topoi

à Gérard: faut avouer que c'est un peu de ma faute dans la mesure où c'est vrai que j'ai demandé une définition formelle (dont je savais qu'elle existe et est courte) et que ça dirige immédiatement un peu les choses vers le "formel", moins générateur d'intuitions visualisables.

Le fil est long, je n'ai pas tout lu, j'ai juste saisi "au vol" que tu demandais ce qu'est un "objet".

Alors rassure-toi, ce n'est rien (c'est un peu le sens parfois de mon "procès", la "pub" qui est faite autour de cette théorie des catégories et des topos créée des attentes): les objets d'une catégorie sont comme les sommets d'un graphe (simplement, au lieu de les appeler "sommets" on les appelle "objets".

De même en ce qui concerne les flèches: ce sont comme les arêtes des graphes, rien de plus: il faut bien comprendre ça, pour éviter les malentendus.

Sinon, ces concepts de catégories et de topos sont effectivement tellement généraux que leurs promoteurs construisent des "copies" ou des "simulations" (je ne sais pas tellement quels mots choisir) de pas mal de choses avec et utilisent ce point-là pour prétendre à des capacités de refondation des maths par ces consrtuctions-là, en gros.

Ceux qui les aiment évidemment seront prolixes pour tenter de partager ça (par exemple dans ce fil) avec les autres, et j'ai l'impression que c'est ce qui est fait dans ce fil. Particulièrement db qui semble s'être investi pas mal dans les topos si je comprends bien.

Concernant "la pub" etc que tu rappelais dans un des posts au dessus, elle est réelle, mais ici, je vais essayer de te faire une image, elle est, je pense, d'une nature particulière: elle ne ressemble pas par exemple à ce que pourraient dire les promoteurs de l'analyse non standard. Elle ressemblerait plutôt à ce que pourraient dire les promoteurs des tentatives de logique quantique qui ont été faite à une
certaine époque: c'est une "promotion" qui souhaite dire que "les topos" (par exemple) devraient permettre d'avoir de nouveaux modèles et peut-être des résultats de consistance, et peut-être une autre vision "du réel" mathématique. En gros, c'est une annonce que ça pourrait élargir le champ de vision.

Par ailleurs, à l'évidence, les diverses constructions comme celle d'un prétendu IN ou d'une prétendu IR, même si elles n'ont rien d'illégitime, bien sûr, elles continuent d'appeler "IN" ou "IR" des choses substantiellement différentes du "IN" ou du "IR" habituel. C'est une revendication d'expressivité en gros.

En ce qui me concerne, je l'ai dit dans l'autre fil, sans aucune hostilité et en toute amitié pour db et meu qui se donnent ici du mal pour transmettre les maths du sujet, je maintiens relativement mes positions visant à dire que cette "promotion" ou "revendication" ou "prétention à refonder" ou "etc", je ne trouve pas bien les mots diplomates peut-être, d'une part n'est pas nouvelle de la part de certaines constructions enfin de leur constructeur) d'autre part envoile la notion d'une sorte d'auréole qui au choix peut:

- faire peur
- faire croire que c'est trop dur
- faire croire (Godel) qui "si ça refonde" c'est que "c'est trop indécidable pour être compris"
- faire croire que certains mots sont des notions premières alternatives proposées par les promoteurs

J'en témoigne d'ailleurs un peu directement, puisque moi-même, j'ai mis du temps à comprendre la caractère "graphe orienté" d'une catégorie, parce que "l'introduction" cachait cet aspect simple. Je me disais "mais bon sang c'est quoi des morphismes", etc, etc.

Sinon, je pense (sans en être sûr) que l'aspect "à la mode" des topos vient aussi de ce qu'actuellement, il y a une grosse interrogation quant à la profondeur de ce que peut apporter la logique intuitionniste (je veux dire elle a énormément progressé dans les têtes des chercheurs et elle n'est plus une vague curiosité informelle) et tout un tas de notions qui tournent autour s'en trouvent remises plus en lumière. J'ai entendu que les topos revendiquent d'être "les bons" modèles de ZF-intuitionniste***, ie modulo quelques hypothèses d'apporter la sémantique qu'il faut à la théorie des ensembles intutionniste.


