logicisme ; théorème de complétude
Bonjour,
Dans le dernier chapitre de mon cours d'épistémologie, on aborde la crise des fondements des mathématiques survenue à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème.
La prof nous expose deux voies de recherches qui ont été menées afin de résoudre cette crise :
1) le logicisme
2) le programme finitiste d'Hilbert.
A) Concernant le logicisme, elle écrit que sa philosophie consistait à considérer que les mathématiques étaient entièrement réductibles à la logique. Elle mentionne la théorie des types qui permet de résoudre certains des paradoxes rencontrés et elle écrit enfin :
" Dans la perspective logiciste de Frege et Russel, la logique est universelle au sens où ce dont elle parle est "tout ce qui est". De ce point de vue la consistance doit se réaliser au sein même du système formel, en la montrant effectivement dans la dérivation des théorèmes de sorte qu'on met à l'épreuve concrètement sa capacité démonstrative. Les Principia Mathematica constituent un système formel au sens strict du terme, mais la formalisation et les démonstrations apparaissent donc insuffisantes. "
J'ai souligné "donc", car je ne comprends pas cette dernière phrase. Pourriez-vous m'expliquer pourquoi la formalisation et les démonstrations apparaissent insuffisantes ? Je ne comprends pas où le bât blesse dans le logicisme...
Après avoir exposé le programme finitiste d'Hilbert, la prof nous parle des théorèmes de limitation de Gödel, puis de son théorème de complétude.
B-1) Elle écrit :
" Pour démontrer la consistance d'un système formel il faut trouver un énoncé du système qui ne soit pas un théorème, car dans un système inconsistant tout énoncé est un théorème. "
Là, j'avoue que je ne comprends pas ce qu'elle veut dire. Pourriez-vous me donner un exemple concret d'un énoncé qui n'est pas un théorème ?
B-2) La prof nous expose ensuite le théorème de complétude de Gödel, selon lequel, en notant $S$ un système formel sémantiquement complet pour la logique du premier ordre : " une formule $\varphi$ de $S$ de premier ordre est formellement démontrable si et seulement si elle est vraie dans tous les modèles. "
Elle écrit ensuite :
" D'après ce théorème, la démonstration de tout théorème mathématique peut être formalisée, et sa validité peut être vérifiée par des moyens purement mécaniques, à savoir par une machine. "
Je ne comprends pas bien cette déduction qu'elle fait à partir la citation du théorème qu'elle a donnée. Je crois que je ne comprends pas bien les termes employés. De ce que je comprends, pour qu'un théorème mathématique puisse être démontré formellement il faut et il suffit, d'après l'énoncé du théorème de Gödel, que son "énoncé" soit vrai dans tous les modèles. Or, ne peut-on pas trouver un énoncé mathématique qui ne soit pas vrai dans tous les modèles et, donc, dont on ne puisse pas faire la preuve formelle ? En fait, je ne comprends pas comment elle passe de l'énoncé qu'elle donne du théorème de complétude à l'assertion suivant laquelle la démonstration de tout théorème mathématique peut être formalisée... Pourriez-vous m'expliquer cela ?
Merci d'avance pour vos réponses.
Dans le dernier chapitre de mon cours d'épistémologie, on aborde la crise des fondements des mathématiques survenue à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème.
La prof nous expose deux voies de recherches qui ont été menées afin de résoudre cette crise :
1) le logicisme
2) le programme finitiste d'Hilbert.
A) Concernant le logicisme, elle écrit que sa philosophie consistait à considérer que les mathématiques étaient entièrement réductibles à la logique. Elle mentionne la théorie des types qui permet de résoudre certains des paradoxes rencontrés et elle écrit enfin :
" Dans la perspective logiciste de Frege et Russel, la logique est universelle au sens où ce dont elle parle est "tout ce qui est". De ce point de vue la consistance doit se réaliser au sein même du système formel, en la montrant effectivement dans la dérivation des théorèmes de sorte qu'on met à l'épreuve concrètement sa capacité démonstrative. Les Principia Mathematica constituent un système formel au sens strict du terme, mais la formalisation et les démonstrations apparaissent donc insuffisantes. "
J'ai souligné "donc", car je ne comprends pas cette dernière phrase. Pourriez-vous m'expliquer pourquoi la formalisation et les démonstrations apparaissent insuffisantes ? Je ne comprends pas où le bât blesse dans le logicisme...
Après avoir exposé le programme finitiste d'Hilbert, la prof nous parle des théorèmes de limitation de Gödel, puis de son théorème de complétude.B-1) Elle écrit :
" Pour démontrer la consistance d'un système formel il faut trouver un énoncé du système qui ne soit pas un théorème, car dans un système inconsistant tout énoncé est un théorème. "
Là, j'avoue que je ne comprends pas ce qu'elle veut dire. Pourriez-vous me donner un exemple concret d'un énoncé qui n'est pas un théorème ?
B-2) La prof nous expose ensuite le théorème de complétude de Gödel, selon lequel, en notant $S$ un système formel sémantiquement complet pour la logique du premier ordre : " une formule $\varphi$ de $S$ de premier ordre est formellement démontrable si et seulement si elle est vraie dans tous les modèles. "
Elle écrit ensuite :
" D'après ce théorème, la démonstration de tout théorème mathématique peut être formalisée, et sa validité peut être vérifiée par des moyens purement mécaniques, à savoir par une machine. "
Je ne comprends pas bien cette déduction qu'elle fait à partir la citation du théorème qu'elle a donnée. Je crois que je ne comprends pas bien les termes employés. De ce que je comprends, pour qu'un théorème mathématique puisse être démontré formellement il faut et il suffit, d'après l'énoncé du théorème de Gödel, que son "énoncé" soit vrai dans tous les modèles. Or, ne peut-on pas trouver un énoncé mathématique qui ne soit pas vrai dans tous les modèles et, donc, dont on ne puisse pas faire la preuve formelle ? En fait, je ne comprends pas comment elle passe de l'énoncé qu'elle donne du théorème de complétude à l'assertion suivant laquelle la démonstration de tout théorème mathématique peut être formalisée... Pourriez-vous m'expliquer cela ?
Merci d'avance pour vos réponses.
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Réponses
Bon, mais vue l'heure, j'ai un peu la flemme... Fais une recherche sur le forum en tapant mon nom, complétude, etc jcrois qu'il y a pas mal de fils où j'ai dû l'expliquer.
IL SE TROUVE que les preuves de maths sont "mécanisables", et IL SE TROUVE qu'on a le théorème de complétude, donc, je pense selon ta prof, que la conclusion est: "tout est bien qui finit bien, puisque" ou bien pour tout énoncé A, il y a un modèle de nonA, ou une attestation "mécanique" (une preuve) de A
sa philosophie consistait à considérer que les mathématiques étaient entièrement réductibles à la logique
Ce n'est pas une philosophie, c'est un fait: les maths sont de la logique appliquée (pour des raisons d'orgueils chatouillés, ce n'est pas toujours très bien perçus, mais tout mathématicien honnête le sait bien). C'est simplement dû au fait qu'en maths on (devrait) prouve tout ce qu'on dit.
