Crash gravitationnel
Bonjour
Je lis dans le "Pour la science" de mai (sur les matrices aléatoires) l'anecdote suivante.
D'Alembert et Euler ont tous deux résolu "faussement" le problème d'une particule qui s'écrase dans un champ de force gravitationnel.
On résout donc le système :
$y'' = - \frac{1}{y^2}$, avec
$y(0)=1$, $y'(0)=0$
On écrit $y''\cdot y' = -\frac{y'}{y^2}$.
On primitive : $\frac{1}{2} \cdot y'^2 = \frac{1}{y} - 1$,
d'où : $y' \cdot \sqrt{\frac{y}{1-y}} = -2$
Soit enfin : $\sqrt{y(1-y)}-\frac{1}{2}\cdot\arcsin(2y-1) = 2t-\frac{\pi}{4}$.
Pour avoir $y=0$, il faut donc avoir $t=t_M=\frac{\pi}{4}$.
-- (corrigé grâce à Yves)
Peut-on exprimer joliment $y$ en fonction de $t$ ?
Quand $t$ devient $>t_M$, la position $y$ devient-elle imaginaire pure ?
Je lis dans le "Pour la science" de mai (sur les matrices aléatoires) l'anecdote suivante.
D'Alembert et Euler ont tous deux résolu "faussement" le problème d'une particule qui s'écrase dans un champ de force gravitationnel.
On résout donc le système :
$y'' = - \frac{1}{y^2}$, avec
$y(0)=1$, $y'(0)=0$
On écrit $y''\cdot y' = -\frac{y'}{y^2}$.
On primitive : $\frac{1}{2} \cdot y'^2 = \frac{1}{y} - 1$,
d'où : $y' \cdot \sqrt{\frac{y}{1-y}} = -2$
Soit enfin : $\sqrt{y(1-y)}-\frac{1}{2}\cdot\arcsin(2y-1) = 2t-\frac{\pi}{4}$.
Pour avoir $y=0$, il faut donc avoir $t=t_M=\frac{\pi}{4}$.
-- (corrigé grâce à Yves)
Peut-on exprimer joliment $y$ en fonction de $t$ ?
Quand $t$ devient $>t_M$, la position $y$ devient-elle imaginaire pure ?
Réponses
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Bonjour,
Ton équation intégrée est fausse car on n’a pas $y(0)=1$, non ? Ton message est à présent édité.
Quand tu trouveras la bonne équation intégrée, tu verras qu’on ne peut pas inverser la relation.
Non, $y$ est une distance et ne devient pas complexe (et puis quoi encore ?) : lorsque le temps $t$ atteint $t_M$ les masses se percutent... ou encore celle qui tombe passe au travers de celle qui l’attire... -
Les masses se percutent et ensuite ?
L'équation différentielle du mouvement cesse d'être valide ? Le temps arrête d'exister ?
Dans l'article, ils précisent que D'Alembert et Euler étaient d'accord pour dire que la particule oscille selon un segment.
Là où les deux ne sont pas d'accord c'est que
- Euler pense que la particule repart dans l'autre sens (effondrement d'une trajectoire elliptique, où le demi petit axe tend vers 0)
- D'Alembert pense que la particule continue dans le même sens et dépasse la singularité avant de revenir.
Personnellement je trouve beaucoup mieux de dire que la particule se scinde en deux morceaux qui partent dans la dimension imaginaire...
C'est ce qu'a l'air de dire la solution, non ? -
Pour paraphraser Einstein qui en matière de gravitation en connaissait un rayon (de Schwarzschild), pour autant que les mathématiques sont certaines, elles ne se référent pas à la réalité, et pour autant qu'elles se réfèrent à la réalité, elles ne sont pas certaines.
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Merci Sylvain, tu rejoins la conclusion de l'article de Jacques Gapaillard.
En 1930, Paul Painlevé se contente d'écrire : "la discussion ne peut être poursuivie."
La modélisation étant manifestement déficiente, toute spéculation sur ce qui se passe ensuite est dépourvue de valeur scientifique.
La voix de la raison est vraiment décevante.
En attendant, la solution de D'Alembert (oscillation centrée autour du point qui émet le champ gravitationnel) est complètement fantaisiste, car à la moindre perturbation sur la vitesse initiale, on obtient une trajectoire elliptique très aplatie qui ressemble à celle d'Euler.
Ça me fait penser à une curieuse trajectoire gravitationnelle trouvée dans le film Melancholia de Lars Von Trier. (que peut-il bien se passer au point numéro 6 ?!) -
Bonjour,
@marsup, quand on établit cette équation différentielle, on suppose que toute la masse est centrée à l'origine. Cette approximation est justifiée par le théorème de Gauss. Lorsque la masse en mouvement s'approche de la masse immobile à l'origine, cette approximation devient fausse lorsqu'elles se percutent. Il faut alors une autre modélisation. Ce n'est pas bien sorcier et tu peux t'amuser à modéliser un choc ou encore l'orbite de la masse tombante autour de celle immobile, avec tout plein de trajectoires compliquées... -
Si j'ai bien compris l'article en question, l'histogramme des distances entre zéros non-triviaux de la fonction zêta de Riemann suit de très prés la courbe de répartition des valeurs propres d'une matrice aléatoire dont la dimension tend vers l'infini.
Dans la mesure où il existe une ressemblance entre l'histogramme des écarts entre valeurs propres d'une matrice aléatoire de grande dimension et l'histogramme des écarts entre zéros de la fonction zêta, on s'est mis en tête de chercher une matrice aléatoire dont les valeurs propres seraient précisément: les zéros de $\large {\zeta}$ !.
Mais cette matrice, sait-on seulement si elle existe ? Si j'en crois l'article on ne sait rien d'elle si ce n'est son petit nom: le "Riemannium" (par analogie avec les noyaux atomiques qui ont inspiré ces développements).
Et si le lien entre matrices aléatoires et fonction $\large {\zeta}$ est prouvé, peut-on toujours trouver ce que l'on peut prouver ?
...
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