bonsoir, dans la lignée du lemme de Schwarz, il y a le théorème de Schwarz -Pick:
une application analytique $f$ du disque unité dans lui-même diminue la distance non-euclidienne entre deux points, la longueur non-euclidienne d'un arc et l'aire non-euclidienne ce qui traduit les inégalités:
$$\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|1-\overline{f(z_1)}f(z_2)|} \leq \frac{|z_1-z_2|}{|1-\overline{z_1}z_2|}$$
et
$$\frac{|f'(z)|}{1-{|f(z)|}^2} \leq \frac{1}{1-{|z|}^2}$$
N.B. il s'agit de la géométrie hyperbolique (de Poincaré) liée à la métrique:
$$ds = \frac{2|dz|}{1-{|z|}^2}$$
Le théorème de Schwarz-Pick se généralise en:
Si $f$ est analytique du disque ouvert $D$ vers $D$, si $w_k=f(z_k)$ pour une famille finie de $n$ éléments $z_k$ de $D$, alors la forme hermitienne:
$$Q(t_1,t_2,...,t_n)= \sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1-w_h \overline{w_k}}{1-z_h \overline{z_k}} t_h \overline{t_k}$$
est positive.
note bibliographique: le lemme de Schwarz est discuté en détail dans {\it Geometric function theory } de Steven Krantz chez Birkhäuser.
Toutes ces idées ont été développées en particulier par Lars Ahlfors à partir de 1938; on les retrouve dans {\it Conformal invariants: topics in geometric function theory} chez McGraw-Hill (1973)
Au passage, Ahlfors aurait eu cent ans cette année.
