Ordinaux... relatifs ?

TigerFou · January 2011

Bonjour,

Bonne année à tous, pleine de bonheur et de belles mathématiques

Voici ma question, assez tordue : Peut-on parler de nombre ordinal relatif ?

Un ordinal est - ou caractérise à une bijection croissante près - un ensemble bien ordonné, alors qu'un cardinal est une classe d'ordinal minimal (qui existe d'après le bon ordre).
Si on appelle "ordinal relatif" un ensemble (totalement) ordonné mais pas bien ordonné (donc qui n'a pas de plus petit élément), on a il me semble un bon aperçu de l'ordre des entiers relatifs. En revanche on ne peut pas définir de "cardinal relatif" à partir des "ordinaux relatifs" puisqu'on a plus de bon ordre...

D'ordinaire, je sais que les entiers relatifs sont définis par quotient de $\mathbb N\times\mathbb N$ par une relation d'équivalence. Mais l'arithmétique sur les relatifs ainsi définie décrit bien les liens de cardinalité (naturels) entre deux ensembles bien ordonnés, et non les seules relations d'ordre.

Donc pour conclure, ça me semble crédible de présenter les choses ainsi mais je ne suis pas spécialiste de ces questions (loin de là). Qu'en pensez-vous ?

Merci pour votre aide.
Johann.

TigerFou · January 2011

Peut-être devrais-je préciser ma question formellement :

Peut-on voir l'ordre sur les entiers relatifs comme l'ensemble produit $\{0,1\}\times\mathbb N$ muni de l'ordre total (qui n'est pas un bon ordre) $(a,b)\leq_{\mathbb Z}(a',b') \Longleftrightarrow a<a'$ ou ($a=a'=1$ et $b\leq b'$) ou ($a=a'=0$ et $b\geq b'$) ?

Cordialement,
Johann

christophe c · January 2011

Faut avouer que ta question est très large, puisqu'on se demande quels buts plus précis, ensuite, on chercherait à atteindre.

Cashement, on peut faire avec tout ordre, même partiel, une construction similaire à celle qui fait passer de IN à IZ. On rajoute la possibilité d'écrire un signe + et un signe - et on ordonne comme tu le dis dans ton post numéro2.

Par contre, dans ton premier post, tu sembles vouloir saisir tous les ordres totaux, via "à isomorphisme près" une construction aussi canonique que celle qui choisit dans chaque classe de bons ordres un représentant canonique qui est un ordinal, et là on en est très très loin, il y a quand-même beaucoup d'ordres totaux aux multiples aspects.

Cela dit l'étude des classes d'isomorphisme pour les ordres totaux est un grand classique de la spécialité "théorie des modèles", si ça peut t'aider à fouiller un peu dans de la documentation. Par exemple tous les ordres totaux denses sans premiers ni derniers élements et qui sont dénombrables sont isomorphes (il n'y a donc qu'une seule classe pour eux, représentée de manière imagée par IQ par exemple)

TigerFou · January 2011

Bonsoir,

Merci pour ta réponse christophe.

A l'origine, je me demandais simplement pourquoi la distinction ordinal/cardinal que l'on fait avec les entiers naturels n'est pas plus générale...
Vouloir distinguer cardinaux et ordinaux pour les nombres relatifs, rationnels, ... et réels semble assez naturel puisque l'ordre (pas nécessairement le bon ordre de la définition classique pour les entiers naturels) qui caractérise les ordinaux est une propriété que l'on retrouve dans toute sous-structure d'un corps réel, qui est précisément ordonné.
La notion de cardinalité, elle, serait de plus associée à la structure algébrique en question (liée aux opérations et leur arithmétique).
Ta suggestion concernant la théorie des modèles est pertinente, je vais chercher un peu de ce côté (corps réels clos, corps ordonnés, etc.).

Si quelqu'un connait des ouvrages ou des articles précisément orientés sur cette question de la distinction ordinal/cardinal...

Cordialement,
Johann

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