*** c'est très simple: c'est ZF dans lequel tu n'admets pas ((A=>tout)=>tout )=>A dans les axiomes: tu ne gardes que ceux de ZF ainsi que les autres axiomes logiques.

cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par christophe chalons.

Peut-être Meu et db pourront-ils nous en dire plus à propos de ce qu'on appelle "la logique interne d'un topos". Je crois que c'est un carrefour du domaine (avec l'histoire de la sémantique de Kripke Joyal)?

Après quoi, Gérard, je pourrai peut-être retraduire un peu en "tes termes" je crois avoir compris comment tu veux que tu soient présentées les choses

Cependant, il me faudrait d'avord être informé sur ce que c'est c'est je n'en ai que vaguement entendu parler.

cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"

Taratata! Super-Christophe va nous expliquer les topos une fois qu'il aura appris ce que c'est, et alors la lumière resplendira enfin !

Si tu te donnes la peine de lire le document que j'ai attaché à un message, tu y verras une présentation de la "logique interne d'un topos" (essentiellemnt limitée au premier ordre dans ce document). Mais ça peut se trouver un peu partout si on le cherche (par exemple dans la référence donnée par Philippe Malot.

Bien,

à la relecture, je vois qu'une partie de mes questions a eu des réponses. Dans des posts de Db, Meu et maintenant Christophe (Tu me racontes des choses que je connais bien, et d'autres qui m'éclairent, mais continue, sans craindre d'enfoncer des portes ouvertes).

J'ai été un peu sec par moments, mais il faut reconnaître que Meu a des interventions plutôt polémiques, son dernier message est caractéristique. Désolé Meu, mais ce n'est pas parce qu'on ne te comprend pas qu'on est inintelligent : la communication dépend aussi de l'émetteur et de la forme du message. Mais passons.

Pour Db : La phrase que tu ne comprends pas (charge de la preuve) est pourtant une évidence. Quand quelqu'un annonce qu'il peut faire ceci ou cela, personne n'est obligé de le croire.

Pour Christophe : As-tu eu ta définition "formelle" ? Mais j'ai peut-être une autre idée de ce que ça veut dire.

Cordialement.

à Gérard, oui. C'est bête, là je dois me déconnecter, et j'ai passé trop de temps à répondre au troll de l'autre fil, mais j'y reviendrai en détails et doucement plus tard dans la journée , t'inquiete (ne serait-ce pour m'assurer que j'ai bien compris)

Oui, Christophe a eu sa définition formelle. Mais il faut dire que ce fil est mélangé à un autre fil, la réponse lui a été donnée par Meu sur un autre fil je crois : c'est une catégorie cartésienne fermée avec un subobject classifier, Meu a un peu explicité ce que ça voulait dire.

Tu vois, Gérard, la personne inintelligente ici, c'est moi, car je ne comprends pas les évidences, je n'ai toujours pas compris ce que voulait dire "ceux qui prétendent que les topoi seuls permettent de faire seuls la fondation des propriétés". On prétend que l'on peut faire des maths dans des topoi, de même que l'on peut faire des maths dans un modèle de ZF, oui, d'accord, faudrait le prouver. Ca a été fait (de même que certains ont démontré que l'on pouvait définir l'arithmétique dans un modèle de ZF, puis les rationnels, puis les réels, etc... même si c'est un peu long). Je crois maintenant que tu fais allusion à un certain paragraphe que j'ai écrit et que tu n'as peut-être pas compris quand j'ai dit que les catégories insistaient plus sur les propriétés des objets que sur leurs constructions. Je vais essayer d'expliciter un peu plus. Par exemple, on démontre (c'est une des premières choses que l'on démontre si l'on veut travailler dans un topos - on peut aussi l'admettre dans la définition - il y a plusieurs définitions équivalentes d'un topos) qu'un topos a toutes les limites projectives finies. C'est une propriété qui permet de déduire l'existence d'objets ayant certaines propriétés sans avoir à les construire explicitement. Meu avait donné un exemple. Au lieu de dire que est l'ensemble des couples où (ici, on construit ), on va dire que dans un topos on a un produit cartésien (cas particulier de limite projective finie) pour deux objets quelconques et ça fera l'affaire. Dans un topos (mais aussi dans un modèle de ZF et dans plein de catégories), on a plein de produits cartésiens différents, mais si l'on prend un produit cartésien à la place d'un autre, ça n'a a aucune importance, ça marche aussi bien, c'est pour cela que je parle de "construction arbitraire", l'important ce sont les propriétés (ici, celles du produit cartésien). Par exemple, on pourrait poser et on ferait exactement les mêmes mathématiques, car on ne se servira jamais de la définition du couple - on se sert de ses propriétés. Les catégories fournissent de bons concepts pour faire cela (en particulier, les notions de limites et d'adjonction). Evidemment que dans un modèle de ZF, tu peux démontrer que a les propriétés qu'on en attend (c'est-à-dire d'être un produit cartésien), l'idée est de chercher à éviter de dire que c'est cette définition et pas telle autre (pourtant équivalente).

