faux=>vrai

Illogicien · August 2011

Je suis parfaitement d'accord avec la réponse de GG, qui exprime — avec plus de clarté et de concision que j'en aurais été capable — ce que m'inspire l'intervention de Christophe Chalons maintenant que je l'ai comprise.

J'avais d'ailleurs pris soin dans mon exemple de prendre une vingtaine d'objets, de sorte qu'il soit possible et presque immédiat de constater qu'aucun ne vérifie la condition du "si..., alors...".

Je pense que seule la troisième formulation sera acceptée par tout le monde, car le sens de son usage courant ne diffère pas de celui de la proposition mathématique. La seconde sera selon moi ramenée à la première, et sera perçue comme sous-entendant la présence d'au moins un objet rond sur la table.

Je pense également que ça tient à l'absence de causalité (on n'est pas rouge parce que l'on est rond dans l'absolu), car même s'il y avait des objets ronds sur la table, rien ne permet de penser qu'ils seraient nécessairement rouges. Par contre, quand il y a causalité, le "si..., alors..." coïncide bel et bien avec l'implication mathématique. GG avait donc finalement bien raison de dire que je m'égarais : si un réel au carré vaut -1, alors son cube vaut l'opposé de ce réel parce que l'on multiplie les deux membres égaux par ce même réel (causalité extérieure).

Pour signifier cette dimension hypothétique, cependant, il me semble que l'on dirait plus volontiers "si un réel au carré valait -1, alors...".

Tout ce que j'ai dit n'est finalement vrai que dans le cas où il n'y a pas de causalité extérieure au "si..., alors..." lui-même entre la condition et la conclusion (dans ce cas, l'usage courant et l'usage mathématique diffèrent bel et bien).

*******************************************************************************************************************************************************************

Voilà, on s'éloigne de plus en plus de la question initiale, et je ne veux pas continuer à le monopoliser avec mes réflexions personnelles. Meu a raison de m'envoyer balader : ce topic n'a pas vocation à devenir un blog où j'exposerais l'état des lieux de ma pensée sur les liens entre logique mathématique et langage usuel, sans intérêt pour les autres. N'est pas Bertrand Russell qui veut !

Illogicien · August 2011

De toute façon, pas besoin de palabrer, le fond de ma pensée sur l'implication est parfaitement résumé par la proposition T suivante :

(T ou nonT) => nonT

B-)-

ccnc · August 2011

effectivement, sacrée conclusion

-D

GG · August 2011

Illogicien> Si le fond de ta pensée, c'est d'énoncer une proposition équivalente à non T, dont on ne sait pas d'où sort ce T, c'est un peu inquiétant

Pour ton " ... Si un réel au carré valait -1 ...", ça pose le problème du conditionnel irréel, dont Quine se demandait si à la vérité une théorie cohérente était possible, particulièrement si l'on essaye de se prononcer sur des exemples tels que ceux-ci :

Si Bizet et Verdi avaient été compatriotes, Bizet aurait été italien ;
Si Bizet et Verdi avaient été compatriotes, Verdi aurait été français.

Quant à Russell, voici ses conseils aux professeurs débutants :

"Faites comme moi : écrivez vos premiers ouvrages dans un jargon intelligible à une poignée d'érudits seulement. Ensuite vous pourrez tout dire dans une langue peuple. On me tolère le droit d'écrire en anglais parce qu'on sait que je pourrais me servir de logique mathématique. Par exemple : "certains hommes épousent les soeurs de leurs femmes défuntes" est une chose que je puis exprimer dans un jargon si difficile qu'il faut des années d'études pour l'entendre. C'est grâce à cela qu'on m'écoute quand je parle autrement, et c'est cela qui m'en donne liberté ..."

Effectivement, n'est pas Russell qui veut ... En ce qui concerne la logique mathématique, parce que pour ce qu'il en est de dire n'importe quoi ...