Bah un exemple d'énoncé dont "on espère" (enfni pas moi) qu'il ne soit pas un théorème: "0=1". Peut-être que c'en est un, mais dans nos systèmes, on n'en a pas encore trouvé de preuve.
Pour ce qui est des "systèmes mécaniques", tout théorème P dans une théorie T est tel qu'il existe un énoncé E, qui soit un axiome et tel que $E\to P$ soit aussi un axiome (si on considère les conjonctions d'axiomes comme des axiomes)
Or pour vérifer que $U\to P$ et que $U$ sont des axiomes, il n'y a rien à faire ou presque puisque l'ensemble des axiomes que l'on choisit est libre (par définition, la théorie est l'ensemble des ces axiomes).
Dans d'autres fils, j'ai donné la liste des axiomes "logiques" (qu'on met dans toutes les théories scientifiques).
J'ai fait quelques recherches, à partir de ton nom, sur le forum, comme tu me le conseillais, mais ça dépasse souvent mon niveau... (ce cours d'épistémologie me donne bien du mal...)
Je ne comprends toujours pas bien ce qui différencie exactement le logicisme de Frege et Russel du finitisme d'Hilbert ?
Pour aiguiller vos réponses, voici la question que pose la prof dans son devoir :
" Expliquez pourquoi les rapports entre vérité et démonstration se posent différemment dans le programme de Hilbert et le projet logiciste de Frege et Russel ? "
... je suis bien "largué"...
Quelques pistes de réflexion. Je suis étudiant et m'intéresse de près à ces questions, mais je te conseille de contacter ton enseignant ou consulter des ouvrages de référence pour en approfondir certaines.
Le finistime de Hilbert est une chose, son programme en est une autre.
Le finitisme est une position philosophique affirmant que les processus de pensée sont finis, d'où tout résultat mathématique sensé doit être fini. Tant que l'on manipule le fini, les mathématiques sont sûres, mais l'ajout du concept de l'infini (qu'il soit potentiel ou actuel) entraîne des complications (en fait perd tout sens pour les finitistes).
Indépendament, le programme de Hilbert consiste à assurer les fondements des mathématiques. Pour cela il propose l'étude systématique des axiomatiques, et en particulier de démontrer leur cohérence. C'est la métamathématique, l'étude des théories mathématiques en tant qu'objet.
Le logicisme est lui aussi une doctrine philosophique (je contredis donc Christophe sur ce point), assertant que toute théorie mathématique est réductible à la logique.
Le logicisme n'est pas une position tenable (et Frege lui-même l'abandonna), principalement pour deux raisons :
1) Il n'est pas possible de justifier les axiomes logiques autrement que par un consensus. Autrement dit, c'est l'intuition sensible (ou l'intuition du nombre pur, voir Poincaré "la valeur de la science") ou une justification empirique (tel axiome se montre cohérent et productif, tel autre non) qui seuls, peuvent les justifier.
2) La logique la plus parfaite alliée à d'infaillibles règles de déduction peut toutefois mener à des paradoxes, comme ceux rencontrés en théorie des ensembles. Il se trouve que les paradoxes syntaxiques sont tous d'un même type et peuvent être écartés par diverses restrictions de langage (voir l'axiome de compréhension devenu l'axiome de remplacement de ZF). En revanche, l'interprétation sémantique des énoncés pose aussi des problèmes paradoxaux (du type du "menteur") qui eux ne peuvent être résolus de la même manière.
Le programme de Hilbert mène à l'étude systématique de la cohérence d'une théorie, et permet justement de la démontrer dans certains cas.
Malheureusement ces cas sont rares, c'est ce que montre l'incomplétude de Gödel, et met un terme à l'espoir de Hilbert de montrer la consistance axiomatique des mathématiques (et aussi par la même occasion contredit la possibilité de tout réduire à la logique).
Il sera toujours nécessaire d'ajouter ou de modifier des axiomes pour éviter les paradoxes, et ce processus ne peut en aucun cas être "terminé" dans de telles théories.
En revanche, la métamathématique a évolué pour devenir à l'aide de la théorie de Tarski (modèles) une théorie de la sémantique mathématique, dans laquelle la notion de vérité peut-être précisée et rendue consistante avec les résultats précédemment cités.
En particulier, elle met en évidence la distinction fondamentale entre vérité au sens classique (qu'on peut associer dans cette théorie à la satisfaction d'une formule) et démontrabilité. La démontrabilité est alors équivalente à la satisfaction dans tous les modèles de la théorie (en logique du premier ordre), ce qui est plus exigeant (voir les exemples classiques, axiome du choix, postulat d'Euclide,...). C'est le théorème de complétude.
Fondamentale en théorie des modèles qui la formalise, cette dissociation apparait déjà dans le programme de Hilbert, lorsqu'il étudie l'indépendance ou non de certains groupes d'axiomes (géométriques en particulier, voir Hilbert "Les fondements de la géométrie").
Un axiome est indépendant si sa valeur de vérité est contingente à l'axiomatique, cad que le système est tout aussi cohérent avec lui qu'avec sa négation.
Dans le cadre du logicisme, la démonstration n'est qu'un ensemble de règles syntaxiques permettant de transférer la valeur de vérité (au sens classique) d'une proposition à une autre. Toutefois je ne saurai en dire plus sur le rapport vérité/démonstration dans le cadre du logicisme et je ne peux que recommander de lire les auteurs concernés (Frege et Russel donc). Je pense que la distinction expliquée plus haut n'y est pas faite, mais ceci reste à vérifier. La citation que tu donnes semble montrer l'utilisation de la logique classique, sans l'interprétation sémantique moderne.
PS : Je serai intéressé par un exemplaire de ton cours d'épistémologie s'il est disponible en document électronique (par mp si tu préfère).
Cordialement,
Johann
Même les faits on peut les appeler des doctrines. Cependant, je n'ai jamais vu les mathématiciens déroger, même un peu, à la démarche consistant à faire de la logique appliquée, au point même que c'est la définition même des maths: prouver ce qu'on dit, et même plus généralement de la science. Donner un autre nom à une même chose ne l'en différencie pas.
Je veux bien admettre qu'un jour peut-être des gens se déclarant mathématiciens prétendront faire des maths malgré une production de preuves logiquement invalides, mais je ne serai pas seul à leur dire qu'ils n'en font pas. Heureusement ce n'est pas (encore) le cas et ça a peu de chances d'arriver, puisque même HORS-MATHS mais IN SCIENCE, prendre ce risque est immédiatement fatal concrètement (1/1000000 chance qu'un truc soit faux c'est rapidement un catastrophe à l'échelle mondiale), donc rappel à la soumission à la logique envoyé presque immédiatement et par la Nature elle-même si on voulait s'en écarter.
Dans (1) tu évoques comme argument que ne pas pouvoir justifier les axiomes serait un argument semble-t-il en faveur d'une différenciation logique-maths???
Dans (2) par contre, tu te trompes objectivement: il n'y a pas de "graduations" de logique plus ou moins parfaites, telles que "les plus parfaites" même seraient faillibles. Par ailleurs, les paradoxes que tu évoques sont des théorèmes, et en tant que tels ne sont pas "des paradoxes tous du même type" comme tu dis résolus par la "restriction": cette erreur est courante, chez les gens qui se sont nourris aux lectures historiques sur la crise des fondements du début du siècle.
