Logique avec quantification

Bonjour

J'ai fait un exercice d'un livre mais je ne trouve pas le même résultat que le corrigé. Il n'y a pas d'explication dans le corrigé, juste la réponse, ainsi, j'aimerais en parler avec vous pour savoir où est mon erreur. De plus, certaines choses sont encore floues pour moi.

L'énoncé : Traduire et faire la négation des propositions puis ré-écrie le résultat en proposition équivalente

Phrase : Quelqu'un majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide pour ses devoirs

Je traduit la phrase de la sorte :

$\forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$

$M(x)$ : x majore en maths
$F(x,y)$ : x est ami avec y
$H(y)$ : y a besoin d'aide
(le livre étant en anglais, on utilise les lettres pour Friends et Help)

Donc après je fais la négation comme demandé et je ré-écris la proposition :

$\neg \forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (\neg M(x) \vee \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \neg \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \forall y \neg (F(x,y) \Rightarrow H(y)))$

La réponse du livre est la suivante :

$\exists x (M(x) \wedge \forall y (F(x,y) \Rightarrow \neg H(y)))$

Une autre chose me turlupine, j'ai remarqué qu'on doit avoir, pour le quantificateur $\forall$ une implication dans la proposition qui suit. Et pour le $\exists$, on a une conjonction. Dans mon livre cela n'est pas dit explicitement mais il en est toujours ainsi. Après tout, c'est vrai que ça a plus de sens comme ça, mais est-ce une règle générale ? Pour passer de l'avant dernière à la dernière ligne, j'ai changé mon $\wedge$ en $\Rightarrow$ car j'avais désormais un $\forall$ devant la proposition (ça donne plus de sens). Cette règle est-ce applicable toujours ?

Amicalement



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.

Bonjour,
Sans aller très loin, il me semble qu'il y a un (petit) os dans la négation de la conjonction~:
$\exists x (M(x) \wedge \neg \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
Pourrait s'écrire~:
$\exists x (M(x) \wedge \forall y(\neg F(x,y) \vee \neg H(y)))$ qui peut se remplacer, si on y tient, par une implication.

J'ai la flemme de chercher le lien, j'ai déjà me semble-t-il répondu à des posts dans ce genre dans le passé:

Tu procèdes naturellement et en toute simplicité!

Quelqu'un majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide pour ses devoirs
Quelqu'un frappe à la porte.

$\exists x: x$ frappe à la porte.
$\exists x: x$ qui est majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide
$\exists x: ((x$ est majorant en maths) et (x a un ami qui a besoin d'aide))

(x a un ami qui a besoin d'aide)
$\exists y: $ (x est ami avec y et y a besoin d'aide)

$\exists x: ((x$ est majorant en maths) et [ $\exists y: $ (x est ami avec y et y a besoin d'aide) ])

$\exists x:$ ((x est majorant en maths) et [ $\exists y: $ (x est ami avec y et y a besoin d'aide) ])

$\exists x:$ (M(x) et [ $\exists y: $ (F(x,y) et H(y)) ])

signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi

En effet Braun, j'ai refait le truc et j'avais oublié une négation devant $H(y)$ lorsque j'ai introduit ma disjonction. Maintenant, j'arrive bien au bon résultat.

christophe chalons, la phrase en français était très ambiguë, mais il s'agissait bien de désigner tout les majorants en maths, donc j'ai mis le $\forall$.
Ce quelqu'un voulait en fait dire qui que ce soit (en VO c'était anyone). La traduction était un peu maladroite, désolé...

Merci de votre patience.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par spin.

Bonne nuit,

@ $\C\oplus\C$: