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Un brin de théorie des ensembles

Envoyé par Utilisateur anonyme 
Utilisateur anonyme
Un brin de théorie des ensembles
il y a dix années
Bonjour,

Soit une application injective notée i de A vers X et Z$\subset$X on a l'égalité suivante i$^{-1}$(Z)=A $\cap$ Z
Je ne comprends pas cette égalité même avec un dessin on m'a pourtant dit qu'elle est évidente!:S
Re: Un brin de théorie des ensembles
il y a dix années
avatar
Bonjour asymptotik.

Il n'y a aucune raison pour que $Z \subset A$. Donc il nous manque des hypothèses, ou, si tu préfères, cette relation énoncée brutalement est fausse.

Bruno
Utilisateur anonyme
Re: Un brin de théorie des ensembles
il y a dix années
Bonjour Bruno, merci pour ta réponse, en regardant mieux mon cours je me suis aperçu que j'ai effectivement oublié une hypothèse avec laquelle cette relation est bien évidente;) : A$\subset$X et muni de la topologie induite.
Re: Un brin de théorie des ensembles
il y a dix années
avatar
C'est mieux, mais ça reste encore faux ; par exemple pour $A=X=\R$, $Z=\R_+$ et $i(x)=-x$. Tu as oublié de nous dire que $i$ n'est pas n'importe quelle injection mais l'injection canonique, ou inclusion : $i \, : \, A \to X, a \mapsto a$. Je me trompe ? Dans ce cas la relation est vraie

Tiens d'ailleurs tu peux montrer la réciproque : si $i \, : \, A \to X$ est telle que $i^{-1}(Z)=A \cap Z$ pour tout $Z \subset X$, alors $i$ est l'injection canonique (pense à particulariser pour des $Z$ bien choisis).
Utilisateur anonyme
Re: Un brin de théorie des ensembles
il y a dix années
Bonsoir Egoroff, merci pour ta réponse, effectivement ton contre exemple fonctionne , pourtant dans mon cours il n'est pas écrit, je viens de vérifier, que i doit être l'injection canonique, donc ce doit être un oubli du prof en tout cas je vais lui en parler.
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