Illogicien · August 2011

Ben T, j'ai dit d'où il sort : c'est le nom que je donne à la proposition. J'ai fait exprès de définir T comme étant nonT pour aboutir au fameux "cette phrase est fausse", tout en utilisant le signe "=>" pour rester dans le thème. Une manière de considérer le fond de ma pensée comme aussi absurde que le paradoxe en question. C'était pou' 'igoler, comme l'a apparemment compris ccnc !

C'est précisément en lisant dans "Qu'est-ce que la science ?" d'Alan F. Chalmers la métaphore de la "dinde inductive" de Russell que j'ai découvert l'existence de ce philosophe qui me botte à plein de niveaux (qu'il s'agisse de maths, de philo ou d'engagement). En lisant les "Essais sceptiques" et surtout "Histoire de mes idées philosophiques" (que je n'ai pas encore fini), ça m'a rebranché sur mes lointaines connaissances rudimentaires en logique. D'où mon arrivée sur le topic d'hamid, et donc le début du drame pour vous !

D'ailleurs, il y a un passage dans le second ouvrage de Russell que j'ai cité où il parle de Quine en exprimant — malgré un respect affiché — un vif désaccord avec lui à propos de je ne sais plus quel sujet (je pourrais retrouver le passage au besoin).

À noter qu'il y traite énormément du langage non-mathématique d'un point de vue logique, des universaux et des particuliers, en étudiant pas mal de formulations... sauf le "si..., alors..." ! Il n'en dit absolument rien dans ce livre, je n'ai pas de bol quand même...
:-(
Sans doute parce qu'il n'y a rien d'intéressant à en dire, comme l'atteste l'inanité de ma prose sur ce sujet !

GG · August 2011

J'ai fait exprès de définir T comme ..

Ah oui, c'était trop subtil pour moi ! ..

Illogicien · August 2011

GG a écrit:

Ah oui, c'était trop subtil pour moi ! ..

Ce n'est pas étonnant, mais ne t'en fais pas, je sens que tu as du potentiel et qu'avec un peu de persévérance, tu peux espérer te rapprocher un peu de mon degré d'excellence intellectuelle... Ne te décourage pas !
:P

GG · August 2011

Quelle sollicitude

Tiens.. eh bien pour te remercier, je te refile un tuyau : C'est dans "Principles of mathematics", 1903, que Russell parle en long, en large, et en travers des implications matérielles (P => Q) et formelles (quel que soit x, P(x) => Q(x) ), et pourquoi si nous sommes choqués de tenir pour valable une implication matérielle telle que "Socrate est un triangle implique que Socrate est mortel", c'est parce que nous l'entendons, ce qu'elle n'est pas, comme une implication formelle : "Pour tout x, si x est un triangle, alors x est mortel", laquelle implication formelle est, bien entendu, fausse, tandis qu'en vertu de la même confusion, nous acceptons sans difficulté l'implcation matérielle "Socrate est homme implique que Socrate est mortel", parce que nous y voyons une simple illustration, dans un cas particulier, d'une loi générale qui s'exprime par l'implication formelle vraie cette fois : "Pour tout x, si x est homme, alors x est mortel",

etc, etc,

Illogicien · August 2011

Ah bah là, on est en plein dedans ! Par contre, étant encore moins doué en anglais que je ne le suis en logique (c'est dire), je crains qu'il faille que je mette la main sur une traduction partielle parue sous le titre "Écrits de logique philosophique". Or cet ouvrage, après un rapide coup d'œil sur des sites de vente de livres en ligne, ne me semble pas si évident à dégoter...

