Question sur les distributions
Bonjour
je m’intéresse à l'histoire de la théorie des distributions. Je lis que Laurent Schwartz a fondé cette théorie dans l'article "Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques". Il donne une interprétation unifiée des nombreuses fonctions généralisées introduites auparavant comme le pic de Dirac ou la "marche d'escalier" de Heaviside. L'idée fondamentale est de considérer les fonctionnelles linéaires définies sur l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact. L'analyse fonctionnelle et la notion de dualité permettent de décrire ces objets de façon rigoureuse et systématique. L'exigence de différentiabilité amène Schwartz à étudier de nouveaux types d'espaces vectoriels topologiques qui permettront des progrès notables dans divers domaines de l'analyse comme la théorie des edp ou les fonctions de plusieurs variables complexes.
Je ne comprends pas les trois passages suivants, je souhaiterais les comprendre et avoir si possible des exemples pour les illustrer.
1. Que signifie "il donne une interprétation unifiée des nombreuses fonctions généralisées introduites auparavant" ?
2. Que veut dire le passage sur la dérivabilité ?
3. Et enfin, quels sont ces progrès notables en edp et les fonctions de plusieurs variables complexes ?
Cordialement.
je m’intéresse à l'histoire de la théorie des distributions. Je lis que Laurent Schwartz a fondé cette théorie dans l'article "Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques". Il donne une interprétation unifiée des nombreuses fonctions généralisées introduites auparavant comme le pic de Dirac ou la "marche d'escalier" de Heaviside. L'idée fondamentale est de considérer les fonctionnelles linéaires définies sur l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact. L'analyse fonctionnelle et la notion de dualité permettent de décrire ces objets de façon rigoureuse et systématique. L'exigence de différentiabilité amène Schwartz à étudier de nouveaux types d'espaces vectoriels topologiques qui permettront des progrès notables dans divers domaines de l'analyse comme la théorie des edp ou les fonctions de plusieurs variables complexes.
Je ne comprends pas les trois passages suivants, je souhaiterais les comprendre et avoir si possible des exemples pour les illustrer.
1. Que signifie "il donne une interprétation unifiée des nombreuses fonctions généralisées introduites auparavant" ?
2. Que veut dire le passage sur la dérivabilité ?
3. Et enfin, quels sont ces progrès notables en edp et les fonctions de plusieurs variables complexes ?
Cordialement.
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Réponses
1) Avant que soient définies les distributions, on utilisait des "fonctions généralisées" qui n'étaient pas des fonctions. Par exemple, la "fonction de Dirac" (déjà utilisée par Heaviside et les utilisateurs de calcul opérationnel), qui est nulle sur $\mathbb R^*$ mais a pourtant une intégrale de -1 à 1 égale à 1. Du point de vue des résultats, ça marchait, mais c'était mathématiquement incohérent. On avait aussi défini les dérivées fractionnaires de façon peu rigoureuse. la théorie des distribution donne un cadre cohérent à ces outils, inventés pour le résolution des équations différentielles et aux dérivées partielles. (*)
2) On veut pouvoir dériver les distributions, et Schwartz est aussi amené à définir les transformées de Fourier des distributions, ce qui l'amène à définir d'autres ensembles d'espaces de fonctions que l'espace des fonctions test et son dual. Et retrouver des espaces fonctionnels déjà définis (espaces de Sobolev, par exemple).
3) Voir un ouvrage historique sur le sujet. Il en existe pas mal. Tu peux aussi lire l'autobiographie de Schwartz : "Un mathématicien aux prises avec le siècle", où il développe le contexte de sa découverte et ses conséquences.
Cordialement.
NB : j'espère que tu t'y connais bien en espaces fonctionnels.
(*) Je suis surpris de l'arrivée ici de "la "marche d'escalier" de Heaviside" qui, sauf confusion, est une bête fonction.
L'idée de dual (fort) d'un espace de Banach (1920) permet de poser un cadre clair pour la plupart des $f$.
Mais ça ne permettait de dériver $f$ qu'un nombre fini de fois et d'envisager de regarder "tous les espaces de Banach qui existent".
Alors que la théorie des distributions tempérée donne un cadre "fermé" pas beaucoup plus compliqué que $L^2,L^2$.
Après il y a des $f$ qui ne sont pas des distributions tempérées et pour comprendre leur transformée de Fourier/Laplace (ou plutôt comment elles agissent sur celles des autres) il faut regarder les fonctionnelles analytiques et d'autres choses du même goût où la situation est très comparable à celle qui consistait à fixer un espace de Banach.