Riemann et ses zéros

Il a utilisé ce que l'on appelle aujourd'hui la formule de Riemann-Siegel, appliquée à ce que l'on appelle aujourd'hui la fonction $Z$ de Hardy.

Tu veux des détails ?

Je ne suis pas expert de la question, noix de totos apportera certainement beaucoup plus de détails, mais je t'explique ce que je comprends de l'utilisation de la formule de Riemann-Siegel pour calculer des zéros de la fonction $\zeta$. Pour la petite histoire, c'est Siegel qui est tombé par hasard sur cette fameuse formule dans de vieux papiers de Riemann (presque 80 ans les séparent) et en a tout de suite compris l'utilité.

Tout d'abord, la fonction $Z$ de Hardy dont parle noix de totos est définie par $$Z(t) = e^{i \theta(t)} \zeta\left(\frac{1}{2} + it\right),$$ où $\theta(t)$ est une expression provenant de l'équation fonctionnelle de la fonction $\zeta$ que je n'ai pas besoin de te détailler ici. Tout ce qui compte c'est que cette fonction $Z$ est à valeurs réelles, et qu'elle s'annule précisément en les parties imaginaires des zéros de la fonction $\zeta$ sur la droite critique.

Trouver des zéros d'une telle fonction est facile : si on calcule $Z(t_1) < 0$ et $Z(t_2) > 0$, alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il y a un zéro entre $t_1$ et $t_2$, et on procède par dichotomie pour trouver des approximations aussi bonnes que l'on veut. Encore faut-il être capable de calculer les valeurs de la fonction $Z$ avec suffisamment de précision, et c'est exactement ce que permet de faire la formule de Riemann-Siegel, qui donne une approximation de $Z(t)$, avec estimation du terme d'erreur.

Pour info, c'est à peu de choses près comme ça que l'on vérifie que l'hypothèse de Riemann est vraie pour les parties imaginaires jusqu'à une borne donnée $T$ : on calcule le nombre de changements de signe de la fonction $Z$ pour $0 \leq t \leq T$, et on applique le principe de l'argument pour connaître le nombre de zéros de la fonction $\zeta$ dans un rectangle de la forme $0 \leq \mathfrak{Re}(s) \leq 1, 0 \leq \mathfrak{Im}(s) \leq T$, et on constate que ces deux nombres coïncident !

Bonsoir, la méthode est expliquée dans Titchmarsh: The theory of the Riemann Zeta Function (Oxford) à partir de la page 388.

Ça m'étonnerait très fortement.

À Gilles Benson : Titchmarsh indique effectivement un moyen d'effectuer ces calculs (j'ai donné cette référence à Noradan en mail privé la semaine dernière), mais il utilise une version simplifiée de la formule de Riemann-Siegel.

À Fin de Partie : il y a "analyse complexe" et "analyse complexe". En général, on parle de "preuve non élémentaire" dès que l'on utilise de gros outils d'analyse complexe. Il existe plusieurs démonstrations du résultat de Hardy, dont l'une se sert du lemme suivant, dû à Fejér :

Soit $a > 0$ et $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$. Le nombre de changements de signes dans $\left] 0, a \right[$ d'une fonction continue $f$ est au moins égal au nombre de changements de signes dans la suite
$$f(0), \ \int_0^a f(t) \, \textrm{d}t, \ \int_0^a tf(t) \, \textrm{d}t, \dotsc, \int_0^a t^n f(t) \, \textrm{d}t.$$

Certes, ce lemme est utilisé avec une fonction à valeurs complexes, mais l'usage du $i$ s'arrête là : on peut donc considérer cette preuve comme "quasi-élémentaire".

Voir ce livre Theorem 3.36 page 138.

Les expressions bien plus efficaces c'est précisément la formule de Riemann-Siegel dont on parlait au-dessus. Riemann avait aussi démontré le théorème des nombres premiers en supposant sa conjecture, ce qui lui donnait une motivation supplémentaire. Aujourd'hui on sait bien sûr qu'on a besoin de beaucoup moins (essentiellement, la non-annulation sur la droite $\mathfrak{Re}(s)=1$).

Bonjour,

Juste à titre de curiosité, a-t-on aujourd'hui des résultats sur la convergence de séries du genre $\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{1}{z_k^s}$ où $z_k$ est le $k$-ième zéro de $\zeta$ sur la droite critique ?

Cordialement,

Rescassol

La somme suivante était apparemment connue de Riemann :
$$\sum_\rho \frac{1}{\rho} = 1 + \frac{\gamma}{2} - \log \sqrt{4 \pi}.$$
C'est une semi-convergence. De même, si $1/ \rho$ est associé à $1/(1-\rho)$, alors la série $\sum_\rho \frac{1}{\rho(1-\rho)}$ est absolument convergente et sa somme vaut le double de la précédente. Autre exemple
$$\sum_{\rho} \frac{1}{|\rho|^2} \leqslant 0,0462.$$
On s'intéresse aussi souvent aux sommes portant sur les parties imaginaires $\gamma$ des zéros $\rho$ non triviaux. Par exemple, pour tout $T \geqslant 2 \pi e$, on a
$$\sum_{0 < \gamma \leqslant T} \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{4 \pi} \left(\log \frac{T}{2 \pi} \right)^2 + O^\star \left( 0,705 \right)$$
tandis que, pour tout entier $n \geqslant 2$
$$\sum_{\gamma > T} \frac{1}{\gamma^n} < T^{1-n} \log T.$$
En fait, un tout récent travail de Brent, Platt et Trudgian montre que la limite
$$\lim_{T \to + \infty} \left( \sum_{0 < \gamma \leqslant T} \frac{1}{\gamma} - \frac{1}{4 \pi} \left(\log \frac{T}{2 \pi} \right)^2 \right)$$
existe et vaut $\approx - 0,017 \, 1594$.