J'ai lu qu'il s'agirait d'un ardent plaidoyer en faveur du logicisme, et du réductionnisme en philosophie, mais il est à noter que — d'après ses propres dires dans "Histoire de mes idées philosophiques" —, Russell a fini par s'éloigner de ces thèses. Ses positions ont apparemment beaucoup évolué tout au long de son parcours, il a notamment perdu "l'espoir d'atteindre la perfection et la certitude". Seule a survécu chez lui l'idée selon laquelle "la vérité dépend de la correspondance aux faits, et que les faits en général sont non humains" (ce qui l'oppose aussi bien à l'idéalisme qu'au pragmatisme).

Merci du renseignement en tout cas, car il correspond parfaitement à mes préoccupations du moment !

GG · August 2011

J'ai les deux. La traduction partielle (aux PUF), je l'avais trouvée il y a fort longtemps sur Amazon.fr, si je me souviens bien.

Illogicien · August 2011

Il y en a un exemplaire disponible d'occasion sur Amazon.fr pour la modique somme de 529,94 € (véridique) !
:)o
Je ne l'ai pas pris, parce qu'il y en a pour presque 3 € de frais de port, ça fait un peu cher la livraison, je trouve.

GG · August 2011

je ne vois pour toi plus que deux solutions : l'acheter sur amazon.ca (autour des 100 $), ou apprendre l'anglais (investissement beaucoup plus rentable à long terme)

tunisienne · October 2011

ca dépends de la logique appliquée

logique classique: faux-> faux ou vrai

logique floue: faux -> faux (si la prémisse

je donne a qlqu'un de conduire la voiture et je lui dit de fermer les yeux en conduisant )
resultat :catastrophique:) )

Polemiquait long ici · May 2013

La logique naturelle permet de remplir les deux premières lignes de table de vérité de l'implication logique sans que cela nous pose de problème. Logique formel et naturel sont en accord.

A          B          A=>B

V          V           V
V          F           F
F          V           ?
F          F           ?

Lorsque l'hypothèse et la conclusion sont vraies il est naturel de dire que A=>B est vraie, de même lorsque l'hypothèse est vraie et la conclusion est fausse il est naturel de dire que A=>B est fausse.

Maintenant passons aux 2 lignes ou l'hypothèse est fausse ou il nous faut décider si l'implication est vraie ou fausse.
En logique naturelle on peut montrer que l'implication A=>B est équivalente à sa contraposée "Non B" => "Non A".
Pour être conforme à la logique naturelle le modèle mathématique doit garantir l'équivalence de l'implication est de sa contraposée.
Pour vérifier cette équivalence l'implication logique et contraposée doivent avoir même table de vérité

A          B          A=>B         Non B           Non A         Non B => Non A

V          V           V              F              F                     ?              
V          F           F              V              F                     F
F          V           ?              F              V                     ?
F          F           ?              V              V                     V

Pour avoir l'équivalence il faut que la 3e et 6e colonne soit identique donc la table de vérité de l'implication devient :

A          B          A=>B

V          V           V
V          F           F
F          V           ?
F          F           V

Il ne reste plus que 2 définitions possible
1er définition

A          B          A=>B

V          V           V
V          F           F
F          V           F
F          F           V

2ème définition

A          B          A=>B

V          V           V
V          F           F
F          V           V
F          F           V

Nous remarquons que la première définition correspond à la table de vérité de l'équivalence.
Or ceci est contraire à l'implication naturelle où le rôle de l'hypothèse et conclusion ne sont pas les mêmes (malgré les ambiguïtés de l'implication naturelle).
La définition de la table de vérité dans le modèle mathématique doit être celle donnée par la deuxième table de vérité :

A          B          A=>B

V          V           V
V          F           F
F          V           V
F          F           V

CQFD

PS en attente de vos remarques sur l'anagramme de mon nom (:P)

jacquot · May 2013

Bonjour,

Avez-vous trouvé l'anagramme de polémiquait long ici ?
S'agit-il d'un magicien de la politique?

[Restons dans la discussion ouverte sur le sujet. AD]

ev · May 2013

C'est en rapport avec le fil.

amicalement,

e.v.

