Le Kunstweg de Jost Bürgi

Voici une idée, éventuellement à affiner.

Je ne m'occupe que des colonnes paires. Je ne considère pas la case comportant un terme nul. La relation de récurrence est $X_{n+1}=AX_n$ où $A$ est la matrice $n\times n$ dont la $k$-ième ligne est $(1,2,3,\ldots,k-1,k,k,\ldots,k,\frac{k}{2})$.

Si on arrive à montrer que le vecteur $V=(\sin\frac{k\pi}{2n})_{k=1,\ldots,n}$ est un vecteur propre (*), alors d'après le théorème de Perron-Frobenius la valeur propre correspondante est simple, et c'est le rayon spectral de la matrice $A$. Si on part de n'importe quel vecteur $X_0$ à coordonnées positives, la suite $(X_n)$ devient de plus en plus proportionnelle à $V$ (avec une convergence géométrique).

(*) Si c'est vrai ça ne devrait pas être insurmontable à démontrer mais je n'ai pas pris la peine de le faire.

Le théorème de Perron-Frobenius trivialise le problème, ce que ne semblent pas avoir remarqué les deux références que tu indiques : plus généralement, si $A$ est une matrice à coefficients strictement positifs et $V$ est un vecteur à coefficients strictement positifs tels que $AV$ est proportionnel à $V$, alors pour tout vecteur non nul $X_0$ à coefficients positifs, la suite $X_n=A^nX_0$ devient de plus en plus proportionnelle à $V$.

Je termine le calcul de mon message plus haut.

Soit $\theta=\frac{\pi}{2n}$ et $x_k=\sin k\theta$. Supposons qu'une colonne paire consiste en les termes $(x_1,\ldots,x_n)$ (je ne tiens pas compte du premier terme nul dans la colonne).

La colonne impaire qui suit est $y_k=x_k+\cdots+x_{n-1}+\frac{x_n}{2}=\frac{1}{2\sin\frac{\theta}{2}}\cos((k-\frac{1}{2})\theta)$.

La colonne paire qui suit est $z_k=y_1+\cdots+y_k$ et on calcule que $z_k=\frac{1}{4\sin^2\frac{\theta}{2}}x_k$.

Le théorème auquel je fais référence est le théorème 1, page 3, par exemple de ce sujet d'agreg 2012 :

https://agreg.org/data/uploads/sujets/AP/AP12.pdf (on trouvera un corrigé dans le rapport https://agreg.org/data/uploads/rapports/rapport2012.pdf )

On suppose trouvé un vecteur propre positif $V=\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\v_n \end{pmatrix}$. D'après la question 1.8. du document ci-dessus, la valeur propre correspondante est le rayon spectral $\rho$.

Soit maintenant $X_0$ un vecteur positif non nul. Soit $X_k=A^kX_0$. On veut montrer que $\rho^{-k}X_k$ tend vers un vecteur non nul proportionnel à $V$. Quitte à diviser $A$ par $\rho$, on peut supposer que $\rho=1$.

Si $(c_{ij})$ désigne la matrice $A^k$, de l'égalité $A^kV=V$ on déduit $v_i=\sum_j c_{ij}v_j$, donc $c_{ij}\leqslant \frac{v_i}{v_j}$. Ainsi, la suite $(A^k)$ est bornée.

Pour tout $\lambda\in\C$, notons $F_\lambda$ l'espace caractéristique associé à la valeur propre $\lambda$. La restriction de $A$ à $F_1$ est de la forme $I+N$ où $N$ est nilpotente. Comme $(I+N)^k=I+kN+\frac{k(k-1)}{2}N^2+\cdots+\binom{k}{n-1} N^{n-1}$, du fait que $(I+N)^k$ est bornée on en déduit que $N=0$. Autrement dit, $F_1$ est l'espace propre associé à la valeur propre $1$, c'est-à-dire l'espace engendré par $V$.

D'autre part, si $\lambda$ est une autre valeur propre, alors $|\lambda|<1$ (cf. théorème I.(iii)). La restriction de $A$ à $F_\lambda$ est de la forme $\lambda I + N$ où $N$ est nilpotente. Comme $(\lambda I +N)^k=\sum_{j=0}^{n-1}\binom{k}{j}\lambda^{k-j}N^j$, on a $\lim_{k\to\infty} (\lambda I + N)^k =0$.

De ce qui précède on déduit que $(A^k)$ tend vers le projecteur sur $F_1$ parallèlement aux autres espaces caractéristiques. Notons $P$ ce projecteur.

On a $X_k=A^kX_0$, donc $(X_k)$ tend vers $PX_0$. Comme $PX_0\in F_1$, il est proportionnel à $V$. Il reste à montrer qu'il est non nul.

Soit $\Phi$ un vecteur propre strictement positif pour la transposée de $A$, c'est-à-dire $A^T\Phi=\Phi$.

On a pour tout entier $k$ l'égalité des produits scalaires : $\langle \Phi, X_k\rangle = \langle \Phi, A^kX_0\rangle = \langle (A^T)^k\Phi, X_0\rangle = \langle \Phi, X_0\rangle$, donc $\langle \Phi, X_k\rangle$ est une constante strictement positive. On en déduit que la suite $(X_k)$ ne tend pas vers $0$. CQFD.

Joli travail jacquot !