Constructions géométriques
Descartes a facilité l'exercice de la géométrie mais il en a enlevé aussi tout l'intérêt !
Telle est en substance le contenu d'une note critique (datant de $1867$) des méthodes "systématiques" utilisées en géométrie: elles ne permettraient de vérifier que des théorèmes généraux connus à l'avance et non d'en déduire des résultats nouveaux, seul privilège donné à des "esprits inventifs" par une observation méticuleuse.
L'auteur de l'article, ingénieur des Ponts et Chaussées de son état, donne l'exemple des 27 droites sur une cubique qui relèvent plus facilement d'une étude particulière que de l'application laborieuse des méthodes d'éliminations.
Est-ce par réaction contre cette nouvelle tendance de l'enseignement de la géométrie ? Toujours est-il que jusque dans les années $1920$, les problèmes de concours portaient presque exclusivement sur les techniques de constructions de courbes et de surfaces et non sur des exercices de "patience utiles aux seuls écoliers".
J'ai sélectionné quelques beaux problèmes de constructions posés à des concours de la fin du dix-neuvième, début du vingtième siècle en Angleterre et en France.
Le Problème $1$ (une épreuve écrite) détonne par sa modernité ! Il se poursuit par l'étude des points de la cubique à l'aide des fonctions de Weierstrass.
$\textbf{Problème 1, extrait du Certificat d'analyse infinitésimale, Nancy, 1913}$.
• Construire la cubique représentée par l'équation
\begin{equation}
\displaystyle x^3-3\sqrt[3]{4}xy^2-4y^3-4y^2-2y=0
\end{equation}
$\textbf{Problème 2, T. Ono, 1914}$.
• On donne une ellipse (ou une hyperbole) et un cercle ayant le même centre. Trouver le lieu du point d'intersection des tangentes menées à la conique par les extrémités d'un diamètre du cercle.
$\textbf{Problème 3, Weill, 1914}$.
• Démontrer que, si un triangle se déplace en restant inscrit et circonscrit à deux coniques, le centre du cercle circonscrit à ce triangle décrit une conique.
Examiner, en particulier, les cas où cette conique est un cercle ou un système de deux droites.
$\textbf{Problème 4, R. Goormaghtigh, 1914}$.
• Étant donnés deux faisceaux de cercles $\varphi$ et $\varphi '$, on associe à chaque cercle du faisceau $\varphi$, le cercle du faisceau $\varphi '$ qui lui est orthogonal.
Démontrer que le lieu du centre du cercle qui passe par leurs points d'intersection et par un point fixe du plan est une conique.
$\textbf{Un théorème de G. Fontené, 1915}$.
• Si, d'un point $M$ pris sur une conique, on mène à cette courbe les trois normales $MP$, $MQ$, $MR$, autres que la normale en $M$, le triangle $PQR$, inscrit à la conique donnée, est en même temps circonscrit à une conique fixe.
$\textbf{Description des travaux de M. Cayley par M. de la Gournerie, Paris, 1867}$.
...
Telle est en substance le contenu d'une note critique (datant de $1867$) des méthodes "systématiques" utilisées en géométrie: elles ne permettraient de vérifier que des théorèmes généraux connus à l'avance et non d'en déduire des résultats nouveaux, seul privilège donné à des "esprits inventifs" par une observation méticuleuse.
L'auteur de l'article, ingénieur des Ponts et Chaussées de son état, donne l'exemple des 27 droites sur une cubique qui relèvent plus facilement d'une étude particulière que de l'application laborieuse des méthodes d'éliminations.
Est-ce par réaction contre cette nouvelle tendance de l'enseignement de la géométrie ? Toujours est-il que jusque dans les années $1920$, les problèmes de concours portaient presque exclusivement sur les techniques de constructions de courbes et de surfaces et non sur des exercices de "patience utiles aux seuls écoliers".
J'ai sélectionné quelques beaux problèmes de constructions posés à des concours de la fin du dix-neuvième, début du vingtième siècle en Angleterre et en France.
Le Problème $1$ (une épreuve écrite) détonne par sa modernité ! Il se poursuit par l'étude des points de la cubique à l'aide des fonctions de Weierstrass.
$\textbf{Problème 1, extrait du Certificat d'analyse infinitésimale, Nancy, 1913}$.
• Construire la cubique représentée par l'équation
\begin{equation}
\displaystyle x^3-3\sqrt[3]{4}xy^2-4y^3-4y^2-2y=0
\end{equation}
$\textbf{Problème 2, T. Ono, 1914}$.
• On donne une ellipse (ou une hyperbole) et un cercle ayant le même centre. Trouver le lieu du point d'intersection des tangentes menées à la conique par les extrémités d'un diamètre du cercle.
$\textbf{Problème 3, Weill, 1914}$.
• Démontrer que, si un triangle se déplace en restant inscrit et circonscrit à deux coniques, le centre du cercle circonscrit à ce triangle décrit une conique.
Examiner, en particulier, les cas où cette conique est un cercle ou un système de deux droites.
$\textbf{Problème 4, R. Goormaghtigh, 1914}$.