Juge Ti · May 2013

À mon avis, polémiquait long ici n'est qu'un cénobite rancunier.

blop0 · May 2013

@jacquot : implication logique

jacquot · May 2013

(tu)Bien vu, Blop.

Polemiquait long ici0 · May 2013

Puisque vous avez trouvé l 'anagramme vous avez le droit à un petit supplément sur le "Polemiquait long ici"

Y a-t-il des implications entre les 2 expressions :

A est une condition nécessaire pour B

B est une condition suffisante pour A

Illogicien · January 2020

Bonjour et 8x(Bonne année) à tous,

Je reviens sur ce topic 8 ans après un premier passage durant lequel je l'avais pollué par moult considérations absconses autour de l'implication. Je pense maintenant pouvoir répondre à la question d'Hamid ([size=x-small]qui est un peu celle que je me posais, comme beaucoup d'autres personnes que mon message sera donc susceptible d'intéresser[/size]). Elle est résumée dans la partie soulignée ci-dessous et me semble posséder une forte dimension méta-mathématique.

hamid a écrit:

il dit que le faux => vrai c'est a dire qu'une proposition fausse implique une proposition vraie. il ne m'a pas du tout convaincu, car le faux peut donner le faux ou le vrai
[...]
le fait de dire que le faux =>faux ou faux=>vrai en sens mathématique ne veut rien dire pour moi.
Qu'en pensez vous? d'ou vient ce malentendu

Je pense que ce malentendu vient d'un amalgame entre l'implication (connecteur logique binaire dans le cadre du calcul propositionnel/calcul des prédicats) et le modus ponens (une utilisation de l'implication dans le cadre d'un système de déduction⁽¹⁾).

Or :

- "A=>B" est la proposition⁽²⁾ dont la valeur de vérité est déterminée par celles de "A" et de "B" suivant la table de vérité de l'implication. L'écrire ne produit pas en soi (c'est-à-dire sans information ni sur A ni sur

de vérité sur ces dernières, au même titre qu'écrire "A ou B", "A et B"... On est bien dans le cadre du calcul propositionnel.

- Le modus ponens est le fait de déduire de la vérité de "A" et de celle de "A=>B" que "B" est vrai. On pose donc deux vérités et on en produit une nouvelle (on utilise l'implication pour déduire). On est bien dans le cadre d'un système de déduction.⁽³⁾

Cet amalgame entre implication et modus ponens me semble avoir deux origines :

- On utilise l'implication — dans la vie de tous les jours (phrases du type "si ... alors ...") tout comme dans l'activité mathématique pré-BAC — presque uniquement dans le but d'effectuer une déduction grâce au modus ponens.

- L'implication est le seul connecteur logique binaire que l'on exprime par un verbe transitif direct⁽⁴⁾ (on prononce "A implique B"), ce qui renforce l'idée d'une action, en l'occurrence une déduction qui produit une vérité grâce au modus ponens ([size=x-small]par exemple le problème ne se pose ni avec la conjonction ni avec la disjonction parce qu'on les exprime respectivement avec "et" et "ou" qui ne sont pas des verbes[/size]).

Je pense que cette seconde origine explique pourquoi la traduction de "A=>B" par la proposition équivalente "non(A et nonB)" (on n'a pas : "A" est vrai et "B" est faux) lève souvent la difficulté (il n'y a plus de verbe dans la façon de le prononcer).
Notamment, la phrase "le faux implique le vrai" est ambigüe⁽⁵⁾ et elle a induit beaucoup de gens en erreur ([size=x-small]dont Hamid et moi-même[/size]), puisqu'elle les a conduits à penser qu'elle est sensée, mais fausse ([size=x-small]interprétation ici unanimement rejetée à juste titre[/size]).
Par contre, la phrase "on n'a pas : le faux est vrai et le vrai est faux", bien qu'également ambigüe dans l'absolu, présente au moins l'avantage de leur sembler évidemment vraie.⁽⁶⁾

Enfin, ce qui tend à conforter cette analyse, c'est qu'on voit bien que cette confusion ne pose souci que lorsque l'argument de gauche de l'implication est faux :

hamid a écrit:

le fait de dire que le faux =>faux ou faux=>vrai en sens mathématique ne veut rien dire pour moi.