Le ton ironique de Meu vis-à-vis de Christophe est justifié : voici plusieurs jours que Christophe a commencé un délire sur catégories et topoi dans un fil qui ne lui était pas consacré, Meu et moi avons un peu essayé de corriger ce qu'il disait, il a continué en nous contredisant et en restant sûr qu'il avait raison et puis tout d'un coup il a demandé une définition de ce qu'est un topos! Moi, je ne suis pas un spécialiste de la question, mais j'ai passé quand même pas mal de temps à essayer d'apprendre un peu de théorie des catégories (et un peu moins de théorie des topoi) ; Meu, lui, a écrit des articles sur ces questions, il a fait des contributions très importantes dans ce domaine, alors imagine un peu, c'est comme si, moi qui ne sais absolument RIEN en statistique (je crois que c'est ta spécialité, non?), je commençais un jour à écrire un post (sur un fil qui n'a rien à voir avec le sujet) à délirer et à dire les statistiques ceci et cela, les statisticiens ceci et cela, et si tu venais à juste titre essayer de rectifier quelques-unes des mes affirmations péremptoires je te dirais "je maintiens ma position", etc... Et puis à un moment je te demanderais, au fait la définition de "exhaustif" c'est quoi?

looooooooooooooooooooooooool db, j'adore ton dernier paragraphe.

Bon, avant d'y répondre, je voudrais juste revenir sur un truc récurrent dont il me semble que tu parles souvent :

Pourquoi tant d'émotion autour de ça. Bon, d'accord, j'ai bien compris que tu préférais que les choses soient plus structurées. Mais, c'est bizarre que tu sembles "condamner" une définition et vouloir la remplacer par une notion première. Y a-t-il tant d'opposition que ça entre "ne pas définir" un truc et le "définir" (ie obtenir par une définition un truc isomorphe)? Je vais te dire l'impression que ça me fait: on dirait que pour toi, à partir du moment où on incarne dans une définition un "truc naturel" (ici les couples), on le "dévoie" ou quelquechose dans ce genre.

Sinon pour ton bilan (ton dernier paragraphe ci-dessus), je te trouve antiscientifique au possible. D'abord tu parles "ostentatoirement" de moi à la troisième personne, tu m'ignores ostentatoirement dans l'autre fil tout en envoyant des petites piques ou petits arguments qui se veulent des réponses et maintenant tu "fais un bilan" des échanges que j'ai eu avec meu "comme si je n'étais pas là". Je trouve ne plus de ça ta présentation subjective.

Par ailleurs, Meu est un vrai mâle et m'a répondu (avec raison) sur quelques points de notre échange dans l'autre fil, en particulier, il l'a même redit, sur "mon délire" (ce que j'admets) d'avoir vu dans la distinction ensembles/classes une sorte d'argument de vente ou de revendication de profondeur de certains promoteurs des catégories. Il m'a informé que ce n'était pas le cas point. J'ai répondu "ah, peut-être, je te crois ok" en gros, je crois.

Ensuite, en gros il m'a dit que les revendications refondationnelles de certains catégoristes étaient nettement plus légitimes que je ne semblais le dire et m'a dit que je ne pouvais pas simplement te dire "t'imagines si on remplaçait le mot "catégorie" ou "topos" par "anneau" dans ton discours" car te disant, je niais le contenu de ton argumentation sur les topos car tu étais entrain de faire des efforts pour justifier les revendications refondationnelles de la théorie des topos et que je pourrais au moins lire ces argumentations de fond.

