pb de compréhension de l'implication logique
Bonjour,
J'ai un problème quant à la compréhension de l'implication,dans le cas de la convergence vers zéro, d'une suite:
1) "qqsoit e, il existe N , tel que, qqsoit n, tel que n >=N , alors IXnI =< e"
2) "
P(e,N,n)
"
3) "
A(N,n) ==== > B(n,e)
"
mes questions sont :
a) devrait-on écrire la propriété P(e,N,n), P(e,N) ou P (N? je pense que c'est la dernière option?... A(N,n) ou A(N) ?...B(n,e) ou B(e)?
b) naïvement : on devrait avoir, "((n >= N) ET (IXnI =< e))"... or ( A === > est équivalent à ( (non A) OU (B)) ie ((non A) ET (B)) à cause de l'incompatibilité, donc "(( n < N) ET (IXnI =< E)), et là je ne comprends plus! :-(
Merci pour votre aide.
J'ai un problème quant à la compréhension de l'implication,dans le cas de la convergence vers zéro, d'une suite:
1) "qqsoit e, il existe N , tel que, qqsoit n, tel que n >=N , alors IXnI =< e"
2) "
P(e,N,n)
"
3) "
A(N,n) ==== > B(n,e)
"
mes questions sont :
a) devrait-on écrire la propriété P(e,N,n), P(e,N) ou P (N? je pense que c'est la dernière option?... A(N,n) ou A(N) ?...B(n,e) ou B(e)?
b) naïvement : on devrait avoir, "((n >= N) ET (IXnI =< e))"... or ( A === > est équivalent à ( (non A) OU (B)) ie ((non A) ET (B)) à cause de l'incompatibilité, donc "(( n < N) ET (IXnI =< E)), et là je ne comprends plus! :-(
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Réponses
"qqsoit e, il existe N , tel que, qqsoit n, tel que n >=N , alors IXnI =< e" est mal écrit. Une écriture plus saine est :
"qqsoit e, il existe N , tel que, qqsoit n, n >=N ===> IXnI =< e"
Cordialement
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\N,\ \forall n\geq N,\ |x_n|\leq\varepsilon$$
On peut aussi quantifier comme suit, ce qui donne une assertion équivalente
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\N,\ \forall n\in\N,\ ((n\geq N)\Longrightarrow(|x_n|\leq\varepsilon))$$
Dans de telles quantifications, les parenthèses sont sous-entendues comme suit :
$$\forall \varepsilon>0,\ (\exists N\in\N,\ (\forall n\geq N,\ |x_n|\leq\varepsilon))$$
Alors analysons petit à petit les dépendances.
$\epsilon$ est complètement libre, mis à part le fait d'être $> 0$, notons d'ailleurs que $\forall \epsilon > 0$ est en fait une manière abrégée d'écrire $\forall \epsilon, \epsilon > 0 \Rightarrow$.
$N$ est quantifié existentiellement après $\epsilon$ donc il en dépend directement, on pourrait le préciser en notant $N_\epsilon$.
$n$ est quantifié universellement, donc il ne dépend de personne. Si jamais on écris $\forall n \ge N$, il s'agit là encore de noter implicitement le $\forall n, n \ge N \Rightarrow$. Plus précisement au lieu d'avoir une quantification sur $\mathbb{N}$, il s'agit d'une quantification sur $\{k\in\mathbb{N}\ |\ k\ge N\}$ et il y a dépendance sur $N$. Avec la variante universelle que j'ai noté plus haut, $n$ ne dépend de personnes mais la propriétés $n \ge N$ dépend directement de $n$ et $N$, et donc indirectement d'$\epsilon$. Avec ta notation il s'agit donc d'un $P(n,N)$.
La partie $|x_n| \le \epsilon$ ne dépend que de $n$ et $\epsilon$, il s'agit donc d'un $Q(\epsilon,n)$.
b) Là où tu te trompes c'est sur ton histoire d'incompatibilité. Il n'y a pas de raison que $n < N \vee |x_n| \le \epsilon
\iff n < N \wedge |x_n| \le \epsilon$. La première formule est vrai lorsque $x_n$ tend vers $0$ et la seconde est toujours fausse, ca doit te donner un indice sur le fait qu'il y a un problème.