C'est précisément le cas où quand "A=>B" est vrai, le modus ponens correspondant à cette implication ne s'applique pas (puisqu'il faudrait au contraire que "A" soit vrai aussi pour pouvoir l'utiliser), c'est-à-dire là où l'amalgame entre implication et modus ponens produit l'interprétation erronée qui plonge tant de personnes dans les affres de l'incompréhension.

hamid a écrit:

il dit que le faux => vrai c'est a dire qu'une proposition fausse implique une proposition vraie. il ne m'a pas du tout convaincu, car le faux peut donner le faux ou le vrai

Bref, pour répondre à la question d'Hamid, voilà d'où me semble venir le malentendu, manifeste dans la citation ci-dessus :

Penser que la vérité de la proposition "A implique B" signifie que la valeur de vérité de B se déduit de celle de A est une erreur qui consiste à confondre entre eux le registre du calcul propositionnel et celui d'un système de déduction.
En particulier, le fait que "A=>B" soit vrai pour "A" faux et "B" vrai ne signifie pas en soi qu'on peut déduire la vérité de B de la fausseté de A, contrairement à ce que l'expression "le faux implique le vrai" laisse penser à beaucoup.

En espérant (naïvement ?) avoir écrit un peu moins de bêtises cette fois.
:-S

*************************************************************************************

[size=x-small](1) Par exemple : système à la Hilbert, déduction naturelle, calcul des séquents...

(2) Au passage, si un spécialiste pouvait m'éclairer : j'ai remarqué que dans certains contextes, le simple fait d'écrire "A=>B" semble en faire une assertion (proposition vraie). Du coup, je ne sais pas bien comment on peut savoir en lisant "A=>B" s'il s'agit d'une simple proposition (susceptible d'être vraie ou fausse suivant les valeurs de A et de ou bien de l'affirmation que "A=>B" est vraie (c'est-à-dire d'une assertion). Pourtant, par exemple dans le cas où l'on n'a aucune information ni sur A ni sur B, écrire "A=>B" comme une simple proposition n'en fournit pas, contrairement au fait de l'écrire comme une assertion (puisque que l'on apprend alors que (A,B) != (1,0).

(3) En toute rigueur, je devrais sans doute utiliser l'écriture "?B" du calcul des séquents plutôt que ""B" est vrai" pour que ce cadre soit clair. EDIT : le point d'interrogation est censé être un T couché avec le pied à droite, mais le forum n'accepte pas ce caractère...

(4) "<=>" se traduit par un verbe aussi, "équivaut", mais qui est indirect, car on ne l'utilise que sous la forme "équivaut à". Il véhicule donc moins — à mon avis — l'idée d'une action (et de toute façon, le fait que "faux <=> faux" soit vrai provoque a priori moins d'interprétations erronées).

(5) Dans ce topic, gerard0 l'a considérée comme une "affirmation idiote" qui "ne veut rien dire", quand christophe c a soutenu qu'elle a du sens et qu'elle est vraie.

(6) Par contre, la confusion risque de se reporter sur la raison pour laquelle on appelle "non(A et nonB)" une implication. Pour la dissiper, je trouve assez excellent l'avant-dernier post au-dessus du mien d'un certain "Polemiquait long ici". Il explique en quoi il est naturel que l'implication ait cette table de vérité si l'on veut qu'elle respecte l'idée intuitive que l'on a tendance à s'en faire spontanément. On peut ensuite aisément constater que "non(A et nonB)" a la même table de vérité.
[/size]

serge burckel · January 2020

Pour jeter une toute petite pierre dans le cours de ce fil d'eau, on a :

$$(HC\implies AC)\ ou\ (AC\implies HC)$$

HC : Hypothèse du Continu
AC : Axiome du Choix

et cela se généralise même à toute paire de propositions $P,Q$. ;-)

On peut donc voir l'ensemble de tous les énoncés mathématiques comme les sommets d'un graphe dirigé réflexif et transitif où pour chaque paire d'énoncés $P,Q$ on a $P\longrightarrow Q$ ou $Q\longrightarrow P$.

