13ème Hommage arithmétique à Lucas, avril 2007
Chers amis
Aujourd'hui Lucas a 165 ans.
Né à Amiens, le 4 avril 1842, Édouard Lucas fait ses études à Amiens au lycée Louis-Thuillier, puis il fait sa préparation à Douai (une ville chère à Bernard) pour intégrer l'École normale. À cette époque, il rencontra Pasteur qui l'orienta vers l'École normale plutôt que vers Polytechnique. Lucas, à Douai, est l'étudiant de Louis Painvin (prochain hommage). Édouard Lucas meurt à Paris suite à un accident malheureux. Lors d'un banquet, il est blessé à la joue par l'éclat d'un plat qui venait de tomber à terre. Il mourut d'érysipèle quelques jours après. Pour presque tout savoir sur Lucas, lire la thèse (est en ligne) de Anne-Marie Décaillot-Laulagnet : Edouard Lucas (1842-1891) : le parcours original d'un scientifique français dans la deuxième moitié du XIX ème siècle (Université de Paris V, 1999).
L'hommage arithmétique : si u(n) désigne la suite de Fibonacci :
u(0)=u(1) =1 et u(n+2) = u(n+1) + u(n) alors on a :
u(n+k) u(n-k) - u(n)^2 = (-1)^(n-k) u(k-1)^2.
Amicalement. Bernard (qui après Douai s'est envolé pour d'autres cieux, ceux de Meknes !) & Norbert (sous des cieux intermédiaires, ceux de Cachan)
Prochain hommage : Louis Painvin le professeur de Lucas aura le 18 mai prochain 181 ans.
Aujourd'hui Lucas a 165 ans.
Né à Amiens, le 4 avril 1842, Édouard Lucas fait ses études à Amiens au lycée Louis-Thuillier, puis il fait sa préparation à Douai (une ville chère à Bernard) pour intégrer l'École normale. À cette époque, il rencontra Pasteur qui l'orienta vers l'École normale plutôt que vers Polytechnique. Lucas, à Douai, est l'étudiant de Louis Painvin (prochain hommage). Édouard Lucas meurt à Paris suite à un accident malheureux. Lors d'un banquet, il est blessé à la joue par l'éclat d'un plat qui venait de tomber à terre. Il mourut d'érysipèle quelques jours après. Pour presque tout savoir sur Lucas, lire la thèse (est en ligne) de Anne-Marie Décaillot-Laulagnet : Edouard Lucas (1842-1891) : le parcours original d'un scientifique français dans la deuxième moitié du XIX ème siècle (Université de Paris V, 1999).
L'hommage arithmétique : si u(n) désigne la suite de Fibonacci :
u(0)=u(1) =1 et u(n+2) = u(n+1) + u(n) alors on a :
u(n+k) u(n-k) - u(n)^2 = (-1)^(n-k) u(k-1)^2.
Amicalement. Bernard (qui après Douai s'est envolé pour d'autres cieux, ceux de Meknes !) & Norbert (sous des cieux intermédiaires, ceux de Cachan)
Prochain hommage : Louis Painvin le professeur de Lucas aura le 18 mai prochain 181 ans.
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Réponses
[C'est corrigé dans le titre. AD]
Lucas a eu l'idée de généraliser la suite habituelle de Fibonacci, pour considérer les suites :
U(n)=P*U(n-1)-Q*U(n-2), avec U(0)=0 et U(1)=1 (attention au décalage avec les notations de Norbert !) et:
V(n)=P*V(n-1)-Q*V(n-2), avec V(0)=2 et V(1)=P (la première de ces suites est la suite de Fibonacci généralisée et la seconde est devenue la suite de Lucas généralisée).
Le polynôme caractéristique est X²-P*X+Q=0; on suppose d=P²-4*Q non nul. Les racines sont a et b (alpha et béta) qui vérifient :
a-b=racine(d), a*b=Q et a+b=P
Lucas obtient une multitude de résultats sur ces suites, en particulier le résultat mentionné par Norbert.
Il n'a pourtant pas eu l'idée (ou l'envie ?) d'unifier ses résultats en considérant le cas général des suites définies par :
W(n)=P*W(n-1)-Q*W(n-2), avec des conditions initiales W(0) et W(1).
Avec les notations introduites par Horadam dans les années 60, on a :
W(n)=[A*a^n-B*b^n]/(a-b), avec:
A=W(1)-W(0)*b et B=W(1)-W(0)*a
On voit que : A*B=W(1)²-P*W(0)*W(1)+Q*W(1)²
Dans le cas de Fibonacci, A=B=1 (A*B=1) et, dans le cas de Lucas:
A=-B=racine(d) (A*B=-d).
Ceci posé, il n'est pas difficile de vérifier une généralisation de la relation donnée par Norbert :
W(n)²-W(n-k)*W(n+k)=A*B*Q^(n-k)*U(k)².
Dans le cas de la suite de Lucas usuelle :
L(n)=L(n-1)+L(n-2), L(0)=2 et L(1)=1, cela donne :
L(n)²-L(n-k)*L(n+k)=5*(-1)^(n-k+1)*F(k)².
La formule pour W(n) peut se généraliser aux suites récurrentes d'ordre m, à condition de considérer que le membre de gauche est un déterminant d'ordre 2 (qui deviendra dans le cas général un déterminant d'ordre m) et le U(k) du membre de droite un déterminant d'ordre 1 (qui deviendra un déterminant d'ordre (m-1)).
<http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3943s/f61.table>
à noter qu'un collège de la ville d'Amiens porte le nom de "collège Edouard Lucas".
