simplement : qu'est-ce un "ensemble" vide ?

joany
joany
dans Fondements et Logique
Titre initial : qu'est-ce que, SIMPLEMENT, un "ensemble" vide?

Bonjour,

Essayant d'y voir clair ( et, si possible, simplement) dans la notion d'ensemble vide, j'en arrive à ces réflexions :

- la signification concrète de cet ensemble est qu'il est ...vide ie ne contient pas d'éléments.
- or, un ensemble ( notion primaire ie collection, réunion, assemblage... d'objets ) est défini en compréhension par P(x) propriété de ses ELEMENTS ou en extension de ses ELEMENTS.
- "l'ensemble vide" n'ayant PAS d'éléments, l'on ne peut, a priori, le considérer comme ensemble ; d'après ce que je comprends, on s'en sort par un ARTIFICE : P( x, x =/= x ) en compréhension CONDUISANT en extension à ce qu'il ne comporte aucun élément.
- par ailleurs, montrer que l'ensemble vide EST CONTENU dans tout ensemble, ne peut être démontré car "tout x du vide ", n'existe pas, et ne peut donc être contenu dans un ensemble défini par ses éléments.

En résumé, on devrait déclarer des axiomes :

1) IL EXISTE QUELQUE CHOSE possédant la propriété artificielle ci-dessus :
- que l'on CONSIDERE COMME un ensemble
- et que l'on DENOMME "ensemble vide".
2) ce quelque chose qui est, maintenant et magiquement, un ensemble est DECLARE ETRE CONTENU dans tout ensemble.
3) cet ensemble SATISFAIT AUX OPERATIONS ENSEMBLISTES (union, inter.,complémentation).
4) ON CONSTATE alors qu'il n'y a pas de CONTRADICTION dans les manipulations faisant intervenir ce QUELQUE CHOSE CONSIDERE COMME UN ENSEMBLE, et qui EST DONC UN ENSEMBLE.

Est-ce correct ou suis-je à la masse ? (si cela était correct, on pourrait m'appeler Barbouki).

Merci pour votre éclairage.

(Excusez les majuscules ; je ne hurle pas, mais cela concerne les points qui me posent problème)

Réponses

  • Bu
    Bu
    Encore une manifestation de la phobie du vide. Ne peut-on pas laisser l'ensemble vide vivre tranquille sa vie d'ensemble, comme tous les autres ensembles? Pourquoi cette discrimination envers lui?
  • Bu
    Bu
    Je réponds plus sérieusement.

    A partir du moment où il existe un ensemble $a$, l'ensemble vide existe d'après le schéma d'axiome de compréhension :
    $$\emptyset=\{x\in a\mid x\neq x\}$$
    Rien à redire à ça.
    Cet ensemble vide n'a aucun élément (où est le problème?), et il est unique d'après l'axiome d'extensionalité.
    L'existence et l'unicité de l'ensemble vide n'est pas une convention. C'est un théorème de la théorie des ensembles.

    Ce qu'il y a au fond, c'est une mauvaise compréhension de la quantification universelle. Un exemple :
    Axiome : Il n'existe pas de martien.
    Théorème : Tous les martiens sont verts.
    Démonstration par l'absurde : Supposons que l'assertion du théorème soit fausse. C'est donc qu'il existe un martien qui n'est pas vert : la négation logique de $\forall x (x\in M\Rightarrow x\in V) $ est $\exists x (x\in M \mbox{et non}(x \in V))$, n'est-ce pas?. Mais ceci contredit l'axiome. Le théorème est donc démontré.
  • horreur du vide
    horreur du vide
    Bonjour,

    Pour les assertions suivantes, je n'ai jamais compris si il s'agissait de conventions ou de résultats (j'ai l'impression que ça dépend des auteurs et de leur amour du vide ou non ?)
    - toute famille vide d'éléments dans un espace vectoriel est libre
    - une somme indexée par un ensemble vide est égal à 0.
    - un produit indexé par l'ensemble vide est égal à 1.
    - il doit y avoir le même genre de choses pour les pgcd et ppcm de familles d'éléments indexées par l'ensemble vide.

