Propriété caractéristique vs définition

alansankar777
alansankar777
dans Fondements et Logique
Bonjour,

La question peut paraître anodine (et pas nouvelle très certainement), mais j'aimerais avoir un statut clair et définitif de la part d'expert(e)s :

pour un objet mathématique exactement définit par sa définition (c'est le cas de le dire je n'ai pas su éviter la redondance) il peut exister une propriété caractéristique qui émerge de cette définition.
On la dit "caractéristique" car elle est vraie pour cet objet là et uniquement celui-là.
Ne pourrait-on pas alors (en théorie) remplacer ou mieux "permuter" définition initiale et propriété caractéristique.

D'avance merci :)

ps : j'ai en tête le cas du parallélogramme "Quadrilatère non croisé ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux" et "Quadrilatère non croisé dont les diagonales se coupent en leur milieu"
ou de la médiatrice "Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu" et "Ensemble des points équidistants à chacune des extrémités de ce segment".

Est-ce pour des raisons didactiques/historiques qu'un énoncé fait office de définition et l'autre de propriété caractéristique ?

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Est-ce pour des raisons didactiques/historiques qu'un énoncé fait office de définition et l'autre de propriété caractéristique ?

    Oui et non. En maths, ce qui compte réellement, c'est ce qui est prouvé. Les définitions ne sont que des abréviations. quand deux propriétés sont équivalentes, et qu'on le prouve, ça donne juste un théorème qui s'ajoute au grand réservoir de découvertes scientifiques.

    Une définition est une suite de caractères. Elle n'a pas de statut "intra-maths". Les maths ne produisent que des théorèmes et les définitions sont pour économiser de l'encre.

    D'un point de vue "institutionnel", elles sont surtout choisies pour que tout le monde parle le même langage.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • alansankar777
    alansankar777
    Super ! Merci pour ta réponse rapide .
    Ce que tu dis est intéressant et éclaire bien ma question.
    Je retiens entre autres "D'un point de vue "institutionnel", elles sont surtout choisies pour que tout le monde parle le même langage."
    (ça peut expliquer que dans certains pays les noms de certains théorèmes sont différents, exemple Allemagne et France pour notre "Théorème de Thalès").
  • Jer anonyme
    Jer anonyme
    [Ce que dit Christophe] est discutable. Le fait de formuler des définitions pertinentes est une partie hautement non triviale de l'activité. Le fait par exemple que dans une géométrie axiomatisée par l'algèbre linéaire, le théorème de Pythagore soit une trivialité, cela ne dit pas qu'il n'est pas intéressant mais qu'un travail de pensée antérieur a porté ses fruits.

    [Pour ces questions, le livre Preuves et réfutations d'Imre Lakatos doit être une référence intéressante mais je ne l'ai pas lu.]

    [Edit : ce qui est entre crochets.]
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour.
    j'ai en tête le cas du parallélogramme "Quadrilatère non croisé ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux" et "Quadrilatère non croisé dont les diagonales se coupent en leur milieu"

    D'abord, non croisé est superflu :) ; ensuite, je n'ai pas le point de vue qusi philosophique de Christophe (oui et non...). En fait on démontre que certains énoncé caractérise un objet. Dans ces conditions on choisit l'un de ces énoncés pour définir l'objet et les autres sont dits caractéristiques.

    Voici un exemple : soit E un espace vectoriel sur un corps K, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

    l'ensemble V de vecteurs de E est un système libre maximal pour l’inclusion ;

    l'ensemble de V est un système générateur générateur minimal pour l’inclusion ;

    tout élément de l'espace est combinaison linéaire d'une unique famille d’éléments de V ;

    L'ensemble V est un générateur libre de E.

    Généralement on choisit le dernier énoncé comme définition d'une base et on utilise les autres autres énoncés pour montrer qu'une partie V de E en est une base.

    Bruno
  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Je fais pas mal d'aide sur les forums. Et une des questions que je pose fréquemment est: Comment est défini le bidule?

    Exemple: Si je trouve un exo en 10 questions pour étudier la suite $(1+(1/n))^n $ et un autre pour étudier la série $\sum(1/n!)$ il est clair que la définition de $e$ n'a pas été la même dans les deux cas, et on trouve souvent des variantes.

    Tout ça pour dire que le choix d'une définition, dépend de ... l'enseignant? le bouquin? le niveau? la météo? Bien sur on essaie quand même qu'il y ait pas mal de gens qui savent de quoi on parle!

    Personnellement quand j'enseignais, je commençais par "Les propriétés suivantes sont équivalentes (par exemple celles citées par Bruno)" On appelle "comme ça" quelque chose qui les vérifie.
  • alansankar777
    alansankar777
    Merci Magnolia et Bruno pour vos contributions :)
    J'avais précisé "non croisé" car j'avais en tête, pour la liste de propriétés caractéristiques (équivalentes) du parallélogramme : "Tout quadrilatère ayant un centre de symétrie." (Après on rentre dans les petits détails "langage/logique" du genre parler de diagonales d'un quadrilatère croisé a-t-i un sens, d'où la recherche de la définition de "diagonales" ...).

    La liste des propriétés équivalentes est en effet une bonne alternative au fait de poser une définition "arbitraire".
    (mais à un moment donné, il faut bien poser quelques termes, des "atomes" d'objet ou concept c'est ce qui doit correspondre aux axiomes ??
    Par exemple qu'est-ce que la définition d'un point ou d'une droite ? )
    Je pense, avec le peu de recul que j'ai et mon bagage relatif en math, que l'aspect historique est fort dans l'attribution du statut de "définition" pour un objet mathématique et que celle/celui qui bâtit une théorie et en a la primeur peut se permettre de définir un objet.
    Pour le nombre Pi, la définition "officielle" est toujours "rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre" me semble-t-il bien que les progrès de l'analyse lui ai donné une définition indépendante de toute considération géométrique (dîtes-moi svp si je me trompes (!) )
    Pour ce qui est de l'enseignement en collège/lycée il semblerait que ce soit les auteurs du BO qui déterminent ce qui doit être annoncé comme une définition ou comme une propriété caractéristique.

    J'attends vos avis sur tout ça , et d'avance merci :)
  • Bruno
    Bruno
    Juste une remarque
    alansankar777 : a écrit:
    Pour le nombre Pi, la définition "officielle" est toujours "rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre"

    Ce n'est pas une excellente définition de $\pi$ car elle n'est valable que pour la géométrie euclidienne ; donc on renverse plutôt la vapeur : le plan complexe est un excellent modèle naturel de plan vectoriel euclidien et nous donne un cercle, l'ensemble des complexes de module $1$ ; d'où la définition de $\pi$ à partir des périodes des fonctions sinus et cosinus.

    Bruno
  • alansankar777
    alansankar777
    Merci B-)
  • Juliano Dellamuerte
    Juliano Dellamuerte
    Bonjour,

    je suis d'accord avec vous tous. Le concept de définition est difficile à cerner.
    J'en veux pour preuve la définition d'un groupe, ou même celle de droite.
    Je pense que les mathématiciens travaillent sur un objet en ayant une idée intuitive de leur objet.
    Ce n'est que bien plus tard qu'une définition formelle émerge.

    Pour reprendre le premier message, en fac, on nous donne déjà la définition formelle en faisant fi de l'histoire de l'émergence du concept.


    Crdt,
    J
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