Illogicien · January 2020

Cher serge burcke, cette toute petite pierre dans le cours de ce fil d'eau pourrait bien être un pavé dans la mare d'incompréhension de certains.
;-)
Vu le contenu du post initial, j'essayais d'y répondre avec un bagage mathématique infiniment plus léger que celui des intervenants habituels de ce forum (ce qui est grandement facilité par le poids infinitésimal du mien). Comme en plus j'ai été dans la même situation qu'Hamid et que les nombreuses personnes qui bloquent sur la vérité de la proposition "faux implique faux", je me dis que si j'en suis sorti (j'espère !), je dois pouvoir leur expliquer sans placer la barre trop haut.

Par rapport au fond de ton message :

Si j'ai compris, on peut représenter la vérité de "P=>Q" par une arête orientée d'origine P et d'extrémité Q (ie. le sommet P pointe vers le sommet Q) dans ce graphe ? Sa réflexivité refléterait que tout énoncé s'implique lui-même et sa transitivité refléterait celle de l'implication ?

Si par "énoncé mathématique" on entend "assertion" (proposition vraie), le graphe orienté sera complet, non ? Je vais plutôt me placer dans le cas plus large des "propositions mathématiques" (donc possiblement fausses).

"(P=>Q) ou (Q=>P)" étant une tautologie, pour toute paire de sommets d'un tel graphe orienté, au moins l'un des deux pointe vers l'autre⁽¹⁾.

D'une part, il existe des contradictions et des tautologies (par exemple "P et nonP" et "P <=> P").
D'autre part, "faux=>faux" est vrai et "faux=>vrai" l'est aussi.
C'est donc facile de repérer les propositions fausses : ce sont les sommets qui pointent vers tous les sommets.⁽²⁾
C'est donc facile aussi de repérer les propositions vraies : ce sont les sommets qui ne pointent pas vers tous les sommets.⁽³⁾

La connaissance de l'ensemble des arêtes orientées d'un tel graphe suffirait pour établir sans démonstration la valeur de vérité de chacune des propositions mathématiques possibles et imaginables... le Graal !
B-)-
Bon, bien sûr, avec des quantités infinies, c'est un peu difficile de distinguer à l’œil nu qu'il manque des arêtes aux propositions vraies... On va donc plutôt se placer dans un sous-graphe induit fini de notre graphe orienté !
;-)
Cela étant, même ainsi, dans la pratique, on ne connaît pas forcément toutes les arêtes orientées ni toutes les valeurs de vérité, donc on n'est pas débarrassé de la nécessité de raisonner⁽⁴⁾...
:-(
Un des plus classiques raisonnements déductifs consiste à suivre un chemin (de préférence élémentaire) de ce graphe orienté en partant d'une proposition vraie. C'est le fameux modus ponens : de "P" vrai (un sommet qui ne pointe pas vers tous les sommets) et "P=>Q" vrai (le sommet P pointe vers Q) on déduit que "Q" est vrai.⁽⁵⁾

Bref, en partant d'une proposition vraie et en empruntant un chemin quelconque dans ce graphe, on est sûr de n'être passé que par des propositions vraies (modus ponens) ; en faisant de même à partir d'une proposition fausse, on n'est sûr de rien (soit on n'a parcouru que des énoncés faux ; soit on est passé à un moment par un énoncé vrai, puis on n'a plus parcouru que des énoncés vrais).

