Mon Evaristette d'octobre

df · October 2018

Bonjour
Ceci n'est pas une Evaristette (du moins pas officiellement).

Soit $n \geq 1$ et $\mathfrak S_n$ le groupe des permutations de $\{1,2, \ldots, n\}$.
Maximiser, pour $\sigma \in \mathfrak S_n$, la somme
\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=1}^n(k-\sigma(k))^2
\end{equation}
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Hébus · October 2018

Cela revient à minimiser $\displaystyle\sum_{k=1}^nk\sigma(k)$. D'après l'inégalité de réarrangement, le minimum est atteint en $\sigma=(n,n-1,\ldots,1)$.

Le maximum cherché est donc $\displaystyle\sum_{k=1}^n(k-(n+1-k))^2=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{3}$.

df · October 2018

Bravo !
On commence par développer $(k-\sigma(k))^2$, ce qui permet de constater au passage que la somme en question est paire quelque soit $\sigma$.
Puisque $\sum_{k=1}^n k^2$ est constante, le problème équivaut en effet à minimiser $\sum_{k=1}^n k\sigma(k)$.

On s'appuie alors sur le lemme suivant: Soient $a_1, a_2, ..., a_n$ des réels quelconques et $S=\sum_{k=1}^nka_k$.
Si $i$ et $j$ sont tels que $1 \leq i < j \leq n$ et $a_i < a_j$, alors la somme $S'$ déduite de $S$ en échangeant $a_i$ et $a_j$ est telle que $S'<S$.
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Norbert Verdier · October 2018

Merci df. Si si, ce sera l'Evaristette d'octobre. Merci pour l'initiative .... bonne soirée. Norbert.

df · October 2018

Merci beaucoup. Bonne soirée !
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Mon Evaristette d'octobre

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