Un œil sur l'histoire.
Bonjour, Je viens d'aborder la notion d’espace topologique et espace métrique , mais j'ai beaucoup de confusion à propos de ces deux espaces.
D'un coté, dans un espace métrique (E,d), on a défini la notion d'ouvert (définition avec le voisinage), et on a montré que les ouverts vérifient les trois propriétés:
1) E appartient à l'ensemble des ouverts.
2) Stabilité par une réunion dénombrable.
3) Stabilité par passage au complémentaire.
D'une autre coté, dans un espace E, on a défini la notion de topologie comme un ensemble A de parties de E vérifiant les 3 propriétés en haut. et on a appelé le couple (E,A) un espace topologique, et les éléments de A des ouverts.
Les deux définitions sont en parallèle, ce qui m’embête c'est la question suivante:
Est-ce que historiquement, on a introduit tout d'abord la notion d'ouvert dans un espace métrique, et puis on voudrait généraliser cette notion en créent la notion d'espace topologique, ou bien on avait tout d'abord la définition d'une topologie dans un ensemble E, et on remarqué que la définition d'ouvert (définition avec voisinage) dans un espace métrique vérifie les 3 conditions d'une topologie, et donc (E, A) avec A l'ensemble des ouverts de E, est un espace topologique.
D'un coté, dans un espace métrique (E,d), on a défini la notion d'ouvert (définition avec le voisinage), et on a montré que les ouverts vérifient les trois propriétés:
1) E appartient à l'ensemble des ouverts.
2) Stabilité par une réunion dénombrable.
3) Stabilité par passage au complémentaire.
D'une autre coté, dans un espace E, on a défini la notion de topologie comme un ensemble A de parties de E vérifiant les 3 propriétés en haut. et on a appelé le couple (E,A) un espace topologique, et les éléments de A des ouverts.
Les deux définitions sont en parallèle, ce qui m’embête c'est la question suivante:
Est-ce que historiquement, on a introduit tout d'abord la notion d'ouvert dans un espace métrique, et puis on voudrait généraliser cette notion en créent la notion d'espace topologique, ou bien on avait tout d'abord la définition d'une topologie dans un ensemble E, et on remarqué que la définition d'ouvert (définition avec voisinage) dans un espace métrique vérifie les 3 conditions d'une topologie, et donc (E, A) avec A l'ensemble des ouverts de E, est un espace topologique.
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Réponses
"3) Stabilité par passage au complémentaire." ??? Confonds-tu avec les tribus (théorie de la mesure). le complémentaire d'un ouvert est un fermé, qui peut être parfois ouvert, mais parfois non.
Tu devrais revoir tes définitions, pour les ouverts c'est généralement stabilité par réunion quelconque, par intersection finie, et E et $\emptyset$ sont des ouverts.
Cordialement.