    Si quelqu'un peut être clair sur les points ci-dessous ? Ou renvoyer à une discussion passée (pas facile le mode recherche pour les messages du forum).
  • remarque
    remarque
    Pour la première, tu peux te demander si une famille vide est liée (une famille vide c'est une application de l'ensemble vide dans l'espace vectoriel. Il n'y en a qu'une). Comme c'est un énoncé commençant par $\exists$ et appliqué à l'ensemble vide, il est faux. Si elle n'est pas liée, c'est qu'elle est libre (tout énoncé commençant par $\forall$ appliqué à l'ensemble vide est vrai). C'est comme les martiens.

    Pour la deuxième, si on additionne rien, c'est un peu normal d'obtenir 0. Par ailleurs, si on découpe une somme en plusieurs morceaux, dont un se trouve être vide, pour retomber sur ses pieds, il faut lui attribuer la valeur 0 (c'est la même chose que ce qui précède en fait).

    Un produit vide, c'est l'exponentielle d'une somme vide, et même chose si on découpe etc...

    Alors convention ou résultat ? Le premier est définitivement un résultat. Les suivants, ça se discute.
  • Bu
    Bu
    une somme indexée par un ensemble vide est égal à 0
    Il faut bien sûr savoir où on est : disons dans un groupe abélien $G$, et $0$ est l'élément neutre de $G$. Comment définir $\sum_{i\in I} g_i$ pour une application $i\mapsto g_i$ d'un ensemble fini $I$ dans $G$? Par récurrence sur le cardinal de $I$ : si $I$ est vide, $\sum_{i\in \emptyset} g_i = 0$ et si $j\in I$, $\sum_{i\in I} g_i = \sum_{i\in I\setminus\{j\}} g_i + g_j$. Pourquoi devrait-on initialiser la récurrence avec 1?

    Je ne fais pas la version multiplicative.
    toute famille vide d'éléments dans un espace vectoriel est libre
    Oui bien sûr. Si on a $\sum_{i\in\emptyset} \lambda_i g_i = 0$, alors tous les $\lambda_i$ sont nuls. (cf la démonstration du fait que tous les martiens sont verts ci-dessus).

    il doit y avoir le même genre de choses pour les pgcd et ppcm de familles d'éléments indexées par l'ensemble vide
    Le pgcd de la famille vide d'entiers est $0$, et le ppcm est $1$. En effet le pgcd d'une famille d'entiers est la borne inférieure de cette famille (le plus grand de ses minorants) pour la relation de divisibilité, et le ppcm la borne supérieure. De même que $-\infty$ est la borne supérieure de l'ensemble vide dans la droite achevée $\R\cup\{-\infty,+\infty\}$, et $+\infty$ sa borne inférieure.
  • horreur du vide
    horreur du vide
    Merci Bu et Remarque, et plus globalement merci pour vos interventions sur le forum.

    En fait il faudrait interdire les cours où on spécifie d'abord qu'on travaille avec un ensemble I non vide, et puis après on dit "Bon, pour le cas où I est vide, on pose etc..", sous-entendu le vide c'est un peu compliqué pour vous les enfants...
  • remarque
    remarque
    Peut-être pas. Quand on veut montrer une assertion $\forall x\in I$ blablabla, elle est automatiquement vraie si $I$ est vide donc il n'y a rien à dire dans ce cas. Par contre, pour les autres cas, on utilise d'habitude le langage courant en commençant par « soit $x\in I$ », d'où malaise sémantique dans le cas de l'ensemble vide car on donne ainsi l'impression de choisir un $x$ dans $I$. En fait, il n'en est rien bien sûr, mais ce n'est pas forcément un mal de dissiper ce malaise possible en traitant à part l'ensemble vide, même si ça ne sert à rien. De toutes façons, tout le monde se plante toujours tôt ou tard sur les propriétés de l'ensemble vide, sauf Bu.
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Normal puisqu'un verre a moitié Bu est à moitié... vide!!!
    ou a moitié plein ;-))