Peut-être faut-il distinguer par contre, la teneur "religieuse" derrière les faits et les faits eux-mêmes: je ne suis pas assez cultivé, mais il est bien possible que "le logicisme" tel que présenté par les profs de philos des fac de lettres inclut une "revendication de pouvoir".
Moi quand je dis que c'est un fait et non une doctrine, je ne mets aucune hiérarchie, et ne "dégrade pas" le mathématicien par rapport au logicien en l'y soumettant. Il est possible que le mouvement évoqué ait pu être appréhendé par contre comme voulant le faire en catimini. L'histoire humaine étant sytématiquement "polluée" par les affaires d'orgueil, plein de sous-entendus se glissent parfois.
Je peux comprendre que le travail (surtout pour un non matheux) nécessaire à analyser les naufrages du 19e peut être long et que si on s'arrête en cours de route en croyant avoir compris, on peut "sortir" de l'enquète en cours avec des préjugés, en particulier, les classiques délires médiatiques sur l'enseignement du théorème de Godel, le soit-disant fait qu'il aurait mis un point d'arrêt au programme de Hilbert, qu'il aurait révélé quelque irréductibilité de la science à la logique ou je ne sais quel autre délire, etc.
Cependant ce sont là plutôt des amusements sans sens véritable qu'autre chose.
Attention à une erreur répandue: les axiomes ne sont pas "à justifier" et certainement pas par des intuitions sensibles: les maths ne sont pas la physique. Les axiomes sont des hypothèses parfaitement assumées telles. Et nulle part, il n'est plus jamais question de "consistance". Le but des mathématiciens est bien au contraire de trouver des contradictions (donc de nouvelles théories contradictoires), pas des théories consistantes (j'ai déjà expliqué sur le forum plusieurs fois ce truc qui me semble important car mal approprié par beaucoup)
Quant à la logique et aux maths "parfaites" (pour reprendre ton expression) elle produisent des théorèmes et les seules améliorations à chercher sont dans comment être encore mieux inspiré. Il n'y a "plus" de "crise des fondements" (depuis 1950-1960) et cette dernière avait été simplement une "erreur" comme on en fait souvent.
Contrairement aux autres pratiques humaines, nous avons la chance en maths de pouvoir en faire, les reconnaitre, les classer et les exploiter formellement. En maths, les "grands hommes" du passé entrent dans une hiérarchie d'établissement et non d'esprit: on les admire par principe, ou lors de cérémonies, mais l'avantage est qu'on sait les erreurs "enfantines" qu'ils ont commis parce que tout est formel.
Dans les autres pratiques ce n'est pas pareil: un grand esprit du 15e siècle pourrait être pertinent même aujourd'hui, avec les mêmes productions. En maths, non: ses découvertes sont enseignées très tôt et ses erreurs signalées en toute simplicité technique comme des erreurs à ne pas faire.
Je sais que, vu le développement technique des maths, les profs de philo des facs (sans parler des lycées) n'ont pas pu "continuer" en pensée après les années 40-50 et galèrent un peu sur les émerveillements Godéliens, Cantoriens, Russeliens, etc. Personne ne le leur reproche, tant qu'ils font de l'histoire, mais il est plus discutable de projeter des "erreurs objectives" ou leur incompréhension de la suite après 1940 dans leur docte discours.
Je crois que l'on ne s'est pas compris, je me suis peut-être mal exprimé.
Tu vas peut-être dire que je joue sur les mots, mais pour moi tu confonds la science avec la méthode scientifique. La première est définie par l'utilisation de la seconde, dont la démonstration mathématique (syntaxique) fait partie. Mais que cela plaise ou non (et d'ailleurs cela ne plait en général pas aux mathématiciens), la science est une partie intégrante de la philosophie ! C'est précisément la partie la plus rigoureuse de la philosophie, puisqu'elle utilise comme méthode la déduction logique.
D'où mon utilisation du terme de doctrine philosophique pour désigner le logicisme, ou plus généralement toute philosophie des mathématiques qui est précisément une idée préconçue de la méthode qui doit être celle de la science mathématique. Pour le logicien, il s'agit de la logique, point barre.
Je comprends cette position et je la respecte, mais elle n'est pas la seule position possible !
Je ne vais pas te faire la liste des différentes conceptions de la méthode mathématique, qui vont du finitisme, au constructivisme en passant par l'intuitionnisme, et j'en passe, tu es surement conscient de l'existence de tous ces courants.
La logique est la principale méthode mathématique, je suis bien d'accord avec toi !
En revanche, et c'est le point de notre désaccord, je persiste et j'insiste sur le fait que si la mathématique n'était que de la logique, comme tu l'affirmes (en fait comme tout logiciste l'affirme), elle ne serait qu'une immense tautologie !
Ainsi je ne différence pas complètement maths et logique, je dis que la logique seule n'englobe pas toutes les mathématiques (contrairement au point de vue logiciste).
Manifestement, quelque chose accompagne la logique, que ce soit de façon ponctuelle ou systématique. Il me semble que ce quelque chose est l'intuition. Par exemple,
l'axiome de récurrence est un fondement logique (absolument rigoureux et exact) qui est issu de l'intuition que nous avons des nombres entiers, dont la principale caractéristique est de pouvoir être définis par un nombre de départ et la fonction successeur. C'est l'intuition nous affirmant que l'on peux appliquer cette fonction indéfiniment qui nous garantit à la fois leur existence, et leur structure fondamentale permettant le fonctionnement du principe de récurrence.
Bien entendu, un objectif du mathématicien est de trouver où se situe la limite entre raisonnement logique pur et intuition, ce qui reviens à débusquer des paradoxes et à "sécuriser" le raisonnement.
Mon second argument est relativement mal formulé, j'en conviens.
En tous cas, je n'affirme pas qu'il existe des "graduations" de logique plus ou moins parfaites, mais que dans un raisonnement logique se cache parfois un concept purement intuitif. Nous ne sommes pas des machines, notre intelligence est influencée par nos émotions et nos sens, et chaque "il est clair que", "il est évident que" peut recéler un concept intuitif, même au coeur d'un argument logique.
Ce que je veux dire par paradoxes tous d'un même type, c'est qu'il s'agit de paradoxes de syntaxe, autrement dit de contradictions logiques. On rejette une règle ou un axiome, lorsqu'il mène à des propositions contradictoires, je ne t'apprends rien.
C'est précisément ce que je pense, du moins une irréductibilité à la logique que nous connaissons, qui sait ce que nous réserve (ou pas) l'avenir ?
Je ne prétends pas que l'incomplétude est "une limitation de l'esprit" ou des mathématiques (là je serai d'accord avec toi pour y qualifier de délire), je la considère au contraire comme le garant de leur ouverture et de leur créativité, clairement liée au fait que la mathématique n'est justement pas une immense tautologie.
