Analyse Non Standard
Bonsoir,
Avant tout, Quelle est la situation actuelle de l'Analyse Non Standard en France. ?
On m'a dit que au départements des Mathématiques à Paris on déteste les Non Standardiste. J'aimerais savoir si c'est vrai et bien sûr pourquoi si c'est le cas.
Avant tout, Quelle est la situation actuelle de l'Analyse Non Standard en France. ?
On m'a dit que au départements des Mathématiques à Paris on déteste les Non Standardiste. J'aimerais savoir si c'est vrai et bien sûr pourquoi si c'est le cas.
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Réponses
Mais pour info je peux quand même dire un truc : presque personne ne la connait, elle a été récupérée par des pédagos à un moment, ce qui a probablement eu le don d'agacer les chercheurs (surtout quand les pédagos n'utilisaient que le seul axiome pas franchement jouissif (l’idéalisation) et parlaient sans savoir, enfin bref ...
Le TRUC PRINCIPAL qu'il faut dire est surtout que l'ANS a été attaquée sur TRÈS EXACTEMENT SON POINT FORT qui a été considéré comme un défaut (il s'agit donc d'un big malentendu en fait) : sa conservativité au dessus de ZFC.
Les uns disaient "c'est de la garantie en béton",
les autres disaient "elle ne démontrera jamais rien de plus que ZFC" (c'est ce théorème la conservativité)
Et finalement personne n'a jamais vraiment voulu regarder le taux de raccourcissement des preuves et leur coté intuitif. Mais le temps de la science est un temps long de toute façon et en ce moment la crise ayant tendance à rejeter l'infini, elle n'a pas le vent en poupe.
Mais quand on voit que même les catégories arrivent à fédérer un peu de chercheurs, nul doute que l'ANS fera un jour une ré-entrée importante, faut juste attendre quelques articles de quelques uns qui s'en servent, d'où le temps long vue leur rareté
Il n'y a pas que la France et Paris qui comptent !
Par exemple:
A.G. Aksoy & M.A. Khamsi Nonstandard methods in fixed point theory Springer ed. (1990)
Keith R. Wicks Fractals and hyperspaces Springer ed. (1991)
Je ne dis pas qu'ils sont bons, mais ils existent ...
Bien cordialement.
> On a donc France = Paris ?
Je me suis sans doute mal exprimé on a bien France > Paris . Toutefois on ne m'a jamais parlé du théorème de conservativité. Ainsi je comprends mieux ceux qui disent que la IST est une extension inutile de ZFC. Je vous remercie.
Cependant un ami à moi, sous la direction de son encadreur qui est notamment un ancien Non Standardiste, s'en est servi pour arriver à élaborer un algorithme tout à fait simple et original pour cartographier, localement, toute sorte de quadrique de l'espace à partir de n'importe quel point régulier de la surface. Il a même obtenu des cartes locales disons intéressantes qui lui ont permit de trouver une formule directe pour le calcul des courbures normales sans avoir recours à la théorie de Gauss. En voyant ça, j'ai été séduit par cette logique tout à fait nouvelle pour moi, qui permet de manipuler rigoureusement les infiniment petits !
Enfin peut être qu'un jour quelqu'un arrivera à démontrer l'hypothèse de Riemann avec des méthodes Non Standard.
Merci encore pour vos avis.
[Friedrich Gauss (1777-1855) prend toujours une majuscule. AD]
S
Y a il eu des résultats encourageants sur l'ANS en théorie de la preuve?
Autre question: puisque c'est une extension consevative, elle ne démontrera rien de nouveau dans le langage de ZFC. Mais y a il, peut-il y avoir, des théorèmes d'ANS "pure" (qui ne se ramènent pas à un théorème exprimé dans ZFC) interessants?
Bien que je n'en soie pas l'auteur, est-il possible de le déplacer en "fondements et logique"?
Merci.
[Voilà qui est fait. Bruno]
1) Je ne connais pas les résultats récents sur la vitesse de preuve comparée, mais je parie à 10 contre 1 que ça n'est pas étudié
2) [small]Mais y a il, peut-il y avoir, des théorèmes d'ANS "pure" (qui ne se ramènent pas à un théorème exprimé dans ZFC) interessants?[/small] Oui bien sur, il y en a plein, mais comme tu rajoutes "intéressant", hum hum, je ne sais trop quoi répondre :-D
Une précision quand-même: tout énoncé clos borné (par des paramètres standards) écrit avec "std" est équivalent à un énoncé sans "std", en suivant l'astuce de traduction suivante:
$\forall x\exists^s y[...]$
> $\exists^{fs} F \forall x\exists y\in F$
$\forall^s \exists^s y[R(x,y)]$
>$\exists^s f \forall ^s x [R(x,f(x))] $
De même, soit $R(u,x_1,..,x_n)$ une relation contenant comme seules var libres les $u,x_i$ et écrite avec le mot $std$. Il existe (via un procédé de traduction simple et automatique) un énoncé écrit sans "std" de la forme $S(u,v,w,x_1,..x_n)$ vérifiant $$\forall x_1,..,x_n,u: [(R(u,x_1,..)\iff (\exists^s v\forall^s w S(u,v,w,x_1,..))]$$
(Bon j'exagère un poil qui est sans aucune importance pour le contexte, je te détaillerai ça quand je serai moins flemmard)
Précision: $\forall ^s x: A$ veut dire $\forall x: std(x)\to A$ et $\forall ^{fs} $ veut dire "pour tout x fini et standard..."
@Shah: histoire de "t'exciter", sache qu'il existe (enfin pour les bons univers) une relation unaire $R(x)$ à une variable libre (écrite avec le prédicat standard) telle que pour tout énoncé clos $e$ écrit sans le prédicat $std$, on a $R(e)\iff e$ est vrai.
Autrement dit l'ensemble vérité de l'univers est définissable avec "std". Ca ne contredit pas ce que j'ai dit au dessus à cause de petits détails que j'ai volontairement omis..
[P est vraie] = [il existe un inaccessible E, qui contient tous les standards et tel que pour toute formule $R(a,x)$ standard, avec un paramètre standard $a$ est une variable libre, s'il existe dans $E$ un $t$ tel que $R(a,t)$ alors il en existe un qui est standard, et un tel inaccessible vérifie $P$]