Je savais que ce serait un hommage qui lui plairait. Nous avions d'ailleurs déjà parlé de ce résultat de Lucas sur ce site il y a quelques mois. As-tu par hasard la source initale du texte de Lucas où il évoque cette affaire ? (C'est une revue américaine mais je ne parviens pas à retrouver la référence exacte. Amicalement. Norbert.
En tapant le titre de l'article dans Google, on obtient des résultats intéressants.
Merci beaucoup pour ta réactivité. Bien à toi. Norbert.
Ce resultat a ete generalise par 2 amienois dans l'article
Boulanger, Jacques; Chabert, Jean-Luc An extension of the Lucas theorem. Acta Arith. 96 (2001), no.4.
Joaopa
Eh oui Norbert, c'est toi qui m'a appris que j'ai fréquenté le même lycée que E.Lucas; malheureusement, la comparaison s'arrête là...
Pour une photo de E.Lucas: http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=lucas
E.Lucas a également son nom à un test de primalité, amélioré depuis par Lehmer: test de Lucas-Lehmer.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalité_de_Lucas-Lehmer_pour_les_nombres_de_Mersenne
C'est en utilisant ce test que E.Lucas avait démontré en 1876 que le nombre de Mersenne M_127 était premier; c'était le plus grand nombre premier connu à l'époque. Il me semble que les records actuels sont toujours obtenus en utilisant ce test ?
Bonne journée.
Test pour savoir si $M(n)=2^n-1$ est premier selon Bressoud: {\it Factorisation and primality testing} chez Springer (mais pas sans erreur...):
initialisation:
lire $n$
M<-$2^n-1$
S<-4
boucle mystérieuse:
pour i=2 jusqu'à $n-1$ faire
S<-SxS-2 mod M
fin
si S=0 alors écrire M
M sera premier si S = 0.
Une référence (donnée par Bressoud):
{\it an extended theory of Lucas functions } par D.H. Lehmer Ann. Math., 31 (1930)
pages 419 à 448.
Merci Gilles pour ces précisions.
Sais-tu ( la question n'est pas posée uniquement à Gilles ) où trouver en français , ne serait-ce que la preuve du test original de Lucas ?
Merci.
c'est le théorème 7 page 137.
A la Librairie Blanchard à Paris on trouve en ce moment de notre ami Lucas :
RECREATIONS MATHEMATIQUES, Tomes 1-4. Gauthier-Villars, 1891-94,
2ème édition, 254-243-200-266 pp., 15x20, les quatres tomes reliés en deux volumes.
Ce petit plaisir pour 420 euros!
Sinon pour la moitié (environ) , on peut s'offrir un ouvrage d'un autre ami de Douai, le dénommé Painvin dont nous reparlerons bientôt, n'est-ce pas Bernard ?
Amitié. Norbert.
THEORIE DES NOMBRES (ISBN : 9782876470422)
LUCAS, EDOUARD
Libraire: Chapitre livres neufs
(Lamnay, ., France) Prix: EUR 39.10
[Autre devise]
Quantité: > 20 Livraison France:
EUR 3.69
[Durée et autres destinations]
Description du livre: GABAY, 2003. État : Neuf. N° de réf. du libraire 9782876470422
[Libraire et conditions de vente] [Catalogue du libraire] [Poser une question au libraire]
Micro HS ( carte mère ), nouveau portable acheté, raccordement Wifi...raisons du silence sur les ondes.
...Norbert, je vais m'occuper du résumé des livres de Painvin.
Amicalement.
Ravivons cet hommage rendu à Edouard Lucas...
Un joli résultat, rencontré hier, dû à Edouard, 1870:
$$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{F_{2^n}} = \frac{7 - \sqrt{5}}{2} $$
Ref: Duverney p164; F= Fibonacci et non Fermat
Bon dimanche.
je viens de feuilleter le livre : Théorie des nombres de Lucas et il me semble renferner qualtité de bonnes choses. Chez Blannchard 1958.
Koniev
Pour les adresses parisiennes de Lucas, on peut lire dans la thèse d'Anne-Marie Décaillot (p. 173) [Cf. bibliographie de mon message initial] qu'il habitait 2 rue du Bellay vers 1879 (je crois). Amicalement. Norbert.
Les deux adresses sont dans la thèse, mais il n'y est pas dit que Blaise Pascal est mort, en 1662, à cet endroit de la rue Monge.
Amicalement.
Amicalement
J. C.
1/F2=1=L1/F2 (avec Ln la suite de Lucas)
1/F2+1/F4=1+1/3=4/3=L3/F4 .
1/F2+1/F4+1/F8=4/3+1/21=29/21=L7/F8
etc.
Amicalement. Norbert.
PS : Merci RAJ pour ces sommes qui nous ramènent sur des terres plus arithmétiques.
RAJ: intéressant, l'expression de ces sommes partielles, merci.
Norbert, apparemment seul Monge n'aurait pas habité dans cet appartement
Duverney explique qu'en utilisant la méthode de Mahler, on démontre, par contre, que $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{F_{2^n+1}}$ est transcendant.
Heureux samedi.
> Norbert, apparemment seul Monge n'aurait pas
> habité dans cet appartement
Il vivait non loin : rue de la Clef
Pas loin non plus, il y a Descartes : rue Rollin
J. C.
Prépares-tu un livre ou un document comme celui-ci version mathématiciens ? http://www.formatage.org/branches/bavardage/ecrivains-maisons.html
Ramène l'or de Pékin, tu en es capable...
Cordialement.
Plutôt:
Chaval: rue Morere
Fréderique: rue Frémicourt
Queneau: Square Desnouettes
Apollinaire: Bd St Germain
Nerval: Vieille Lanterne
Amicalement
J. C.