Ce à quoi j'ai admis avoir un peu lu en diagonale et souhaité dissiper le malentendu qui voudrait que j'ai dit "ils revendiquent d'être refondateurs, or ce n'est pas le cas" alors que j'ai dit "ils revendiquent d'être refondateurs" point.

Par ailleurs, j'ai rappelé que "ZF" n'est pas un cadre de "recherches fondationnelles", mais simplement DE FACTO le cadre dans lequel se font toutes les maths, sans qu'il n'y ait d'effort à faire pour ça, en fait même on "n'arrive pas" (même si on se force) à les faire actuellement, me semble-t-il. C'est tout. Et je ne critique pas qu'on essaie de faire autrement. Relis nos échanges..
cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"

Je t'ai déjà dit que je ne te répondrai plus. Je te le confirme une fois de plus, puisque tu ne sembles pas avoir compris : je n'essayerai plus de discuter avec toi.

Bon, je tente ma chance en MP de savoir pourquoi, et pi sinon, bin, ça fera un mystère qui restera à l'état de mystère.

cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"

Et sinon, non, il ne semblait pas que tu me l'aies "déjà dit" comme tu dis, tu me l'annonces là.

cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"

Merci Db,

de continuer à éclaircir le débat. Je comprends maintenant pourquoi j'ai eu du mal à saisir que quelque part, la définition formelle avait été donnée. C'est que "c'est une catégorie cartésienne fermée avec un subobject classifier" est une suite de mots, pas une définition formelle. Je saisis maintenant qu'il s'agit d'un résumé, de même que ZF est un résumé des axiomes "classiques" des mathématiques.
Sauf que ZF, je sais trouver le détail. Par contre, et c'est là que j'essayais d'intervenir, "une catégorie cartésienne fermée avec un subobject classifier" ne me dit rien de clair, ni ne me permet de savoir ce qui est supposé en termes d'objets primitifs et de propriétés de ces objets (ces objets étant, si j'ai bien compris, plutôt des structure - mais j'ai eu vent, il y a déjà plus de 40 ans d'une "construction des maths sur les fonctions, plutôt que sur les ensembles", qui était peut-être bien celle-ci; je n'étais pas particulièrement choqué). S'il y avait eu un document de référence, qui montre la construction dans un cadre "hors ensemble", je n'aurais rien dit.

Cordialement.

NB : pour les stats, je ne suis pas "spécialiste", au sens de "professionnel", seulement intéressé et autodidacte. Mais ce que tu décris est beaucoup plus fréquent en statistiques (sans compter les "c'est pas des maths") qu'en algèbre, logique, ou analyse. Donc je n'étais pas surpris pas la virevolte de Christophe.

Suite à un échange de mails avec Christophe, je veux bien retenter de discuter avec lui, puisqu'il m'a dit qu'il essayerait de réfléchir à ce que je lui ai écrit.

@Christophe : Je ne veux pas expliciter toutes mes motivations pour raisonner avec des propriétés universelles (ce serait trop long, certaines sont d'ordre pratique au sens où, en réalité, parfois on ne peut pas faire autrement que de ne pas vouloir définir les couples comme dans ZF, par exemple en informatique théorique, et pourtant on aimerait quand même utiliser ces couples comme on fait d'habitude, du moins jusqu'à un certain point, d'autres sont d'ordre plus philosophique, mais comme tu as décrété dans un fil que tout individu qui prétend ne pas être platonicien est de mauvaise foi j'éviterai quand même de parler philosophie avec toi - de plus, je suis convaincu que c'est une manière de voir qui est souvent éclairante et qui aide donc à démontrer des théorèmes, mais passons sur mes motivations). Je veux juste préciser que quand j'ai donné l'exemple de la notion de couple, je croyais que cela allait de soi, que ce n'était là qu'un exemple et que j'aurais pu en prendre un autre. Cet exemple a l'avantage d'être très simple et éclairant, selon moi. De plus, Meu en avait parlé d'une autre manière. Il n'y a pas d'émotion particulière en ce qui concerne cet exemple (de plus, je crois que ce serait mieux de ne pas prêter des états psychologiques à tes interlocuteurs lorsque ceux-ci tiennent des propos de nature scientifique). J'aurais pu, par exemple, tout aussi bien évoquer l'union disjointe. Enfin, je ne "condamne" pas cette définition. Je crois, au contraire, qu'on ne lui rend pas assez justice en y voyant juste une définition (arbitraire) plutôt qu'une solution (et même astucieuse) à un problème (universel). Au lieu d'en faire une définition, il faut voir qu'en fait c'est un théorème, on rendrait plus justice des mérites de celui qui a eu cette idée.