Bien au contraire, on ne garde pas un axiome s'il engendre une contradiction, on justifie l'utilisation d'un axiome par la cohérence de son système, et je ne vais pas argumenter ce point mais laisser la parole à P. Dehornoy, à propos des axiomes de grand cardinaux (peut importe ce qu'il sont, je cite ce passage un peu hors sujet parce qu'il exprime mieux que moi ce point de vue) :
La "crise des fondements" n'est certainement plus une crise, les fondements sont effectivement beaucoup mieux compris de nos jours, mais le problème existe toujours puisqu'il oblige à considérer les mathématiques comme une science quasi-empirique (Le terme et l'argument sont partagés entre autres par G. Chaitin, H.L. Lebesgue et E. Borel), précisément comme la physique, ce qui représente certainement une aberration pour beaucoup de mathématiciens qui considèrent leur science comme "au-dessus des autres", ou "différente" parce que exacte : elle prétend à une universalité qu'il est impensable de mettre en parallèle avec les sciences naturelles.
C'est pourquoi le problème des fondements à été abandonné depuis longtemps. On préfère l'oublier ou le croire résolu que d'accepter le fait que certains axiomes mathématiques ne sont pas plus universels que des postulats de physique.
Je veux bien croire que l'axiome de non-contradiction est universel, mais c'est une évidence que seule mon intuition peut confirmer. Et l'histoire à clairement montré que des axiomes "naissent" et "disparaissent" selon leur utilité ou leur cohérence logique.
En tant que logiciste, je sais très bien que tu vas refuser catégoriquement certains de mes arguments, mais je ne cherches pas à te convaincre.
Cordialement,
Johann
Et le texte (médiatique et purement pédago) de PDehornoy t'induit en erreur: les axiomes sont des hypothèses
Sur le plan historique, il y a une dinctinction entre 3 sortes d'hypothèses, mais c'est transparent sur le plan maths:
1) les hypothèses pérennes (appelées axiomes)
2) les axiomes inoffensifs (appelés définitions) (par exemple l'axiome 2:=1+1)
3) les hypothèses diverses ni1, ni2
Ces courants n'ont rien à voir avec l'idée que je t'ai dite: eux sont vraiment des "doctrines" si on peut dire, mais ils ne sont ni nié, ni défendus par le fait que faire des maths consiste à prouver des théorèmes, fait qui lui, n'est pas une doctrine, et n'est pas "syntaxique" (si ça l'est) dans la mesure où on a le théorème de complétude qui prouve qu'il n'y a qu'une seule manière de démontrer.
Autrement dit, quand je te dis que ça n'est pas une doctrine, je pèse mes mots: sans le théorème de complétude, à la rigueur tu pourrais dire "pourquoi une syntaxe plutôt qu'une autre", etc
Tu aurais dû essayer de l'argmenter, c'est passionnant: là c'est "une erreur" importante aussi qu'il me semble louable de te signaler. ON NE JUSTIFIE PAS LES AXIOMES, on N EN EST PAS CAPABLES!!!!!!
Le texte de P.Dehornoy est très différent, il explique (je sais dans quel contexte il a été écrit, je l'ai lu ya longtemps de sa propre main) pourquoi ON CHOISIT tels et tels axiomes (de grands cardinaux), il n'explique pas "qu'ils sont vrais". C'est très différent: il (veut) expliquer pourquoi on choisit de les supposer, autrement dit DE LES ATTAQUER.
C'est très EXACTEMENT L'OPPOSE de les "DEFENDRE", or tu sembles croire que les axiomes sont "défendus".
Mais ce n'est pas un point de désaccord, TU AS PARFAITEMENT COMPRIS: la mathématique EST BIEN une immense tautologie (sans rajout péjoratif "n'est que")
Il n'existe pas et n'existera jamais (ou alors je demande à voir comment) de théorèmes de mathématique qui ne soit pas UNE TAUTOLOGIE. C'est étrange, je me méfie de mon ton, mais je me demande si, au fond de toi, tu ne croyais finalement que se baladent par-ci parlà des théorèmes qui ne sont pas des tautologies??? Ce n'est pas un manque de respect à ton égard de te le demander car il est possible que tu l'aies cru..
Je te pose la question, car tu as réitéré 2 fois cette idée:
Tu vois (j'ai souligné le passage où tu le dis clairement sans déformer)? C'est une image ou tu ne savais réellement pas que les maths sont une listes (et découvertes) de tautologies?
Remarque: elles le sont, ce qui n'entrave nullement la créativité.
Ca dépend en quel sens, ON LE GARDE PLUS ENCORE en un certain sens, puisque sa négation devient un THEOREME et est enregistré à l'académie des sciences!!!
Rien n'est plus SATISFAISANT qu'un "axiome" comme tu dis qui, contradictoire, vu qu'il acquiert un statut de découverte, de théorème (sa négation)
-- Schnoebelen, Philippe
pour le rouge, le vert, et les polices, désolé, je suis un peu comme un gamin qui joue avec les nouvelles fonctionnalités du forum.
J'essairai de me retenir
Le voeu pieux de la philosophie est d'atteindre la science idéale qui permettrait de "tout expliquer", d'une certaine manière ce serait de pouvoir unifier l'ensemble de la connaissance, comme l'ambitionnait Leibniz avec sa "caractéristique universelle".
Les mathématiques sont à mon avis, grâce à la méthode axiomatique (c'est pour cela que je me focalise sur les axiomes, à tort ou à raison) la meilleure approximation d'une telle science idéale. Mais elle en est encore loin :
Si la mathématique était un ensemble de tautologies, elle serait complètement fermée et alors on pourrait l'axiomatiser entièrement, le problème des fondements serait alors bien réglé ! Ce n'est évidement pas possible de n'avoir qu'une axiomatique pour toutes les mathématiques. Et pour moi ce n'est pas une limitation, c'est une force, une preuve d'ouverture. C'est à mon avis la raison pour laquelle le logicisme n'est pas tenable (non pas que l'on ne puisse pas défendre cette thèse, mais on peut aussi défendre la thèse contraire).
C'était très intéressant de confronter nos points de vue, et notre seul vrai désaccord se situe bien sur le caractère tautologique ou non des mathématiques...
Cordialement,
Johann
Tout à fait, mais ce n'est pas un option philosophique, c'est tranchable: je t'affirme purement et simplement que les mathématiques sont TRES EXACTEMENT la recherche des tautologies (certains précisent "intéressantes", je ne vais même pas jusque là), mais plus précisément, (parce que parlant de "recherche de" j'anthropomorphise) je t'affirme qu'elles sont tautologiques! cad que TOUS les théorèmes de maths sont des tautologies (et toutes les tautologies ont vocation à devenir des théorèmes, mais on ne les a pas toutes trouvées).
Donc nous ne sommes pas en désaccord philosophique, mais entrain de faire un pari (comme des enfants "combien on parie") sur un point où un jour nous serons d'accord.
