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Une question sur l'erreur d'Euler

lepierotlepierot
dans Histoire des Mathématiques
Bonjour, mon fils a cet exercice à faire et je ne vois pas comment le résoudre. Quelle est l'erreur que Euler a faite en transcrivant le problème sur les nombres complexes.

Merci.113576

Réponses

  • marcomarco
    Peut-être, il est faux que le produit de $\sqrt{a}$ par $\sqrt{b}$ est forcément $\sqrt{ab}$ si $a$ et $b$ sont négatifs. Par exemple, dans l'exemple qu'il donne $\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}=\sqrt{6}$, ce n'est pas forcément vrai. Si on choisit $\sqrt{-2}=i\sqrt{2}$ et $\sqrt{-3}=i \sqrt{3}$, on obtient $\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}=i^2 \times \sqrt{2}\times \sqrt{3}=- \sqrt{6}$ et non pas $\sqrt{6}$.
  • lepierotlepierot
    Merci pour votre reponse
  • jean lismondejean lismonde
    bonsoir

    Euler raisonnait et écrivait ainsi : $$\sqrt {-2}.\sqrt {-3} = |i|.\sqrt{2}.|i|.\sqrt{3} = \sqrt{6}$$

    auquel cas son résultat est cohérent avec les règles de l'algèbre sur l'ensemble des réels.

    cordialement
  • lepierotlepierot
    Bonsoir, le produit de i entre barres verticales c'est quoi ?
  • zephirzephir
    Bonsoir Jean,
    ton truc,ça ne va pas du tout
  • gerard0gerard0
    Comme |i|=1, JL prétend que Euler écrivait que $\sqrt{-2}=\sqrt 2$.
    Encore une lismonderie !!
  • ChaurienChaurien
    L'extrait d'Euler donné par lepierot est attesté par gallica https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110159v/f121.item, mais le $|i|$ de Jean Lismonde semble ... imaginaire (:D !
  • sideside
    supp
  • DomDom
    En fait, je n’ai pas vraiment trouvé d’erreur.
    Par contre, dans l’énoncé je vois « il note $i$ le nombre tel que... » et on pourrait qualifier cela d’erroné car cela tend à croire qu’il n’y a qu’un nombre comme cela.

    En fait c’est dans le « ... la valeur de ... » qu’on trouve une erreur. La même que dans la consigne.
    Il y aurait alors une seule valeur alors que pour $\sqrt{-2}$ justement sans rien savoir il en existe deux, des « racines de -2 ».
  • sideside
    supp
  • zephirzephir
    Ce que n'a pas vu Euler, c'est que la fonction est bi-valente, donc le produit est dans un ensemble constitué de plus de deux éléments.
  • lepierotlepierot
    Bonsoir, tout d'abord merci pour ces échanges.

    Je ne suis pas sûr de ma réponse mais je pense que tout simplement l'erreur d'Euler c'est d'avoir écrit que :

    $\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}$ n'est pas égal à $\sqrt{6}$ mais à $-\sqrt{6}$, non ?

    Merci.

    PS : comment faites-vous pour dactylographier les symboles mathématiques ? Là j'ai copié/collé vos réponses pour obtenir la codification mais sinon ?
  • gerard0gerard0
    Ouvre les messages en mode "citer", tu verras le LaTeX.

    Cordialement.
  • DomDom
    Oui, lepierot, ça peut être la réponse attendue si on admet que $\sqrt{-2}=i\sqrt{2}$ et idem pour « $3$ ».

    J’ajoute :
    On note $\sqrt{2}$ l’unique r positif tel que $r^2=2$.
    On pourrait convenir de « on note $\sqrt{-2}$ l’unique $u$ tel que $u^2=-2$ ET $\dfrac{u}{i}$ (réel) positif. » ce qui semble être un parti pris pour certains.
    Par contre on rencontre un problème si on veut généraliser ensuite à des racines du genre $\sqrt{3+4i}$.
  • MauricioMauricio
    Ci-joint la discussion que j'en ai fait dans mon livre d'algèbre. Comme il est dit plus haut ce n'est pas une erreur, Euler considère deux possibilités pour la fonction racine, pas exactement une fonction multivaluée plutôt le fait qu'il y ait des branches. Euler explique un peu plus loin que $\sqrt{4}$ vaut aussi bien 2 que -2. L'introduction de $i$ se fait dans un contexte complètement différent. Dans mon livre je ne dis pas qu'Euler l'a introduit pour ne pas faire des erreurs, ce qui me semble idiot vu que l'on parle quand même de l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, et que de plus avec la formule de Cardan ce type de question était bien étudié et assez bien compris à cette époque. Je dirais plutôt que nous l'introduisons pour que les élèves ne fassent pas d'erreur.
    (L'idée est que la surface de Riemann $\sqrt{z}$ possède deux feuillets sur lesquels la monodromie opère transitivement.)
    M.113616
    113618
  • lepierotlepierot
    Bonsoir Mauricio et merci pour votre réponse.

    Mauricio Garay, Mathématique Autrement: Algèbre (Français) Broché – 9 avril 2018

    C'est l'un de vos livres ? c'est ca ? tres interessants
  • etancheetanche
    @ Mauricio vos livres sont d’une grande rigueur. C’est rare de nos jours .
  • dfdf
    J.Bernoulli croyait que $\ln(x)=\ln(-x)$ pour tout $x$ réel strictement positif.
    Il correspondait avec Leibniz sur le sens de $\ln(-1)$ !
    Il me semble que c’est bien Euler qui, le premier, a qualifié de « multiforme » la fonction $\ln x$ pour un $x$ complexe non-nul sans toutefois donner une définition précise de ce terme.
    …
  • lepierotlepierot
    @ Mauricio je connais à présent mon petit cadeau de Noël. Je n'ai pas fait de grandes études mathématiques, je suis informaticien (DESS ISI années 80/90), mais le sujet m'a toujours grandement passionné et vos livres me semblent tout à fait pour mon niveau. Je vais m'en acheter probablement quelques uns.

    Merci pour votre intervention et merci aussi à tous les autres intervenants. L'histoire des Mathématiques m'interpelle toujours autant que les Mathématiques.
  • ronanronan
    Bonjour,
    je suis aussi intéressé par votre livre, Mauricio, et je l'ai un peu recherché, mais le lien maths-buc.fr ne fonctionne pas, et google ne me renvoie qu'à Amazon que je veux éviter par principe.
    Y a-t-il un site sur lequel on peut commander la version brochée ?
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