application vide

mehdi · September 2014

bonjour,

Soit E un ensemble

1. quelle est la définition d'une application vide ?
2. Comment définit-on l'application $ f : \emptyset \longrightarrow E ? $ est-elle injective ?. Si oui comment ?

3. Est ce que les égalités $ 0! = 1$ et $ 0^{0} = 1 $ ont une démonstration ou bien par convention?

merci pour les réponses

Foys · September 2014

Qu'est-ce qu'une application entre ensembles? Qu'est-ce que l'ensemble vide?
Un bon conseil: en maths toujours travailler avec des définitions précises; fuir les considérations ontologico-vaseuses comme la peste.

Professeur Rectangle · September 2014

Par convention ou par définition, ça veut dire la même chose.
Quelque soit $n$, la valeur de $n!$, c'est une convention/définition. Le zéro ne fait pas exception.

FrançoisD · September 2014

Salut,

autant je connais des démos niveau TS de $0^0=1$ autant je suis souvent dubitatif devant $\emptyset^{\emptyset}\neq\emptyset$... (c'est le Tiers-Exclu)

Je plussoie les deux commentaires ci-dessus : examine les définitions que tu connais et définir une application de l'ensemble vide dans un truc n'est pas sorcier (c'est une injection canonique mais il faut se méfier un brin des quantificateurs) et tout ceci est et reste une histoire d'axiomes / définitions selon le niveau logique (j'entends "profondeur logique" et non niveau universitaire) auquel tu souhaites te placer...

Amicalement,

F.D.

samok · September 2014

[small]Bonjour FrançoisD,

je veux bien voir une démonstration de $0^0=1$.[/small]

S

db · September 2014

Et moi je veux bien voir le rapport entre $\emptyset^\emptyset \not= \emptyset$ et le tiers-exclu.

Philippe Malot · September 2014

Bonjour,

Si l'on revient à la définition d'une application en terme de relation binaire, $f\subseteq A\times B$ est une application de $A$ dans $B$ si pour tout élément $x$ de $A$, il existe un unique élément $y$ de $B$ tel que le couple $(x,y)$ appartienne à $f$. Dans notre cas, on est donc confronté au produit cartésien $\emptyset\times E$, qui est l'ensemble vide, et on se retrouve avec l'unique possibilité $f=\emptyset$, l'application vide.
Elle est injective, car si elle ne l'était pas, il existerait un couple d'éléments distincts appartenant à l'ensemble vide dont les images seraient égales.
Or, l'ensemble vide n'a pas d'éléments. Donc un tel couple n'existe pas et $f$ est injective.

FrançoisD · September 2014

Bonjour,

$0^0=1$ est équivalent à $\emptyset^{\emptyset}=\{\text{App Vide}\}$, mais niveau TS on peut le faire avec des limites, non ?

Moi aussi j'aimerais voir le lien avec le tiers exclu, René Cori me l'avait expliqué lors d'un stage qu'il animait mais ma mémoire est en berne et ma compréhension du truc est inexistante !
Amicalement,
F.D.

GaBuZoMeu · September 2014

Il est probable alors que ta mémoire te joue aussi un tour sur l'énoncé qui a à voir avec le tiers exclus, parce que le tiers exclus n'intervient en aucune façon dans le fait que $\emptyset^\emptyset$ est un ensemble à un élément.

db · September 2014

Je ne vois pas pourquoi tu es dubitatif devant $\emptyset^{\emptyset} \not= \emptyset$ et je ne crois pas qu'il y ait le moindre rapport avec le tiers exclu. Se peut-il que ta mémoire te joue des tours? Dans toute catégorie cartésienne fermée ayant un objet initial $0$, pour tout objet $A$, on a que $A^0$ est un objet terminal, et donc pas d'histoire de tiers exclu ici. En effet, pour tout $B$, $B \times 0$ est initial i.e. il y a une unique flèche de $B \times 0$ vers $A$ et donc une unique flèche de $B$ vers $A^0$.

Steven Neutral · September 2014

Dans Bourbaki $n^p$ est le cardinal de ${\{1, \ldots, n\}}^{\{1, \ldots, p\}}$ par définition, quelqu'un m'a dit.

gerard0 · September 2014

FrançoisD a écrit:

niveau TS on peut le faire avec des limites, non?

Peu probable, vu que 0⁰ est une forme indéterminée. C'est bien ce qui fait que 0⁰=1 n'est pas une convention systématique, dans certaines circonstances ce serait dangereux.

Cordialement.

FrançoisD · September 2014

Bonsoir,

$0^0$ peut s'obtenir via $\exp(x\ln(x))$ en 0 et $x\ln(x)$ en 0 est une indétermination qui se lève gentiment.

Je n'ai pas croisé sur ma route de cas où $0^0=1$ était mis en défaut...

Quant à ma mémoire... j'ai oublié ce que je voulais en dire :)o

Amicalement,

F.D.

Siméon · September 2014

@FrançoisD : tu peux prendre par exemple $x^{h(x)}$ avec $h(x) = (-\ln(x))^{-1/2}$.