C'est marrant, c'est très exactement ce que j'ai eu la prétention de t'informer: je ne tais pas dit "je pense que", ou "m'est avis que", je t'ai écrit (à le sale despote que je suis) "ah bon, tu n'étais pas au courant?, Bin voui, les maths sont entièrement formalisées et plus de crise des fondements"
Tu n'as pas l'air convaincu vu que tu parles au conditionnel. J'appuie et j'assume (et ce n'est pas une position idéologique, c'est un fait:)
la mathématique est un l'ensemble de tautologies, elle est complètement fermée (c'est péjoratif non???) comment dire, bé .. "formalisée" et alors on l'a axiomatisée entièrement (la notion d'axiomatisation est d'ailleurs un peu maladroite ici, ce n'est pas exactement ça), le problème des fondements est alors bien réglé (bin voui, totalement)
Du fait qu'il s'agit d'un "fait", je ne pense qu'il vaille la peine de donner un nom à ce "théorème" (comme tu le fais en l'appelant "logicisme") car ça donne à penser que ce serait spéculation ou question d'opinion. Le théorème de complétude est une découverte, pas une "invention" ou "une religion".
J'ai un peu peur que tu rapproches peut-être choses très différentes, sans le vouloir: tout ceci n'a rien à voir avec les ambitions démesurées des anciens. "vrai" et prouvé" n'ont pas grand chose à voir. Le fait que les mathématiques soient parfaitement identifiées, et formalisées n'impliquent pas qu'elles résolvent tous les problèmes. Mais la tentation de tous les résoudre ne justifie en rien une "autre position", dans la mesure où la question a été réglée par un théorème (et même 2: complétude et incomplétude).
Pour lever un malentendu ou un contre-sens possible, je précise (si ça se trouve, ça va mieux en le disant) que ZF(C) etc n'a rien à voir dans cette histoire, je ne suis pas entrain de te dire que les maths sont axiomatisées définitivement par ZFC. Là est peut-être le point clé qui entrave qu'on se comprenne. Les maths sont définies par "pourchasser l'ensemble des théorèmes de maths, qui eux sont définis par "être une tautologie", qui elles-mêmes sont définies par "être prouvables" (j'ai déjà donné la liste des procédés formel dans plusieurs posts) et le théorème de complétude assure que quand un truc n'est pas prouvable, il est concrêtement faux dans un moins un monde qui n'a rien de mystérieux (ce qui implique donc, qu'il n'y a plus aucune marge de manoeuvre pour essayer de "caler" quelque chose entre le prouvé et, pour les gens qui ingoreraient ce théorème un "sûr mais pas prouvé": en effet, si un truc n'est pas prouvé, il est tout à fait banalement "faux" dans un monde, non pas éloigné, mais concret, et dès lors, il est vain de s'imaginer un système d'axiomes "plus forts" qui obligerait ce truc à être "toujours vrai", vu qu'un tel système serait alors trivialement invalide (il produirait un énoncé faux dans un monde non mystérieux, en le déclarant "vrai dans tous les mondes")
Qu'est-ce que c'est une tautologie qu'on a pas encore trouvée ? Pourrais-tu m'en donner un exemple ?
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,358198,514390#msg-514390
à GG: il y en a une infinité, et elles forment un ensemble coNP-complet. Donc, je ne sais pas trop quelle volonté exprime ta question? Si on s'intéresse aux théorèmes de la logique intuitionniste, c'est pire: ils forment un ensemble PSPACE-complet. On peut donc supposer qu'on en connait assez peu, vu que ça réduit intégralement l'informatique (le problème (mémoire finie donnée) de savoir si un algorithme s'arrêtera un jour est PSPACE.
Si en plus tu autorises le protocole consistant à parler au premier ordre et non de manière propositionnelle (sur le principe ça ne change pas grand chose pour les être humains), l'ensemble des énoncés prouvables n'est pas récursif, il n'est que récursivement énumérable. Tu as donc l'embarras du choix. Prends n'importe quel problème ouvert actuellement de maths pour te satisfaire...
?
Pour te donner un exemple, il faudrait que je te donne un énoncé E, que je te prouve E et que je te dise: "voilà, tu vois E était (il y a 3mn) une tautologie qu'on avait pas encore trouvée, il y a 3mn"
Le mot tautologie à deux acceptions :
1. Redondance, répétition d'une même idée sous une forme différente.
2. En logique, le mot tautologie désigne une proposition toujours vraie.
Bien entendu que les mathématiques sont une immense tautologie au sens 2 ! Là je suis tout à fait d'accord avec toi...
Par contre je parlais de tautologie au sens 1, c'est à dire que pour moi le logicisme signifiant que les mathématiques sont entièrement réductibles à la logique, rend la mathématique inerte, vide, mécanique. Un ensemble de principes (axiomes, règles, etc) permettant de décrire toutes les mathématiques (je ne parle pas d'une théorie, genre ZFC, mais d'un ensemble de théories, même si elles doivent être considérées individuellement), fermé.
Je pense que cet ensemble ne peut pas être fermé. L'intuition nous permettra toujours de l'agrandir.
Cordialement,
Johann
Pour moi l'adjectif " logique " rend compte d'une impression de cohérence plus ou moins forte en fonction des domaines et par les sujets qui les éprouvent. Par exemple, quand on dit : " l'amour a ses raisons que la raison ignore " on tend à mettre en valeur une autre logique précise qui serait ici celle de l'amour. De même certains chercheurs parlent de différents types d'intelligence en fonction des domaines où se spécialisent les individus. Or comme on peut supposer qu'il y aura toujours du nouveau en mathématiques, on peut supposer qu'il sera du aux influences de différentes logiques au sens d'une participation de thèmes de réflexion toujours plus nombreux et que l'on aura rendus perméables aux maths.
Mais tout celà se retrouve dans l'intimité des cerveaux, en ce qu'ils font la vie d'une personne. Pour espérer être créatif il faut pouvoir assembler face à un problème des éléments, à bien des titres hétérogènes, mais cohérents dans un certain domaine . Et là je suis plutôt de l'avis de Tigerfou lorsqu'il semble dire que les mathématiques ne sont pas une histoire de machines, en tout cas au sens des ordinateurs et de l'informatique actuelle, en disant :
"Je pense que cet ensemble ne peut pas être fermé" et en parlant d'intuition. Mais en disant que l'on appelle intuition le manque d'explication que l'on se sent capable de fournir sur les mécanismes qui ont eu lieu chez soi, ce qui n'est pas une fatalité. Une intuition serait une excuse pour un échec à expliquer un ensemble de causes.
Or les mathématiques ont besoin de penser cette " logique" du danseur ou de la danse, à la fois pour s'approfondir et pour s'enrichir, et donc pour traiter de la question de ce qui est logique, la logique ou les logiques.
Ainsi, bien que les travaux des anciens paraissent avoir été très importants, ce qui nous attend est un travail encore plus fantastique.
Mon "essai sur les fondements" aborde cette question en parlant de logique(s) ad hoc ; une pour toutes et toutes pour une.
Je souhaite recueillir votre avis dessus.
JYT
Je suis persuadé que le truc pour progresser au delà de vos opinions actuelles sur la logique, est d'y intégrer notre réflexion sur les supports et "outils des traitements logiques" eux-même que sont les cerveaux, à ce titre modélisables en systèmes donnant prise à des études.