@Gérard : "catégorie cartésienne fermée avec subobject classifyer" est une suite de mots renvoyant à un nombre fini d'axiomes du premier ordre . Si, pour toi, une définition formelle, c'est seulement une liste de ces axiomes écrits dans le langage du premier ordre, alors effectivement ce n'est pas une définition formelle. Pourtant, je crois que l'on peut s'en satisfaire* au sens où l'on peut arriver à passer de cette expression à une telle liste d'axiomes avec quelques explications supplémentaires (il faut certes quelques connaissances de théorie des catégories, donc je ne dis pas que quelqu'un qui n'a aucune connaissance de théorie des catégories y arrivera tout seul). Ecrire formellement tous les axiomes au premier odre est assez long (mais écrire formellement tous les axiomes de ZF aussi) et là maintenant je n'en ai pas le courage (d'autant que ça me semble un peu inutile). Cette expression désigne en fait la réunion de trois** ensembles d'axiomes:
1) Les axiomes qui disent que c'est une catégorie : j'en ai donné explicitement un dans un post, j'en ai donné explicitement un autre dans un second post; par exemple, j'ai dit que la composition devait être associative et je n'ai pas écrit "formellement" l'axiome qui exprime l'associativité de la composition, mais ça je suis sûr que tu en es capable. Si vraiment tu insistais pour que l'on te donne tous les axiomes écrits formellement, je te propose d'abord de faire cet exercice d'écrire cet axiome pour vérifier que l'on se comprend bien.
2) Les axiomes qui disent que la catégorie est cartésienne fermée, je n'en ai pas parlé dans ce fil, mais il y a un tout petit peu d'explicitations dans l'autre fil.
3) L'axiome qui dit que l'on a un subobject classifyer : j'ai essayé d'en donner une intuition, de même que Meu. Pour comprendre sa formalisation, ou pour arriver à passer de l'expression "subobjet classifyer" à l'axiome formel, je crois qu'il est inévitable de devoir savoir ce qu'est un produit fibré - notion de base de théorie des catégories. Si tu n'as pas envie d'apprendre ce que c'est et si tu veux avoir une intuition d'un "subobject classifyer", je ne crois pas que ça serve à quelque chose d'écrire une suite de symboles formels.
Pour ZF, on pourrait dire que c'est une théorie du premier ordre avec un symbole de relation binaire. Les objets du modèle sont appelés "ensembles" et la relation binaire intuitivement est la relation d'appartenance entre deux ensembles. Il y a un axiome d'extensionnalité qui dit que deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments, il y a un axiome qui dit que l'on peut former la réunion des ensembles éléments d'un certain ensemble, etc...
Ici, on a essayé de faire la même chose. Dans la théorie des topoi, les objets du modèle sont appelées flèches et on a un symbole qui, intuitivement, prend une flèche et renvoie son domaine (dans une présentation à une sorte, ce domaine sera une flèche "identité" c'est-à-dire neutre pour la loi de composition), etc...
Je vais essayer de trouver un document qui réponde à tes exigences.

* pas tout-à-fait en réalité : il manque "ayant toutes les limites projectives finies" - j'ai dit, ailleurs par erreur, que ça se démontrait - ce qui se démontre, c'est que l'on a toutes les limites inductives finies

** il manque les limites projectives finies

Et bien merci db. J'ai lu ton passage adressé à moi ci-dessus.

Je n'ai pas lu celui adressé à Gérard.

Ok, pour ta réponse sur les couples, j'avoue que je n'avais pas compris exactement, et comme il me semblait que c'était revenu plusieurs fois..

C'est vrai d'ailleurs, tiens, tu as raison: qu'est-ce qu'il y aurait comme autre manière de définir une notion de couple, ie un relation fonctionelle totale f telle que f(a,b)=f(c,d) ssi a=c et b=d?

