Un brin de théorie des ensembles

Utilisateur anonyme · September 2009

Bonjour,

Soit une application injective notée i de A vers X et Z$\subset$X on a l'égalité suivante i$^{-1}$(Z)=A $\cap$ Z
Je ne comprends pas cette égalité même avec un dessin on m'a pourtant dit qu'elle est évidente!:S

Bruno · September 2009

Bonjour asymptotik.

Il n'y a aucune raison pour que $Z \subset A$. Donc il nous manque des hypothèses, ou, si tu préfères, cette relation énoncée brutalement est fausse.

Bruno

Utilisateur anonyme · September 2009

Bonjour Bruno, merci pour ta réponse, en regardant mieux mon cours je me suis aperçu que j'ai effectivement oublié une hypothèse avec laquelle cette relation est bien évidente;) : A$\subset$X et muni de la topologie induite.

egoroff · September 2009

C'est mieux, mais ça reste encore faux ; par exemple pour $A=X=\R$, $Z=\R_+$ et $i(x)=-x$. Tu as oublié de nous dire que $i$ n'est pas n'importe quelle injection mais l'injection canonique, ou inclusion : $i \, : \, A \to X, a \mapsto a$. Je me trompe ? Dans ce cas la relation est vraie

Tiens d'ailleurs tu peux montrer la réciproque : si $i \, : \, A \to X$ est telle que $i^{-1}(Z)=A \cap Z$ pour tout $Z \subset X$, alors $i$ est l'injection canonique (pense à particulariser pour des $Z$ bien choisis).

Utilisateur anonyme · September 2009

Bonsoir Egoroff, merci pour ta réponse, effectivement ton contre exemple fonctionne , pourtant dans mon cours il n'est pas écrit, je viens de vérifier, que i doit être l'injection canonique, donc ce doit être un oubli du prof en tout cas je vais lui en parler.

Un brin de théorie des ensembles

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 44