Le finitisme ne fait que constater une chose : des processus finis sont capables d'obtenir des résultats cohérents, même s'ils portent sur l'infini. Or on ne peut valablement parler que de ce que l'on connait pour en avoir une certaine expérience. Donc on est obligé de supposer que l'on en a une expérience réelle ( de l'infini ), fût-ce par l'intermédiaire de représentations. Et c'est bien la question de ces intermédiaires et de leur usage logique qui est en cause. et donc de tout ce qui y est nécessaire.
Amitiés,
JYT
Pour moi il est tout aussi faux et tout aussi vrai de dire que les mathématiques ne sont que tautologies que de dire que le monde n'est que interaction élémentaires. Penser que c'est vrai s'appelle le réductionnisme. Je tiens à rappeler à Christophe (sans méchanceté !) que ne pas être réductionniste n'est pas de l'ignorance ni une erreur et que le réductionnisme n'est pas un fait.
A propos, déduire de A et de A => B que B est vrai n'est pas une tautologie ! C'est au choix une opération syntaxique ou une évidence, mais pas une tautologie (aussi bien au sens formel qu'au sens plus littéraire). Et si l'on considère que c'est une opération syntaxique, comment lui faire confiance ?
Quand Euler étudie le logarithme, ou quand Grothendieck travaille avec des catégories, font-ils des maths ? Ils sont incapables d'expliciter ce qu'il font dans un système logique raisonnable pour le logiciste. Et pourtant...
Certes, le théorème des valeurs intermédiaires est une conséquence de ZF, mais pourquoi apporté-je mon crédit à ZF et aux règles de déductions bien connues ? Parce qu'ils montrent correctement le théorème des valeurs intermédiaires.
La crise des fondements a en fait montré que l'on se fiche éperdument des fondements (j'exagère un peu...). C'est à la logique de s'adapter aux mathématiques et aux mathématiciens, pas l'inverse. Cette crise a montré qu'elle le pouvait effectivement, dans certaines limites.
Pardonnez-moi pour mon propos un peu laconique, mais il se fait tard !
comment traiteriez-vous la notion que met en avant Frege, qui est devoir la démonstration comme révélation d'une cohésion logique dans les vérités?
et comment peut-on avancer et argumenter (comme le pense Frege) que ce n'est que par un système que l'on parvient à créer un ordre?
MErci d'avance.
Il y a plusieurs erreurs factuelles dedans, que je signale quand-même (avec un an de retard
Ce n'est pas une question d'opinions, c'est un fait***. Si encore tu disais que certaines tautologies ne sont pas des théorèmes intéressants, on pourrait voir ça comme une position sérieuse car tu n'ignorerais pas un fait, et tu dirais:
"ok, $Maths\subseteq Tautologies$ mais non($Tautologies\subseteq Maths$)
*** à la nuance près (mais comme ce n'est pas la distinction qu'il VEUT faire de toute façon) de la différence entre théorèmes du premier ordre et ceux du calcul propositionnel.
Non, au sens formel, (A=>B)=>(A=>B) est une taulogie (que les gens lisent souvent "(A=>B et A) =>B", car "(A et
Faux (à part que je ne sais pas ce que veut dire "logiciste"): Les maths autant de Euler que de Grothendiek que de Tartanpion sont parfaitement hypothético-déductives et (donc!) exprimées dans ZFC (par exemple), et même un petit fragment de ZFC (je ne dis pas que ça doit être une obligation ou un devoir moral, mais que pour tes exemples, c'est un fait).
N'importe quoi (je veux dire au sens factuel) pour une raison simple, c'est que "personne n'apporte son crédit à ZF", c'est un hors-sujet pur et simple. ZF a le statut d'être supposé. J'ai suffisamment posté de "rappels" à ce sujet. Les hypothèses sont en positions négatives des énoncés scientifiques. Tu sembles confondre occurences positives et négatives. Quand tu remplaces une occurence négative par un énoncé plus fort, tu obtiens un énoncé plus faible. Supposer quelque chose, c'est "le nier" à "quelque chose" près qui est la conclusion qui vient après, c'est tout.
Ta fin: la crise des fondements n'a rien à voir la dedans. Elle a été constituée de débats qui tournaient autour de ce qu'on pourrait "sous-entendre supposé" sans avoir à le réécrire. Mais il n'y a jamais eu de période de l'histoire où les hommes (au sens hommes + femmes) n'identifiaient pas les hypothèses de leurs preuves. Faudrait d'ailleurs être un peu con: y a qu'à lire une preuve pour inventorier ce qu'elle suppose.
A noter : L. Wittgenstein a passé le reste de sa carrière de philosophe à décortiquer la notion de fait jusqu'à rédiger "Investigations philosophiques" dans lequel il montre que la notion de "fait" n'existe pas. Ne pas oublier que L. W. était de formation logicien et qu'il a été au fait de tout ce qui se faisait dans ce domaine pendant la première partie du vingtième siècle. On peut le disqualifier à la Dieudonné ("avant 1880, on ne faisait pas de maths", avant 1970 on ne faisait pas de logique), mais ce n'est qu'un argument polémique. Et lui au moins a l'avantage de connaître aussi beaucoup de philosophie.
Croire que ce qu'on fait est la seule chose possible est le début du sectarisme. Wittgenstein a su en sortir.
Sacré Gérard, tu réponds sérieusement, à tout. Dire "c'est un fait" est une expression. Je ne suis pas aussi sûr que toi que LieerePierre était "au courant" que les théorèmes de maths sont des tautologies (je veux dire au sens élémentaire du terme), quand j'ai posté ce n'était pas "de la philo", c'était de l'information.
Bon, après on peut tout remettre en question si on veut, mais ce serait dommage quand-même qu'il échappe à tel ou tel visiteur que les théorèmes (propositionnels) de maths sont par définition et par obligation des tautologies (jusqu'à maintenant disons).
Soyons simple: trouve-moi un seul énoncé propositionnel qui ne soit pas une tautologie (ou au premier odre, un théorème de la logique du premier ordre
Après, s'il s'agit de philo, ok, allons-y gaiement
*** les "si ..." tacites doivent être écrits bien sûr.
tu as compris mon propos :
C'est parce qu'il s'agissait de philosophie, non de fonctionnement interne de la logique des logiciens que tu as fréquenté, que j'ai repris ta phrase "c'est un fait".
C'est parce que tu as une vue fermée de ce que sont les mathématiques (les maths c'est ce que tu fais, le reste c'est pas des maths) que tu ne comprends pas que tes jugements à l'emporte pièce ne sont pas crédibles, voire ne sont pas compréhensibles par d'autres.
L'une des avancées de l'épistémologie (*) des deux derniers siècles est la mise en évidence que la notion de "fait" est un piège (de grands esprits s'y sont fait prendre : Carnap, Wittgenstein, entre autres). Il n'y a pas de "fait" brut, il faut une théorie du monde pour dégager des faits, il faut une théorie (idéologie, façon de penser, ensemble de croyances,...) pour penser que "les maths, c'est ...", que "tel théorème est une tautologie". Et les théories sur lesquelles on a bâti sa pensée sont les plus difficiles à relativiser.
Encore une fois, je te rappelle que écouter ce que disent les autres est enrichissant, et permet de penser une notion sous plusieurs aspects. Cela évite aussi de classer les intervenants du forum en soutien/adversaire (on n'est pas en guerre).
Cordialement.