• Étant donnés deux faisceaux de cercles $\varphi$ et $\varphi '$, on associe à chaque cercle du faisceau $\varphi$, le cercle du faisceau $\varphi '$ qui lui est orthogonal.
Démontrer que le lieu du centre du cercle qui passe par leurs points d'intersection et par un point fixe du plan est une conique.
$\textbf{Un théorème de G. Fontené, 1915}$.
• Si, d'un point $M$ pris sur une conique, on mène à cette courbe les trois normales $MP$, $MQ$, $MR$, autres que la normale en $M$, le triangle $PQR$, inscrit à la conique donnée, est en même temps circonscrit à une conique fixe.
$\textbf{Description des travaux de M. Cayley par M. de la Gournerie, Paris, 1867}$.
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Réponses
$\textbf{Réforme des conditions d'admission}$
Quiconque a eu l'occasion de feuilleter de très anciens recueils de sujets de concours, (ceux de l'Agrégation par exemple) n'a pu que constater la place considérable accordée en France aux surfaces du second ordre.
Il n'y a pratiquement pas d'arithmétique (ou arithmologie) et ce que certains appellent "la nouvelle analyse" et son recours massif au calcul de déterminants, n'est là que pour fournir les outils adaptés à l'étude des surfaces.
On fait surtout de la géométrie dans l'espace dans lequel on recherche des "lieux géométriques artificiels".
Un bon gros hyperboloïde parabolique sera toujours préféré à une brave conique sauf si les propriétés de cette dernière sont susceptibles d'être généralisées !
Les sujets de concours charrient leur lot de formules qui doivent être apprises dans toute leur effrayante généralité par des cohortes d'étudiants captifs.
Les pédagogues de l'époque en viennent à assimiler ces formules à des "exercices de mémoire" ou de "simples jeux d'écriture" incapables de susciter la réflexion.
C'est donc dans le but de "déconfiner" l'esprit des étudiants, que le Ministère du Commerce a entrepris une réforme simplificatrice des conditions d'admission aux grandes écoles dont l'École Centrale des Arts et Manufactures.
Tout d'abord, il fallait couper court aux discussions "philosophiques" portant sur la légitimité de tel ou tel concept; le point, objet sans dimensions, la ligne, objet sans extrémités, les quantités négatives, les incommensurables etc…
L'autre objectif était de purger le programme des formules trop compliquées qui encombrent la mémoire et retrouver le goût des choses simples et le bon sens terrien.
Avec le recul de 118 années d'enseignement mathématique, je trouve assez révélateur, ce passage du compte-rendu de la réforme paru dans le $\textit{Bulletin de l'enseignement technique}$ du 24 Août 1902:
\begin{equation}
\textbf{"beaucoup d'élèves sont incapables de construire une courbe définie par une équation numérique explicite y=f(x)..."}
\end{equation}
On peut dire que cette réforme a rempli ses objectifs !
Il était reproché aux rédacteurs des programmes officiels de "ne pas donner suffisamment de développements" de sorte que dans l'esprit des étudiants, un doute subsiste toujours sur le sens des énoncés et des définitions.
La réforme de 1902 va donc dans le sens des préconisations de certains en allégeant les programmes des "difficultés considérables" inadaptées aux "capacités de mémoire et d'intelligence de l'élève moyen".
Là encore, on peut dire qu'avec le recul, la mission est pleinement accomplie !
Sans vouloir être désagréable bien sûr… d'autant que je m'inclus dans le lot des élèves pas particulièrement doués ayant bénéficié sur le long terme de programmes scolaires plus... bienveillants (disons-le comme ça) mais aussi plus pénalisants pour les bons élèves.
$\textbf{Fragment d'un discours critique sur la mécanélogie, 1867}$.
Pourquoi, pourquoi Grand Dieu ! et comment la mécanélogie est-elle parvenue à évincer la phoronomie ?
La réponse tient dans ces mots: cupidité, l'appât du gain, exploitation outrancière des ressources naturelles !
Certains l'avaenit déjà compris il y a plus d'un siècle.
On recherche le "bénéfice" des forces, on aspire à lui ! Ainsi les "aspirations" font partie de ce nouveau vocabulaire d'une communauté de mystérieux jouisseurs, suspectés de cacher leurs intentions douteuses derrière la novlangue de l'époque !
Aujourd'hui, on parlerait de "libération des énergies" et autre "production de richesses" que nous vendent plus que jamais, les éditorialistes libéraux des chaînes d'info en continu.
Source: $\textit{L'enseignement mathématique, 1867}$.
$\textbf{Dessin technique d'une grande lucarne en pierre, École Polytechnique}$
L'épreuve s'accompagne de quelques conseils sur le bon usage de la règle et les techniques de calcul.
Exemple: il est bon de savoir par coeur quelques résultats simples
\begin{equation}
\displaystyle 2^4=16; \: \: \: 5^4=625; \: \: \: \log 2=0,301; \:\:\:\sin 30°=0,5; \: \:\: \tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}=0,577, etc...
\end{equation}
$\textbf{Grand prix de mathématiques de l'Académie des Sciences}$
...