J'ai bon ?
;-)
On peut aussi pointer le malentendu dont parle Hamid avec cette représentation par un graphe orienté.

hamid a écrit:

il dit que le faux => vrai c'est a dire qu'une proposition fausse implique une proposition vraie^(a). il ne m'a pas du tout convaincu, car le faux peut donner le faux ou le vrai^(b) [...] d'ou vient ce malentendu

(a) signifie que pour tout couple de propositions respectivement fausse et vraie, le sommet correspondant à la première pointe vers celui correspondant à la seconde. C'est juste la description d'une caractéristique du graphe orienté.

(b) signifie que pour tout couple de propositions dont la première est fausse, le sommet correspondant à la première pointe vers celui correspondant à la seconde indépendamment de savoir si elle est fausse ou vraie. C'est juste la description d'une caractéristique du graphe orienté.

Il n'est nulle part question de la possibilité ou non d'une déduction.

Or (a) est un cas particulier de (b), mais cette dernière en est présentée comme un contre-exemple dans la citation. Comment l'expliquer ?

Hé bien j'ai tendance à penser que l'usage du verbe "donner" trahit chez son auteur une idée d'action — qu'il doit prêter également à "impliquer" (cf. mon post précédent) —, donc qu'il parle en fait de déduction, concept qu'il amalgame avec la notion d'implication et que de là surgit le malentendu fatal.

(a) signifie sans doute à ses yeux qu'en suivant une arête orientée à partir d'un sommet correspondant à une proposition fausse, on est sûr d'aboutir à un sommet correspondant à une proposition vraie (utilisant le principe du modus ponens en dehors de ses conditions d'application en raison de la fausseté de l’antécédent).

(b) devient alors contradictoire, puisqu'elle prend un autre sens (pour le coup valide aussi, puisqu'il en est une conséquence) selon lequel on n'en est pas sûr.

Moralité : Les déductions utilisent souvent une propriété de l'implication, mais l'implication n'est pas une déduction, même si l'usage du verbe "implique" peut inciter à le penser de prime abord.

*************************************************************************************

[size=x-small](1) ...et les deux pointent vers le sommet correspondant à ladite tautologie "(P=>Q) ou (Q=>P)", puisque "X => vrai" est vrai quel que soit X. Cette tautologie produit donc à elle seule une caractéristique de ce graphe orienté quant à ses arêtes, ainsi qu'une infinité de ses sommets... et chaque paire d'entre eux produit une infinité de sommets pour la même raison.... et ainsi de suite... Je suis pris d'un vertige conceptuel, tout soudain !
:-S

(2) J'ai l'impression que ça se rapproche bigrement de ce que christophe c s'est évertué à répéter ici avec son ""nonX" est par définition l'abréviation de "X implique tout""...

(3) Il me semble qu'on aurait aussi bien pu dire l'une de ces deux phrases pour repérer les propositions fausses (la seconde uniquement dans un sous-graphe induit fini) :
"ce sont les sommets qui pointent au moins un sommet qui ne pointe pas vers eux".
"ce sont les sommets dont le degré sortant est strictement supérieur au degré entrant" (pas d'égalité, vu qu'il existe des propositions vraies).

...et l'une de ces deux phrases pour repérer les propositions vraies (la seconde uniquement dans un sous-graphe induit fini) :
"ce sont les sommets qui sont pointés par tous les sommets vers lesquels ils pointent".
"ce sont les sommets dont le degré sortant est strictement inférieur au degré entrant" (pas d'égalité, vu qu'il existe des propositions fausses).

(4) J'ai l'impression qu'en pratique, il faut de la quantification. Par exemple, dans l'univers des couples de droites du plan euclidien, avec :
P(x)="x est un couple de droites perpendiculaires" et S(x)="x est un couple de droites sécantes".
Il faut une quantification pour tout le graphe orienté (sinon, d'une part quel que soit x, S(x) est fausse, et d'autre part quel que soit x, P(x) est fausse, donc S(x) pointerait vers P(x), ce qui n'est pas ce qu'on voudrait, il faut que ce soit le même "quel que soit x" pour les deux).

