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Stirling ex machina

Envoyé par e=mc3 
Stirling ex machina
il y a douze années
Bonjour est ce que quelqu'un connait l'historique, la genèse du fameux équivalent de n! et la manière dont Stirling s'y est pris pour trouver cela.

Je doute fort qu'un matin il s'est levé et s'est dit tiens regardons si la suite $un=(n/e)^\sqrt(n)/n!$ converge
J'ai regardé un livre d'histoire des mathématiques et vu que ce monsieur a vécu au 18ème siècle et que l'équivalent date de 1730 (en fait les 5 premiers termes de ln(n!) et de Moivre a fait sauté le log dans la foulée) donc bien avant le calcul intégral.
Comment diantre s'y est-il pris (et en plus sans ordinateur pour guider l'intuition) ?
Re: stirling ex machina
il y a douze années
Ça s'obtient en cherchant un développement asymptotique de $ln(n!) = \sum_{k=1}^n ln(k)$.
Avec une comparaison classique série-intégral, on montre que c'est équivalent à $n.ln(n)$, puis après, on cherche un équivalent de la différence entre ces deux termes, etc.
Re: stirling ex machina
il y a douze années
avatar
Guego, tu triches, on avait dit sans intégrale ;)

Plus sérieusement la question est intéressante mais je n'ai pas la réponse.
Re: stirling ex machina
il y a douze années
Oups, au temps pour moi.

Peut-être qu'il a comparé $n!$ et $n^n$, a vu que le deuxième tendait vers l'infini beaucoup plus vite. Alors il l'a divisé par $2^n$, non encore trop vite, alors $e^n$ peut-être... Ouais, là, ça tend vers l'infini un peu à la vitesse de $\sqrt{n}$, etc. Par tatonnement, quoi.
bs
Re: stirling ex machina
il y a douze années
avatar
Très bien pour ce thème : histoire des Mathématiques.

Voir ci- dessous:
\lien{[fr.wikipedia.org]}

où l'on trouve la preuve de de Moivre.
Re: Stirling ex machina
il y a douze années
avatar
bonjour, on peut consulter Hairer et Wanner: {\it L'analyse au fil du temps} Bibliothèque Scopos pour replacer les outils de l'analyse dans leur chronologie.
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