Logique avec quantification

Bonjour

J'ai fait un exercice d'un livre mais je ne trouve pas le même résultat que le corrigé. Il n'y a pas d'explication dans le corrigé, juste la réponse, ainsi, j'aimerais en parler avec vous pour savoir où est mon erreur. De plus, certaines choses sont encore floues pour moi.

L'énoncé : Traduire et faire la négation des propositions puis ré-écrie le résultat en proposition équivalente

Phrase : Quelqu'un majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide pour ses devoirs

Je traduit la phrase de la sorte :

$\forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$

$M(x)$ : x majore en maths
$F(x,y)$ : x est ami avec y
$H(y)$ : y a besoin d'aide
(le livre étant en anglais, on utilise les lettres pour Friends et Help)

Donc après je fais la négation comme demandé et je ré-écris la proposition :

$\neg \forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (\neg M(x) \vee \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \neg \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \forall y \neg (F(x,y) \Rightarrow H(y)))$

La réponse du livre est la suivante :

$\exists x (M(x) \wedge \forall y (F(x,y) \Rightarrow \neg H(y)))$

Une autre chose me turlupine, j'ai remarqué qu'on doit avoir, pour le quantificateur $\forall$ une implication dans la proposition qui suit. Et pour le $\exists$, on a une conjonction. Dans mon livre cela n'est pas dit explicitement mais il en est toujours ainsi. Après tout, c'est vrai que ça a plus de sens comme ça, mais est-ce une règle générale ? Pour passer de l'avant dernière à la dernière ligne, j'ai changé mon $\wedge$ en $\Rightarrow$ car j'avais désormais un $\forall$ devant la proposition (ça donne plus de sens). Cette règle est-ce applicable toujours ?

Amicalement