Logique avec quantification
Bonjour
J'ai fait un exercice d'un livre mais je ne trouve pas le même résultat que le corrigé. Il n'y a pas d'explication dans le corrigé, juste la réponse, ainsi, j'aimerais en parler avec vous pour savoir où est mon erreur. De plus, certaines choses sont encore floues pour moi.
L'énoncé : Traduire et faire la négation des propositions puis ré-écrie le résultat en proposition équivalente
Phrase : Quelqu'un majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide pour ses devoirs
Je traduit la phrase de la sorte :
$\forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$M(x)$ : x majore en maths
$F(x,y)$ : x est ami avec y
$H(y)$ : y a besoin d'aide
(le livre étant en anglais, on utilise les lettres pour Friends et Help)
Donc après je fais la négation comme demandé et je ré-écris la proposition :
$\neg \forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (\neg M(x) \vee \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \neg \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \forall y \neg (F(x,y) \Rightarrow H(y)))$
La réponse du livre est la suivante :
$\exists x (M(x) \wedge \forall y (F(x,y) \Rightarrow \neg H(y)))$
Une autre chose me turlupine, j'ai remarqué qu'on doit avoir, pour le quantificateur $\forall$ une implication dans la proposition qui suit. Et pour le $\exists$, on a une conjonction. Dans mon livre cela n'est pas dit explicitement mais il en est toujours ainsi. Après tout, c'est vrai que ça a plus de sens comme ça, mais est-ce une règle générale ? Pour passer de l'avant dernière à la dernière ligne, j'ai changé mon $\wedge$ en $\Rightarrow$ car j'avais désormais un $\forall$ devant la proposition (ça donne plus de sens). Cette règle est-ce applicable toujours ?
Amicalement
J'ai fait un exercice d'un livre mais je ne trouve pas le même résultat que le corrigé. Il n'y a pas d'explication dans le corrigé, juste la réponse, ainsi, j'aimerais en parler avec vous pour savoir où est mon erreur. De plus, certaines choses sont encore floues pour moi.
L'énoncé : Traduire et faire la négation des propositions puis ré-écrie le résultat en proposition équivalente
Phrase : Quelqu'un majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide pour ses devoirs
Je traduit la phrase de la sorte :
$\forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$M(x)$ : x majore en maths
$F(x,y)$ : x est ami avec y
$H(y)$ : y a besoin d'aide
(le livre étant en anglais, on utilise les lettres pour Friends et Help)
Donc après je fais la négation comme demandé et je ré-écris la proposition :
$\neg \forall x (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (M(x) \Rightarrow \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x \neg (\neg M(x) \vee \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \neg \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
$\exists x (M(x) \wedge \forall y \neg (F(x,y) \Rightarrow H(y)))$
La réponse du livre est la suivante :
$\exists x (M(x) \wedge \forall y (F(x,y) \Rightarrow \neg H(y)))$
Une autre chose me turlupine, j'ai remarqué qu'on doit avoir, pour le quantificateur $\forall$ une implication dans la proposition qui suit. Et pour le $\exists$, on a une conjonction. Dans mon livre cela n'est pas dit explicitement mais il en est toujours ainsi. Après tout, c'est vrai que ça a plus de sens comme ça, mais est-ce une règle générale ? Pour passer de l'avant dernière à la dernière ligne, j'ai changé mon $\wedge$ en $\Rightarrow$ car j'avais désormais un $\forall$ devant la proposition (ça donne plus de sens). Cette règle est-ce applicable toujours ?
Amicalement
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Réponses
Sans aller très loin, il me semble qu'il y a un (petit) os dans la négation de la conjonction~:
$\exists x (M(x) \wedge \neg \exists y(F(x,y) \wedge H(y)))$
Pourrait s'écrire~:
$\exists x (M(x) \wedge \forall y(\neg F(x,y) \vee \neg H(y)))$ qui peut se remplacer, si on y tient, par une implication.
Tu procèdes naturellement et en toute simplicité!
Quelqu'un majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide pour ses devoirs
Quelqu'un frappe à la porte.
$\exists x: x$ frappe à la porte.
$\exists x: x$ qui est majorant en maths a un ami qui a besoin d'aide
$\exists x: ((x$ est majorant en maths) et (x a un ami qui a besoin d'aide))
(x a un ami qui a besoin d'aide)
$\exists y: $ (x est ami avec y et y a besoin d'aide)
$\exists x: ((x$ est majorant en maths) et [ $\exists y: $ (x est ami avec y et y a besoin d'aide) ])
$\exists x:$ ((x est majorant en maths) et [ $\exists y: $ (x est ami avec y et y a besoin d'aide) ])
$\exists x:$ (M(x) et [ $\exists y: $ (F(x,y) et H(y)) ])
christophe chalons, la phrase en français était très ambiguë, mais il s'agissait bien de désigner tout les majorants en maths, donc j'ai mis le $\forall$.
Ce quelqu'un voulait en fait dire qui que ce soit (en VO c'était anyone). La traduction était un peu maladroite, désolé...
Merci de votre patience.
@ $\C\oplus\C$: (:D