topoi

La théorie des corps est une théorie cohérente (axiomatisable par des séquents de la forme une conjonction d'atomiques entraîne une disjonction de quantifications existentielles de conjonctions d'atomiques). Elle a donc un topos classifiant $\mathcal{E}$ (cohérent), avec dedans "le corps générique" $K$ : tout corps dans un topos $\mathcal{F}$ est l'image réciproque de $K$ par un morphisme géométrique $\mathcal{F}\to \mathcal{E}$.

Sinon, la partie définissable par limites projectives finies de la théorie des corps est la théorie des anneaux commutatifs réguliers au sens de von Neumann.

J'étale ma science.

C'était cryptique, mais relativement facile à expliquer... et un peu décevant une fois qu'on a vu de quoi il s'agit.

On considère la catégorie $APF$ des anneaux de présentation finie (les $\Z$-algèbres de type fini, si tu préfères). Sur la duale de cette catégorie, on a une topologie de Grothendieck engendrée par
- le recouvrement vide de l'anneau trivial,
- le recouvrement de $\Z[x]$ formé des deux morphismes $\Z[x]\to \Z$ qui envoie $x$ sur $0$ et $\Z[x]\to\Z[x,y]/(xy-1)$,
ce qui en fait un site. Soit $\mathcal{E}$ le topos des faisceaux sur ce site.
On reconnaît bien sûr les deux axiomes qu'on ajoute à la théorie des anneaux commutatifs pour obtenir la théorie des corps : $0\neq 1$ et $\forall x\ (x=0 \vee \exists y\ xy-1=0)$.

Tout anneau commutatif $A$ est limite inductive filtrante d'anneaux commutatifs de présentation finie, et $\mathrm{Hom}(-,A)$ est un foncteur $APF^\mathrm{op} \to \mathrm{Ens}$. Ce foncteur est continu pour la topologie de Grothendieck mentionnée ci-dessus (et définit donc un morphisme géométrique $ \mathrm{Ens}\to \mathcal{E}$) si et seulement si $A$ est un corps. Voilà pour le topos classifiant de la théorie des corps. Quant au corps générique, c'est le faisceau associé au préfaisceau en anneaux dont les sections sur l'objet $R$ de $APF^\mathrm{op}$ forment l'anneau $R$.