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Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007

Envoyé par borde 
Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
Bonjour,

Ne disposant pas actuellement d'une connexion internet viable, Norbert Verdier m'a demandé de recopier ce message, et ce, dans la cadre de sa grande saga {\bf Hommage à...} :


Bonjour à tous et bonne année à vous et à vos proches,

Hermann Schwarz est né en Pologne – il y a 164 ans - le 25 janvier 1843 à Hermsdorf en Silésie (actuellement en Pologne). Etudes à Berlin. Elève de Kümmer (dont il épousera la fille) et de Weiestrass. Enseigne à Zürich et Göttingen avant de remplacer son maître Weierstrass à Berlin. Il est passé à la postérité grâce à son lemme assurant la permutation des dérivées partielles " sous les bonnes conditions ". Décède le 30 novembre 1921 à .. Berlin.


L’hommage : Etudier la continuité en $(0,0)$ des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$$f(0,0) = g(0,0) = 0,$$ et, sinon, $$f(x,y) = \sin \left (4 \arctan \left ( \frac {x}{y} \right ) \right ),$$ et $$g(x,y) = \frac {2xy}{x^2+y^2}.$$


Prochain hommage : le 28 février, Vandermonde aura 272 ans.


Bien à vous. Norbert Verdier.
Il faut aussi parler du travail de Schwarz sur l'equation hypergeometrique et en particulier sa classification de tous les cas pour lesquels les groupes de monodromies de la dite equation sont des groupes finis (c'est quand meme autre chose que le lemme de Schwarz).

Mauricio
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
Salut Borde.

Habituellement, l'appellation "lemme de Schwarz" désigne un résultat sur les fonctions de la variable complexe: Si f(z) est holomorphe dans le disque |z|<1 et si f(0)=0 et |f(z)|<1, alors |f(z)|<=|z|.

Je connaissais le résultat sur les dérivées partielles sous le nom de Théorème de Schwarz.

Et n'oublions pas l'inégalité de Schwarz.
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
Salut RAJ,

Oui, pour moi aussi, le lemme de Schwarz est celui que tu cites, avec l'amélioration suivante due à Dieudonné : soit $f$ holomorphe dans le disque $|s| < 1$ telle que $f(0) = 0$ et $|f(s)| \leqslant 1$. Alors, si $|s| < 1$, on a $|f(s)| \leqslant |s|$ et $|f'(s)| \leqslant 1$ si $|s| \leqslant \sqrt 2 - 1$ et $\displaystyle {|f'(s)| \leqslant \frac {(1 + |s|^2)^2}{4|s|(1 - |s|^2)}}$ si $\sqrt 2 - 1 < |s| < 1$.

Je rappelle néanmoins que, dans ce fil, je ne suis que le dépositaire de Norbert, qui, j'espère, reviendra bientôt lui-même le commenter avec plus de compétence que moi !

Borde.
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
N'oublions pas non plus un résultat peu connu, que nous devons à Schwarz et Negger.
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
résultat très musclé, d'ailleurs.
bs
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
avatar
Bonjour,

Pour une photo de notre "math-star" du mois:
\lien{[www.bibmath.net]}
[attachment 5646 schwarz.jpg]

Peut-on recenser les "machins" de Schwarz que vous connaissez ?
Par exemple:

1) Théorème de Schwarz ( ou lemme ) sur la permutation des dérivées partielles.
2) Lemme de Schwarz : fonctions hololmorphes.
Question : Olivier, où trouver une preuve de l'amélioration due à Dieudonné que tu cites ? Merci.
3) L'inégalité de Cauchy-Schwarz-Bouniakowski ( pour nos amis russes)
4) Le schwarzien ( objet du sujet d'analyse de l'agreg. externe 1995 )
5) Les travaux cités par Mauricio.

Bonne journée.

[merci d'avoir inséré la photo ,Aain]



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.


Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
Salut Bernard,

Peut-être dans :

1. {\bf Ahlfors}, {\it Complex Analysis}, MacGraw-Hill, New York (1966)

ou

2. {\bf Polya-Szegö}, {\it Problems and Theorems in Analysis} I, Springer (1972).

Mais je ne peux pas te l'assurer...

Borde.
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
D'après un livre d'histoire des Maths que j'ai sous les yeux, Schwarz aurait aussi étudié un problème de calcul des variations ("le problème des sons dus aux vibrations d'une membrane"). Schwarz a déterminé le minimum et Poincaré a fait le reste en 1894.
bs
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
avatar
Merci Olivier; je n'ai pas trouvé dans les livres en français que je possède.

et aussi , toujours en analyse complexe:

--> principe de symétrie de Schwarz

--> transformation , et , théorème de Schwarz-Christoffel
Référence: Boccara-Fonctions Analytiques.
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
On peut ajouter la dérivée symétrique de Schwarz qui est une généralisation de la dérivée usuelle.

Springer online encyclopedia
Chers amis de Schwarz bonjour;

Merci pour vos contributions. A très bientôt. Bien à vous. Norbert.
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
avatar
bonsoir, dans la lignée du lemme de Schwarz, il y a le théorème de Schwarz -Pick:
une application analytique $f$ du disque unité dans lui-même diminue la distance non-euclidienne entre deux points, la longueur non-euclidienne d'un arc et l'aire non-euclidienne ce qui traduit les inégalités:

$$\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|1-\overline{f(z_1)}f(z_2)|} \leq \frac{|z_1-z_2|}{|1-\overline{z_1}z_2|}$$

et

$$\frac{|f'(z)|}{1-{|f(z)|}^2} \leq \frac{1}{1-{|z|}^2}$$

N.B. il s'agit de la géométrie hyperbolique (de Poincaré) liée à la métrique:
$$ds = \frac{2|dz|}{1-{|z|}^2}$$

Le théorème de Schwarz-Pick se généralise en:

Si $f$ est analytique du disque ouvert $D$ vers $D$, si $w_k=f(z_k)$ pour une famille finie de $n$ éléments $z_k$ de $D$, alors la forme hermitienne:

$$Q(t_1,t_2,...,t_n)= \sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1-w_h \overline{w_k}}{1-z_h \overline{z_k}} t_h \overline{t_k}$$

est positive.

note bibliographique: le lemme de Schwarz est discuté en détail dans {\it Geometric function theory } de Steven Krantz chez Birkhäuser.

Toutes ces idées ont été développées en particulier par Lars Ahlfors à partir de 1938; on les retrouve dans {\it Conformal invariants: topics in geometric function theory} chez McGraw-Hill (1973)
Au passage, Ahlfors aurait eu cent ans cette année.
bs
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
avatar
Gilles : sans t ( bonne ).:)
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a treize années
avatar
bien, c'est donc l'histoire de l'arroseur arrosé mais s'il s'agit de bonne santé, on pourra tout de même lever son verre.
Ceci étant je vais éditer mon précédent message dans le quel j'avais initialement écrit Pick-S.... avant de changer d'idée en me disant que çà ne le faisait pas; autant pour les bonnes intentions...eye rolling smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gilles benson.
Re: Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
il y a dix années
Retour à Schwarz deux ans après. Dans la photo ci-jointe:
[attachment 14045 Th.Schwarz.jpg]

on peut voir l'enseignant en pleine démonstration du théorème de Schwarz sur les dérivées partielles. C'est celle qui figure dans Wikipédia et celle qui peut être administrée à des étudiants de premier cycle universitaire.

Pour information cette photo est issue du fonds Gilbert Maheut (Notre ami Koniev). Pour avoir des informations sur cette photo, cf. [www.univ-reims.fr]

Gilbert si tu nous lis, tu nous en diras sûrement plus. Amicalement. N!


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