BerU · September 2014

François D, $0^0 = 0 \ln(0) = 0 \times -\infty$ tu dis bien à tes élèves que c'est indéterminé non ?

samok · September 2014

\begin{mort de lol}
Personne ne m'appartient.
(Aucune personne n'appartient à moi).
Suis-je l'ensemble vide ?
C'est un peu le keutru qui me gêne dans la théorie où tout est ensemble (mais que tout n'est pas un ensemble)
mais comme dirait l'autre : on naît ensemble et c'est tout.
\end{mort de lol}
S

ev · September 2014

Suis-je l'ensemble vide ?

Non, tu es Bernard Lavilliers !

Bonne nuit,

e.v.

Bruno · September 2014

samok a écrit:

où tout est ensemble (mais que tout n'est pas un ensemble)

Que se passe-t-il dans ta (très) petite tête ? Tu préfères les langages à plusieurs types d'objets (second ordre) ?

Bruno

samok · October 2014

sieur Bruno,

l'expression "petite tête" quand je l'utilise est juste une expression d'humilité, si tu l'as perçue plutôt négativement, désolé.
Dans la citation, j'étais en mode "mort de lol" alors pourquoi cadrer cela si précisément avec des types que je ne connais pas (ni Dave ni Adam).

S

Bruno · October 2014

J'avais effectivement mal pris ton expression ; dont acte.

Si c'est les langages à plusieurs types d'objets qui t'inquiètent, il s'agit "simplement" de langages dans lesquels certaines variables représentent des ensembles, par exemple, et d'autres des "éléments" des ensembles. Plus clairement, quand tu parles d'espaces vectoriels ou de géométrie, on utilise naturellement les langages à plusieurs types d'objets : point, droite plan par exemple ou en algèbre linéaire les vecteurs et les scalaires. L'inconvénient, c'est que cela complique singulièrement les acquis logiques pour le langage des prédicats du premier ordre.

Bruno

FrancoisD_au_bahut1 · October 2014

@Béru: oui bien sûr mais

1. j'évite d'écrire $0\times\infty$ au tableau

2. ce n'est pas parce qu'on a une F.I. qu'il faut s'arrêter là? sinon les points volent bas dans les copies :-S

Bref, je n'ai pas bien compris ta remarque (:P)

Amicalement,

F.D. qui s'emm... au bahut

gerard0 · October 2014

FrançoisD,

je n'ai pas tout compris à la remarque de Béru, mais le fait que 0⁰ soit une forme indéterminée (donc que la limite peut valoir différentes valeurs) montre bien qu'on ne peut pas s'appuyer sur des limites de cette forme pour donner une convention de valeur.

Cordialement.

NB : j'écrivais $0\times \infty$ au tableau, en rappelant à chaque fois qu'il s'agissait d'une mnémonique, pas d'un nombre (donc jamais de = avant).

FrançoisD · October 2014

Salut,

pour ma part j'ai opté pour le vocabulaire "brouillon" et interdiction sur les copies si c'est de la même couleur que le résultat. Pourquoi leur interdire les gribouillis? après tout si le jour du bac ils font un bon brouillon, c'est un bon début, après il faut filtrer 8-)

Sinon, je ne vois pas en quoi le composé vide du neutre additif peut être autre que le neutre multiplicatif? je ne suis toujours pas convaincu par le débat sur ce fil...

Amicalement,

F.D.

PS:@Béru : $0^0=exp(0\times-\infty)$ non? :-P

gerard0 · October 2014

" je ne vois pas en quoi le composé vide du neutre additif peut être autre que le neutre multiplicatif?"
Pourquoi serait-il cela ? Si j'ai bien compris cette phrase tarabiscotée.

Les réponses sur l'application vide et les conventions sur 0! (convention sans problème) et 0⁰ (convention locale, pas utilisables dans certains cas, comme les limites) sont claires. C'est toi qui as affirmé qu'on pouvait démontrer la pertinence de 0⁰=1 en terminale avec les limites, alors justement que 0⁰ n'a pas de valeur dans ce domaine. Tu l'enseignes bien, j'espère, ou en tout cas, j'espère que tu n'apprends pas à tes élèves que si f(x) et g(x) tendent vers 0, f(x)^g(x) tend vers 1.

Cordialement.

FrançoisD · October 2014

Salut,

non, je n'enseigne rien de tel à mes élèves, la limite en 0 de $x^x$ figurait dans les programmes quand j'ai passé le bac (annales 0 de 1995 pour al série S!!!),

quant à ma phrase tarabiscotée, c'est celle que l'on m'a enseignée en prépa (en ces termes), et, même en relisant ce fil, je ne vois pas où la "convention" $0^0=1$ est mise en défaut?

Merci Siméon pour ton exemple!!!

En même temps, si je dormais je dirais sûrement moins de conneries 8-)

Amicalement,

F.D.

PS: que quelqu'un me dise si mon ton est agressif car dormir 3h / nuit depuis bientôt 3 mois me rend un peu soupe au lait

Nîmes-man · October 2014

FrançoisD a écrit:

je ne vois pas où la "convention" 0^0=1 est mise en défaut

Je crois que gerard0 exprime simplement dans son rude patois qu'il est chagrin que l'application $(x,y)\mapsto x^y$ ne soit pas continue (mais il a compris qu'on ne la rendrait pas continue en changeant la valeur de $0^0$).

gerard0 · October 2014

Non, FrançoisD,

ton ton n'est pas agressif. Tout au plus, ta fatigue se sent dans ta difficulté à saisir de quoi parlent tes interlocuteurs.

Bon courage !