Démonstration du binôme

Bonjour,

La question est abordée par Pascal dans Divers usages du triangle arithmétique dont le générateur est l'unité dont la quatrième partie traite de l'«Usage du triangle arithmétique pour trouver les puissances des binomes et des apotomes». Voici sa conclusion dans la célèbre édition de Lafuma (P[small]ASCAL[/small], Œuvres complètes, Éditions du Seuil, Paris, 1963, p. 63) :

Je ne donne point la démonstration de tout cela, parce que d'autres en ont déjà traité, comme Hérigone, outre que la chose est évidente d'elle-même.

On peut consulter sur le site Gallica de la BnF l'ouvrage original : B. P[small]ASCAL[/small], Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière, Guillaume DDesprez, Paris 1645.

L'ouvrage est accessible par ce lien ; je joins le fac-simile de la conclusion.

Tout dépend ce que tu appelles "théorème du binôme". Si tu ne l'énonces pas, il est difficile de répondre, puisqu'il y a une version évidente qui ne nécessite pas de démonstration (qui est la tautologique suivante):

$$(a+b)^n=\sum_{(i,j)\in OK} Coef(i,j)a^ib^j$$

où $Coef(i,j)$ désigne le nombre de fois que le monôme $a^ib^j$ apparait quand on développe $(a+b)^n$, c'est à dire le nombre de parties de $n$ qui sont de cardinal $i$, OK étant l'ensemble des couples $(i,j)\in n^2$ tels que $i+j=n$

Le calcul de $Coef(i,j)$ peut être vu comme faisant partie (ou ne faisant pas partie) d'un truc qui s'appelle "théorème du binôme".

Comme le dit christophe c, tout dépend ce que l'on met dans le résultat à démontrer.

Ce message a été l'occasion pour moi de me replonger dans les textes mathématiques de Pascal que j'avais étudié il y a une quarantaine d'années pour les présenter à un public d'agrégatifs de lettres.

1. Traité du Triangle Arithmétique

Le triangle arithmétique est défini comme une suite double \({(t_{m,n})}_{(m,n)\in\N^2}\) soumise à la seule condition :
\[\forall(m,n)\in\N^{*2}\qquad t_{m,n} = t_{m-1,n}+t_{m,n-1}.\]

Edit : corrigé d'après l'indication de Siegfried.

Les propriétés des coefficients du triangle sont établies par des récurrences non formalisées, et ne concernent que des formules liant entre eux les coefficients \(t_{m,n}\)

Le générateur \(t_{0,0}\) du triangle est un nombre quelconque et Pascal ne remarque à aucun moment la dépendance linéaire des éléments du triangle en fonction de ce générateur.

2. Usage du Triangle Arithmétique pour les Combinaisons

Pascal établit comment les problèmes usuels de dénombrement utilisant des combinaisons de \(p\) objets parmi \(n\) peuvent être résolus grâce au triangle arithmétique dont le générateur est l'unité : il fait ici le lien entre les éléments \(t_{m,n}\) du triangle et les nombres \(\binom{n}{p}\) de combinaisons

3. Usage du Triangle Arithmétique pour trouver les puissances de Binomes & des Apotomes

Pascal se borne ici à rappeler des résultats «classiques et évidents» : l'exposé est peut-être plus clair chez Hérigone, mais cela se résume à remarquer que le tableau des coefficient des termes \(a^mb^n\) dans le développement de \((a+b)^{m+n}\) suit la règle de construction du triangle arithmétique pour en déduire que le développement du binôme est :
[(a+b)^{m+n}=t_{m,n}a^mb^n.\]

4. De numerorum continuorum productis, seu, de numeris qui producuntur ex multiplicatione numerorum serie naurali procedentium

Pascal étudie ici les produits de nombres entiers consécutifs, que l'on appelait naguère les nombres \(A_n^p\) d'arrangements de \(n\) objets \(p\) à \(p\).

5. Combinationes

Pascal revient sur les nombres de combinaisons \(\binom{n}{p}\) pour lesquels il cherche une détermination n'utilisant pas le triangle arithmétique ; il obtient l'expression de \(\binom{n}{p}\) comme quotient de deux produits de nombres entiers consécutifs, l'équivalent de l'expression moderne en terme de factorielle.

Mais Pascal ne relie à aucun moment cette expression des coefficients \(\binom{n}{p}\) aux puissances du binôme.

Oui c'est ça : Pascal étudie les coefficients du triangle arithmétique pour eux-mêmes, puis il les relie d'une part au nombre de combinaisons, d'autre part au développement du binôme.
Il revient ensuite sur les combinaisons pour en décrire l'expression sous la forme aujourd'hui usuelle \(\dfrac{n(n-1)(n-2)\dotsm(n-p+1)}{1.2.3\dotsm p}\).

Pascal connaît bien évidemment la transitivité de l'égalité, et on ne peut pas imaginer qu'il n'ait pas vu la possibilité d'exprimer les coefficients du triangle sous cette dernière forme, mais il n'en fait jamais état dans ses écrits.

Il est toujours hasardeux d'interpréter la pensée des anciens, mais je pense que Pascal n'aurait pas accordé une grande importance à la formule du binôme telle que nous la concevons aujourd'hui : pouvoir lire immédiatement les coefficients du binôme dans le triangle arithmétique devait lui paraître une méthode infiniment supérieure à l'expression utilisant des produits d'entiers consécutifs, produits qu'il n'avait pas les moyens de noter de façon efficace.

En général, on n'explique pas le cheminement de sa pensée : il ne faudrait pas qu'un autre en profite pour obtenir des résultats par ce moyen.

A la fin du traité des combinaisons (IX. Combintationes de l'édition Desprez), Pascal explique que la formule des combinaisons par quotient de produits d'entiers consécutifs lui a été communiquée par M. de Ganières, mais sans démonstration. Pascal reconnaît avoir été effrayé par la difficulté du problème, mais être finalement parvenu à une démonstration via le triangle arithmétique. Il n'explique pas pour autant sa démarche.

Je n'ai retrouvé aucun renseignement sur M. de Ganières dans mes papiers.

C'est super toutes ces précisions et tous ces commentaires historiques sieur gb, merci.

S