On mettrait alors une arête orientée entre P(x) et S(x) uniquement quand "quel que soit x, P(x)=>S(x)" est vrai.
Ainsi, comme il existe des couples de droites sécantes non perpendiculaires, S(x) ne pointe pas vers P(x).
Par contre, comme il n'existe pas de droites perpendiculaires sécantes, P(x) pointe bien vers S(x).

Dans un tel graphe orienté :
- Tout pointe vers chaque tautologie et chacune d'elle ne pointe que vers des tautologies (comme pour les propositions vraies dans le graphe non quantifié initial).
- Chaque contradiction pointe vers tout et seules les contradictions pointent vers des contradictions (comme pour les propositions fausses dans le graphe non quantifié initial).
- Mais il y a une nouvelle catégorie de sommets, comme P(x), qui ne sont ni l'un ni l'autre et je peux faire apparaître des arêtes en restreignant l'univers (par exemple dans celui des droites perpendiculaires, S(x) pointe vers P(x), tout comme dans celui des droites parallèles).

Par contre, est-ce que ce galimatias indigeste à base de quantification possède la moindre signification ou pertinence... Je ne serais pas étonné d'être en train de m'égarer !
:)o

(5) Il y a d'autres raisonnements déductifs que celui-là. On peut ignorer l'existence de certaines arêtes orientées du sous-graphe induit fini, mais quand même déduire d'une proposition vraie qu'une autre proposition l'est, même en l'absence de chemin connu reliant la première à la seconde.
Mettons que je n'aie que les 4 sommets "P", "nonP", "Q" et "nonQ", que je ne connaisse que l'arrête correspondant à "P=>Q" et que je sache juste que "nonQ" est vrai.
Avec ces seules informations, aucun chemin ne conduit du sommet "nonQ" au sommet "nonP", pourtant :
- "nonQ" vrai
- Je suppose "P" vrai
- Comme P pointe vers Q, j'obtiens "Q" vrai (fameux modus ponens)
- "nonQ" vrai et "Q" vrai est une contradiction (introduction du faux)
- Ma supposition est fausse, donc "nonP" vrai (raisonnement par l'absurde en logique classique)

Il me semble que j'ai démontré que "nonQ" vrai et "P=>Q" vrai permettent de déduire "nonP" vrai, à savoir le modus tollens, sans utiliser directement la contraposition de "P=>Q", donc sans "suivre un chemin déjà connu" du graphe orienté.

Ici aussi, sous toutes réserves, car je n'ai aucune compétence en logique (mais avec mon pseudo, vous ne pourrez pas dire que vous n'étiez pas prévenus).
;-)

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serge burckel · January 2020

Cher Illogicien

Merci...tu as transformé ma petite pierre en pavé.
En effet tu as compris cette idée de graphe.
Je précise encore quelques points :

a) Les sommets sont les propositions correctement formulées
b) La vérité peut être déduite de ce graphe (ça tu l'as vu)
c) La vérité est relative et induit des graphes différents.

Dom · January 2020

Quel est ce nouveau jeu ?
Qui parvient à lire tout ça ?
Quelle est cette idée de caricaturer un « anti-cc » ?

Chaurien · January 2020

Nos amis les amateurs de logique ont du mal à rendre leur discipline attractive, semble-t-il...

Foys · January 2020

Chaurien a écrit:

Nos amis les amateurs de logique ont du mal à rendre leur discipline attractive, semble-t-il...

Je pense qu'ils sont parçus par les matheux comme les matheux sont perçus par le grand public: des gens enfermés dans leur tour d'ivoire ou quelque chose comme ça ...

faux=>vrai

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Bonjour!

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