    Désolé ca m'a échappé...;-)

    eric
  • Sylvain
    Sylvain
    (:D
  • Bu
    Bu
    Ca me fait penser à la définition polonaise de l'ensemble vide (vieille blague éculée) :
    Une bouteille de vodka pour quatre
  • samok
    samok
    Bonsoir,

    juste une petite remarque, j'ai lu il y a peu un petit bouquin sur l'histoire de la théorie des ensembles il y a peu de Jean-Pierre Belna chez Ellipses. L'ensemble vide n'était pas retenu comme ensemble au départ. Un peu comme le zéro qui est venu après les nombres 1, 2 ...
    Même être une bande à soi tout seul (le singleton) n'était pas légitime pour certains mathématiciens.

    Voilà qui explique que cette question réapparaisse régulièrement il me semble.
    S
  • Hdidane
    Hdidane
    Lorsequ'on dit un ensemble est vide, est vide de quoi ;et pour notre fameux ensemble vide sera t-il vide de n'importe quoi même des elts qui ne peuvent exister mais pour les autres qui peuvent exister où puis-je le metre?!!!!
  • Chaurien
    Chaurien
    En français, ça donne quoi ?
  • soland
    soland
    L'ensemble vide ressemble à l'éther de la physique du XIXe siècle :
    omniprésent et insaisissable.
    Sauf que que les frères ZF et NB ont établi son existence
    via ses propriétés, comme il se doit.

    Comme $0$, $\infty$, $\pi$ et certaines divinités il fait partie de ces concepts
    "dont nul peut regarder la face et rester sain d'esprit".

    D'où leur statut de marronniers sacrés fascinant les éphémères perdus sur route de la Connaissance.
  • gerard0
    gerard0
    "Lorsequ'on dit un ensemble est vide, il est vide de quoi "

    Ben s'il est vide, il est vide. On ne dit pas qu'on l'a vidé de quelque chose, mais qu'il n'y a rien dedans. Et rien, c'est de quoi, Hdidane ?

    Autrement dit, tu te compliques la vie ! relis le début de cette discussion, au lieu de poser des questions sans signification.

    Cordialement.
  • L'Axone du Choix
    L'Axone du Choix
    Je trouve bien plus facile de conserver l'esprit en regardant la face de l'ensemble vide, que celle d'un ordinal non dénombrable.
  • christophe c
    christophe c
    La seule propriété mathématiquement utilisé de $\emptyset$ c'est d'être inclus dans tous les autres. Il n'est pas premier à faire ça, la seule propriété utilisée en maths du faux c'est que toute autre phrase en est un cas particulier. Si ça peut te faire plaisir, le vide n'est pas plus vide que l'Univers contient tout le monde par exemple.

    Mais on a une pratique assymétrique des maths, les gens "ressentent" plus facilement qu'aucun univers (satisfaisant) de ZFC ne peut contenir tous les nombres réels (il en contient beaucoup hein!!! Je ne dis pas qu'il en contient peu :-D ) qu'ils ne ressentent que l'ensemble vide peut contenir tout plein de choses (mais lesdites sont aussi des éléments de tous les autres ensembles, donc en quelque sorte, on "les met de côté" sans que ça change quoique ce soit à l'affaire).

    C'est exactement comme quand tu prends l'intersection de la famille vide, prise comme famille d'ouverts usuels de $\R$ et que tu prétends que cette intersection vaut $\R$.

    Bon, je me déconnecte, mais de toute façon, je n'ai pas compris grand chose à ce que tu veux en fait.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    oups, 8 ans plus tard, pardon!!!!! :-D Bin bonne année 2018 après 2010 alors.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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