Sinon, je dissipe un malentendu, quand j'utilise le mot "émotion" c'est parce que je n'en trouve pas d'autre et comme je tape vite. Je veux juste dire "effet que produit" ou un truc dans le genre, ça n'est nullement une mise en cause de l'aspect scientifique de la démarche (et même lool j'espère bien que ça nous donne des émotions positives de parler science)
Bon, sinon, j'essairai de suivre tout ce qui a été dit avant et de faire des connexions. A vrai dire les topos m'intéressent au prmier chef de toute façon, indépendamment d'ici, c'est donc une bonne occasion de progresser dans leur connaissance pour moi d'en parler ici.

cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par christophe chalons.

Voilà, Christophe, je crois que ta question qui consiste à savoir comment on pourrait définir le couple (a, b) de telle manière que ça fait ce que l'on veut montre que tu as compris ce que je veux dire. En fait, je crois que l'on pourrait présenter les choses comme cela. On laisserait chercher un peu les étudiants, et une fois qu'ils se seraient rendus compte que ce n'est pas si trivial, on leur dirait un tel a trouvé cette solution : la voici. En voici une autre.
J'ai évoqué une autre solution, mais c'est bien sûr trivial : poser (a, b) = [b, a], où [a, b] est la solution "habituelle". On peut continuer à faire des variantes sur le même thème, mais ça n'est pas très rigolo.
Sur la page de Wikipedia, on trouve quelques solutions qui ont précédé la solution [a, b], cette dernière étant particulièrement économique.

C'est un jeu rigolo, j'ose pas m'y lancer, ça pourrait prendre toute la nuit

Une autre question pourrait être de se demander s'il n'y a pas un point commun à toutes les solutions (plus subtil que de demander que f soit "injective" sur des couples qu'on... ne connait pas encore en tant que notion à ce moment-là)

Je dis ça au hasard, est-ce que ça marcherait , par exemple ?
cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"

A propos de la définition ensembliste du couple et du produit cartésien, Bénabou, dans une conférence à propos des catégories visible sur le net, fait remarquer que définir un objet aussi banalement dénombrable que N x N fait intervenir un ensemble monstrueux, P(P(N)), dont on ne connaît même pas le cardinal ! (il fait part également, dans cette conférence, de son espoir de voir de son vivant établie une contradiction de ZF !)

Ah je suis content qu'il y ait au moins une personne qui donne des conférences officielles, qui ne passe pour un dingue et qui ait ce rêve.

Cependant, je ne connais pas ce Monsieur Benabou. Heureusement, pour son moral qu'il ne coitoie pas les experts ensemblistes. Eux aussi (j'en suis persuadé) à leur manière ils essaient (ils se cachent loool, c'est comme les physiciens théoriciens et les many world) mais alors ils y vontbcp plus molo.

Actuellement, l'actualité c'est de casser ce que Woodin a annoncé (sans le prouver) comme le plus fort axiome de grand cardinal qui soit (qu'il pronostique contradictoire):

sans l'axiome du choix: "il existe un plongement élémentaire de V dans V

(Il prétend qu'il voit comment il pourrait probablement le casser).

cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"

Christophe, le point commun est qu'elles sont toutes solutions du problème universel suivant. Etant donné deux ensembles A et B, on cherche un ensemble C et deux fonctions p : C -> A et q : C -> B telles que tout ensemble D, pour toutes fonctions g : D -> A et h : D -> B, il existe une unique fonction i : D -> C telle que poi=g et qoi=h.
On démontre que si (C', p', q') est une autre solution, alors il existe une unique bijection l de C vers C' telle que p'ol = p et q'ol=l.
Je ne crois pas que l'on puisse dire quelque chose de plus. Je n'ai pas encore regardé si ta solution en est vraiment une.

Benabou est un très grand théoricien des catégories et des topoi, on lui doit beaucoup de choses.

Merci pour l'information. J'espère qu'il sera comblé ce serait un sacré spectacle.

cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"

Je confirme que Jean Bénabou est un grand monsieur de la théorie des catégories. J'ai beaucoup appris en faisant ma thèse sous sa direction.

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