écrivant A
> au lieu de Y, visiblement). Est-ce si dur de
> montrer qu'une réunion croissante de graphes
> d'applications partielles de P(A) dans A vérifiant
> la condition est bien le graphe d'une application
> partielle vérifiant cette condition?
>
> Cordialement.
oui tu as vu juste...c'est bien Y que je voulais mettre, :S
Cordialement.
j'avais lu en diagonale et voyant "A" à la fin, à la place de "Y", mon cortex a réinterprété le post initial en "Soit A tel que il existe g tel que..." (ce qui arrive quand on demande de prouver un truc "A" à la fin, avec A donné dès le départ, les var intermédiaires sont souvent existentielles).
Bon, bin j'espère que ça s'est conclu...
Ah je vois que non, personne n'a eu la bonté de donner à Cyclique une preuve, n'est-ce pas ça qu'il demandait? Le pauvre, et en plus je lui ai dit que c'était évident, il a dû pas oser redemander: bon pour me faire pardonner
Soit T un sous-ensemble totalement ordonné de Y. Alors Cycl.. j'espère que tu sais ce qu'est une fonction, ça avait fait couler de l'encre ici pdt un tps lol. Soit $(u,v)$ un élément se trouvant dans au moins une des fonctions $f$ de T et $(u,w)$ un autre tel élément (qui se trouve dans $g\in T$). Je renomme mes 2 fonctions de telle sorte celle qui s'appelle $g$ soit telle que $f\subseteq g$. Il s'ensuit que $(u,v)$ et $(u,w)$ sont tous les 2 dans $g$ et donc $v=w$
Si $x\in $ au domaine de l'une des $f\in T$, (rappel $T\subseteq Y$)alors $x\subseteq A$ et $f(x)\in x$, donc la réunion des fonctions se trouvant dans $T$ est bien un élément de $Y$.
Pardon de t'avoir dit que c'était évident, ça ne me ressemble pas lol (en maths tout doit être prouvé)
Bon effectivement, ça apparait à bcp de gens comme "trivial", mais c'est subjectif.
Je présumes que, tu veux prouver l'axiome du choix à l'aide de l'axiome de Zorn:
vu ce qui précède, $Y$ est "inductif", donc a un élément maximal (c'est ce qu'autorise l'axiome de Zorn) et donc, $Y$ contient un élément maximal. Si $g\in Y$, soit $X\subseteq A$, non vide qui n'est pas dans le domaine de $g$ et $t\in X$. Alors $g\cup \{(X,t)\}$ est dans $Y$ et $g$ n'est pas maximal. Un élément maximal de $Y$ a donc un domaine égal à $P(A)-\{ \emptyset \}$
Ah et sinon, les trucs (hors-sujet) que j'ai signalé, sont malgré tout dignes d'intérêt et "surprenant" (pour le deuxième)