Evaristette, juin 2018

Bonjour,
$(1+\frac x2)^{10}=1+5x+\frac {45}4 x^2+15x^3+\frac {210}{16}x^4+\dots $
Le plus grand coefficient est celui de $x^3$.

Soient $C_{n,k} $ et $K_{n,k} $ les coefficients de $x^k $ respectivement dans les développements de $(1+x)^n $ et de $(1+\frac x 2)^n $.
Les $C_{n,k} $ sont bien connus et on a :
$C_n^{k+1}=\dfrac {n-k}{k+1}C_n^k $
d'où : $K_{n,k+1}=\dfrac {n-k}{2 (k+1)}K_{n,k} $

$K_{n,k+1}$ sera donc plus grand que $K_{n,k}$ tant que $\dfrac {n-k}{2 (k+1)}\geqslant 1$, c'est à dire tant que $k\leqslant \dfrac {n-2}3$
Le plus grand coefficient de $x^p $ sera alors celui de $x^{k+1} $, c'est à dire que :
$$\boxed {p =\lfloor\dfrac {n+1}3\rfloor}$$...
et parfois aussi celui de la puissance précédente, quand $n+1$ est un multiple de $3$.