(*) en intégrant les résultats scientifique des logiciens, des mathématiciens, des psychologues, des sémanticiens, ...
Enfin, peux-tu m'expliquer l'utilité de ton post si ce n'est le plaisir de prononcer des phrases comme:
[size=x-small]C'est parce que tu as une vue fermée de ce que sont les mathématiques
Encore une fois, je te rappelle que écouter ce que disent les autres est enrichissant
Cela évite aussi de classer les intervenants du forum en soutien/adversaire (on n'est pas en guerre).
non de fonctionnement interne de la logique des logiciens que tu as fréquenté[/size]
?
A propos de dogmatisme, tu assènes des trucs du genre:
L'une des avancées de l'épistémologie (*) des deux derniers siècles est la mise en évidence que la notion de "fait" est un piège (de grands esprits s'y sont fait prendre : Carnap, Wittgenstein, entre autres).
Sous-entendant que:
1) "l'épistémologie (que tu appelles à la rescousse) est une chose sérieuse
2) que tu n'as pas à justifier "ton affirmation" que "l'un des avancées de blabla est blabla"
Je ne te suis pas du tout. Je me passerai d'ailleurs (enfin, je t'en veux pas, j'ai vu pire) de tes tons paternalistes à toute occasion qui posturent une sorte d'évaluation de ce que je dis. Ca t'arrive d'argumenter sur le fond (ou plutôt ça te réarrivera?). Quand je te contredis dans un post (ce qui n'arrive pas si souvent que ça), j'argumente, je ne te dis pas "toi, Gérard, blabla" (à propos de toi). Tu devrais peut-être relire toutes les répliques que tu m'assènes depuis quelques temps dans le genre du post précédent. Je t'assure que ça fait drôle.
Bien entendu que "tout est relatif", que "même les maths sont soumises à la relativité du langage" que la notion de "fait" est une simple expression, qu'il n'y a pas de "vraie falsification ou confirmation" d'une théorie, mais qu'une théorie décrit elle-même ses propres conditions de falsification apportant deja un "au préalable" subjectif (la "subjectivité de la théorie"). Mais où est l'utilité d'évoquer ces poncifs dans un fil où j'ai juste dit en 2 secondes "c'est un fait" comme je répondrai "c'est un fait" à un étudiant qui demanderait dans un post pourquoi on note 3² le nombre 3×3, sans aller plus loin (et sans forcément avoir "raison"). Je crois qu'on était pas au même niveau de discussion, mais apparemment tu "t'acharnes"
"des psychologues, des sémanticiens"
Je vais leur dire qu'ils ont un soutien sur notre zentil forum.
je ne te réponds pas sur "le fond" parce que ton "le fond" ne m'intéresse pas (*). Je t'ai redit que tu n'écoute pas les autres, tu ne me lis pas non plus. Ou tu es "bouché" (mais c'est ce que j'ai essayé de te redire, je renonce !).
Cordialement.
(*) C'est ce qu'il y a dans ta tête, pas dans le discours des autres.
Nb : Je ne lis pas la suite de ton message, puisque ta première phrase montre que tu n'as pas compris le début du mien.
Oui, tu ne fais pratiquement que dire ça dans les fils où tu me réponds. On alterne entre:
"je ne te répondrai pas, car tu ne lis pas"
"je quitte le fil, car idem"
etc, etc.
Je peux dire ce que je veux, c'est devenu ta seule réplique (tu varies sur la forme). Que m'as-tu dit au dessus? A peu près ça "il n'y a pas que la logique gnagna, tu as des oeillères gnagna, tout est relatif, etc, etc" (et tu as ajouté que "l'épistémologie l'a "découvert" aussi
Tout ça parce que j'ai dit à un gars "c'est un fait" (comme j'aurais pu dire "non, je crois que cétait avant hier")
Tu as tout d'abords sorti des théorèmes de logique pour étayer ton argumentation. Ok, pas de problème cela me semblait plutôt judicieux; surtout que je connais ces théorèmes et leur force.
Par contre je t'avais fait remarqué que à mon avis on ne pouvait — à priori — pas appliquer ces théorèmes là puisqu'ils n'étaient valable que dans un certain cadre (ce que l'on appelle langage formel; un ensemble de variable (fixé), un de connecteur logique, etc.) et que rien ne permettait de dire qu'on était dans ce cadre là.
Et là, en réponse à cela tu … m'a peu ou prou répété les mêmes théorèmes.
Bref, on a vraiment l'impression que tu lis au mieux en diagonale (d'ailleurs tu l'admets souvent), chope un point qui te froisse et dévelloppe longtemps dessus sans savoir si c'est vraiment constructif.
Raison pour laquelle je ne t'ai pas répondu sur l'autre fil : je n'avais nullement l'impression d'être dans un dialogue.
Tu avouera sans doute que ton comportement à l'emporte pièce dès qu'il s'agit de logique peut être mal pris par certains…
pfff, et allons-y gaiement, l'union fait la force
à Matsaya, je pense que tu fais référence au fil où j'ai insisté sur le fait que ce que tu disais entraint en conflit avec la thèse de Church. Ce n'était pas rien, mais si j'avais l'air de me répéter (car je pensais avoir totalement compris ce que tu disais) c'est bien parce que j'avais l'impression que tu ne soupesais pas du tout ma remarque et continuais dans un style "relativiste" à dire "peut-être que la thèse de Church s'arrête à la porte des idées de Lienewski (si je me rappelle bien le nom)" et que face à ça évidemment, je ne suis pas du genre à "varier", parfois je pense que redire 3 fois la même chose peut aider l'autre à s'apercevoir qu'on insiste.
Franchement, je pense avoir vraiment plus qu'été direct sur cette affaire de thèse de Church et non d'avoir tourné autour du pot et pas lu. Tu m'as d'ailleurs répondu "qu'il faudrait voir si la théorie de Lenewski est récursive" que tu "ne savais pas au juste" et chaque fois, j'ai répondu.
Maintenant, pardonne-moi, si je n'ai pas précisé avant de "partir" que "je n'allais pas étudier à fond la th de Lenewski" pour voir si elle est récursive, mais c'était tacite, et pas une question de
Nous ne parlions pas philo, me semble-t-il mais pari scientifique bien concret: si Lenewski a découvert un contre-exemple à la thèse de Church, il gagne, c'est un euphémisme, à être connu, et c'est tout. Nous n'avons pas tranché sur ce point (puisque tu disais que tu ne sais pas assez les détails), mais on n'est pas dans la philo, mais le "pari". Maintenant, je me dois de t'avouer que je ne crois pas que Lenewski a falsifié la Th de Church (l'avais-je fait) mais mes raisons sont pas bonnes puisque c'est parce que je parie que s'il avait réussi ça il aurait reçu la médaille field et serait le scientifique le plus célèbre du 20ie siècle. Ce n'est pas vraiment un argument scientifique, c'est le moins qu'on puisse dire.