Tout dépend de l'oeil qui regarde la formule !...
De plus dans les variables $N$ et $n$ ne sont pas déclarées ! Autrement dit, on a omis de préciser l'ensemble où elles appartiennent.
Si on voulais tout expliciter il faudrait écrire :
$$\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \ge_\mathbb{N} N \Rightarrow |x_n| \le_\mathbb{R} \epsilon$$
c'est un petit rasoir...
> $\epsilon$ est complètement libre
Je comprends ce que tu veux dire, mais le vocabulaire est maladroit car $\epsilon$ n'est pas une variable libre dans cette expression.
(excusez-moi mais, Latex ne fonctionne pas bien avec mon Mac)
a) celà s'est éclairci: avec les remarques de defeufeu, l'on devrait donc noter A(n,Ne) ====> B(n,N) (1) ; d'accord.
b )là, je reste encore sur ma faim:
A ===> B a la même table de vérité que ( (nonA) OU ( B )) (2)
b1) comment interpréter l'expression logique (2) (( n<Ne) OU ( IXnI <=e )), qui est bien équivalente à (1) ?
b2) naïvement, on pourrait être tenté d'écrire DIRECTEMENT : (1) équivalent à ((n>=Ne) ET IXnI =<e)), ce qui signifie bien: "on a, à la fois , ((n>=Ne) ET IXnI <e )), ce qui me satisfait bien!... mais je me rends compte que celà ne pourrait pas être correct car , d'après les règles, (1) n'est pas équivalent à ((A) ET (B)), puisque l'équivalent est ((nonA) OU (B)) ....
Je reste, ainsi, dans un cercle plus que vicieux.
(b1) La logique (2) (( n=Ne) ET IXnI ==Ne) ET IXnI <e )), faut oublier. ca n'a pas de sens.
Le Latex sur le forum n'a rien a voir avec ton ordinateur. Ca s'excecute sur le serveur, donc quand tu dis que le latex ne marche pas bien sur MAC, je suis ::o.
Je reprends du début, car ton dernier message est incompréhensible pour moi 5tant mieux si d'autres comprennent) : Pourquoi ? Même naïvement, l'idée de la limite est "pour n assez grand (*), $X_n$ est petit (proche de 0)", pas " n est grand et $X_n$ est petit" : la définition de la limite de la suite X ne doit contenir que des termes en rapport avec X. Or vérifier " n est grand et $X_n$ est petit" demande de vérifier une propriété de n, qui n'est pas donné par la suite X, mais un élément de notation des termes de la suite, et ceci indépendamment de X.
Cordialement
(*) lorsque n est assez grand, si n est assez grand, ...
Lorsque je dis à ma fille "Si tu es sage, tu auras une glace" et qu'elle a une glace alors qu'elle n'a pas été sage, elle s'imagine que j'ai prononcé des paroles en l'air, alors que logiquement je ne me suis pas trahi.
Dans l'implication, il y a naturellement une notion de cause à effet. Or, en l'abordant du point de vue de la logique classique, où $A \rightarrow B \iff \neg A \vee B$, on perd cette notion de lien entre $A$ et $B$, et alors on commence à faire des raisonnements séparés, et c'est là où tu te trompes en disant des betises. Je te recommande de traiter cette implication comme un bloc, et de ne la séparer que lorsque tu as besoin de faire une négation. Par exemple, une suite qui ne converge pas vers 0 s'exprime par $\exists \epsilon \forall N \exists n, n \ge N \wedge |x_n| \ge \epsilon$.
De plus, lorsque tu dis $n \ge N \wedge |x_n| \ge \epsilon$ tu dis vraiment quelque chose de faux mathématiquement, cf GERARD.
Pour kito, quand je prévisualise Latex, il y a des signes qui manquent ou qui sont incrompéhensibles qui apparaissent dans le texte :-)
Plus de séparation entre les posts, écritures superposées, plus les pseudos, répétition de smiley etc???
J'ai peur que ton PC soit bien malade.
L'affichage de ce fil est semblable aux autres sur le mien.
Commence par rebooter ta machine ?
AD
Bon je vais rebooter pour voir, merci