Mais (dsl) les gens qui s'y connaissent "savent très bien" (ho, l'horrible argument d'autorité) que le premier matheux qui falsifiera la th de Church fera une des découvertes les plus importante, générale et fondamentale de l'histoire de la science (la RH n'est vraiment rien à côté)
Si je te l'ai dit, je ne te l'ai pas prouvé, ça d'accord, mais je te l'ai dit, et répété. Certes ce n'était pas un dialogue où je te prouvais ce que je disais, mais on parlait bien de la même chose, je ne "fuyais pas" à côté de ce que tu disais, j'affirmais vraiment cash qu'on était dans ce cadre
J'affirmais, entre autre, que tous les systèmes formels sont concernés par la thèse de Church (ok, ça peut avoir l'air phagocitant dit comme ça, mais ça a le mérite d'être dit). Et je crois que je t'ai même dit qu'on peut presque retirer le mot "formel" à une théorie non récursivement énumérable, en paraphrasant la thèse de Church (qui n'est pas un énoncé math, je le rappelle) de la manière suivante:
tous les systèmes formels sont ou bien faibles ou bien équivalents à faire des maths dans ZF (ou n'importe quelle autre théorie récursivement énumérable universelle)
Tu peux ne pas être d'accord (et même ne pas être d'accord avec la th de Church, mais ne dis pas que je ne l'ai pas dit et que c'était un dialogue de sourds.
De ton côté tu semblais bien dire (à la fin) qu'il y avait un doute sur la réductibilité de la vision ou théorie de Lenewski aux procédures mécanisables (ie à ZF, etc). Et tu avais commencé par dire que la "logique" de Lenewski pouvait être qualifiée de "autre logique" (ce qui d'ailleurs est tout à fait acceptable, mais dans un sens de "détail")
Une falsification serait (déjà décrit dans le jeu de l'autre fil) attesté par le fait pour une équipe de deux être humains de gagner toujours au jeu suivant:
1) Alice et Bob ne peuvent pas communiquer, ils se préparent autant qu'ils veulent à l'avance, mais ensuite dont définitivement séparés.
2) On donne à Alice un code de fonction récursive f totale et elle doit répondre un couple (p,q) tel que q est différent de f(p)
3) On donne à Bob l'entier p et il doit répondre q (sans communiquer en aucune façon avec Alice).
Ca interroge aussi sur l'infini, ce n'est pas tout à fait une expérience faisable en labo à cause, sur le principe, du caractère illimité des entiers.
J'en profite puisque tu as l'air de t'y connaître.
Dans ton débat un peu houleux avec les autres membres du forum, tu affirmes que l'ensemble des mathématiques n'est qu'un vaste ensemble de tautologies. Pour ma part je serais plutôt d'accord, mais sans avoir le recul nécessaire pour en juger réellement.
Je précise donc la question : l'ensemble des mathématiques (où disons la très grande majorité d'entre elle) sont-elle réductible à une certaine théorie dans laquelle tout peut se démontrer avec la logique des prédicats du 1er ordre ?
Si oui cette théorie est-elle ZFC ou une autre ?
Si cette théorie est ZFC, comment s'arrange-t-on avec la perte de sens des objets que l'on manipule ? (puisque tout est ensemble on doit assez vite s'y perdre je suppose...)
Merci d'avance
Houleux, houleux, je dirais que ce n'est pas vraiment sur le fond. Gérard et quelques autres me font un procès de vouloir (1)"guider les pensées" en disant (2)"que tout doit se faire dans ZF" ou que (3)"les théorèmes sont par définition 1es tautologies" et que tenant ces propos, j'adopterai un comportement sectaire (au sens des sectes).
En fait, le dis (2') que tout se fait dans ZF et non pas que tout DOIT s'y faire
(1) c'est hors-sujet et je ne crois pas
(3') = (3), mais c'est une évidence (ou un corollaire du th de complétude): si X est un théorème, il a une démonstration et réciproquement, toutes les tautologies* ont une démonstration. Par ailleurs, si un énoncé n'est pas démontrable, il existe un modèle (tout ce qu'il y a de plus concret et banal) où quivérifie sa négation, il n'a donc aucun chance de "devenir" un théorème un jour. Conclusion: théorème = énoncé démontrable = tautologie*.
* au premier ordre, on rajoute juste les hypothèses "logiques": "tous les x sont bleux => Félix le chat est bleu" et des conjonctions infinies (mais uniformes) pour parler de "tautologies".
Je ne suis pas sûr que tout ceci soit "houleux" dans la mesure où chaque scientifique profesionnel sait chaque jour, qu'il cherche une démonstration pour rendre tel ou tel de ses conjectures préférées des théorèmes (pour les faire reconnaitre comme tels). C'est un euphémisme de dire qu'il ne serait pas au courant (sinon pourquoi cherche-t-il à démontrer?)
La partie verte me permet de te répondre sans hésitation oui (c'est un fait actuel disons). Maintenant quant à te dire si un jour quelqu'un pourra en faire en sortant de ce cadre, je ne sais pas, je pense que ce n'est pas demain la veille.
La réponse "oui" à ta deuxième question est aussi connue, mais la formulation de ta question laisse à penser un côté "hégémonique" de ZF alors que ça n'est pas du tout comme ça qu'il faut voir les choses: l'universalité de ZF vint de ce qu'elle n'introduit rien (à part l'extensionnalité) de subjectif ou non neutre dans la science. C'est un peu comme si tu demandais "est-ce que la totalité de la science se fait dans la science". C'est non une invention ou un decret, mais une découverte (qu'on a d'ailleurs peut-être pas encore compris) que toute la science se fait dans quelques regles simples (la découverte, c'est le théorème de complétude, ou bien on peut prouver un truc, n'importe lequel en chainant des modus ponens, ou bien on peut "voir" sa potentielle fausseté et la boucle est bouclée). ZF n'est qu'une (partielle d'ailleurs) réalisation du besoin d'aller au fond du sens (et non de le perdre comme tu dis), en évitant de distinguer à la manière de moines trop rigides sujets et verbes.
Je ne crois pas qu'il y ait une perte de sens, (on a quand-même inventé les abréviations en maths, et on ne dit pas un énoncé de 3km pour parler d'espace compact, mais on dit "espace compact" et on garde la charge affective des mots). La neutralité de ZF fait qu'on "n'ajoute rien ni ne perd rien" par rapport à l'intuition initiale (et on gagne car on peut trancher par la preuve des questions)
Certains intervenants (comme db) n'aiment pas cette lacheté et ce non typage, mais à mon sens, c'est un AUTRE problème: qui peut le plus peut le moins, et on a toujours le temps de "refuser" les hypothèses d'une preuve après coup (après l'avoir trouvée) parce qu'on la trouve "trop risquée, pas assez typée". Mais bon, on l'a, on peut l'archiver, c'est deja ça.
Pour conclure, la thèse de Chruch implique que toutes les "contestations" de ça sont assez dérisoires finalement: ZF ou autre, ce sera toujours la même chose de toute façon. Bon, il se trouve que ZF est une habitude pratique comme théorie universelle (ie comme ensemble d'axiomes qui génère un récursivement énumarable créatif (au sens des définitions mathématiques officielles de ces mots en complexité), c'est peut-être pas la peine de tout faire dans "une vague théorie des équations diophantiennes en la légitimant par le Th de Matiasevic". Bonjour l'usine à gaz que ce serait.