Récurrence transfinie pour descente infinie

TigerFou
TigerFou
dans Histoire des Mathématiques
Bonjour,

J'étudie des textes d'Euclide, Prestet et Gauss sur le théorème fondamental de l'arithmétique et pour donner une démonstration moderne du fait que tout nombre entier est divisible par un nombre premier $(*)$, j'aimerai, plutôt que d'utiliser par l'absurde le principe de descente infinie de Fermat contredit par le bon ordre de $\N$, utiliser une récurrence transfinie...

Problème : Je ne connais pas son principe et tout ce que j'ai pu trouver est un charabia que je ne sais pas décrypter du genre : $\forall \alpha \{ O_n(\alpha) \Longrightarrow [ \forall \beta ( \beta \in \alpha \Longrightarrow F(\beta) ) \Longrightarrow F(\alpha) ] \} \Longrightarrow \forall \gamma \{ On(\gamma) \Longrightarrow F(\gamma) \}$

Tout ce que je cherche à formaliser c'est qu'un nombre ne peut pas être composé que de nombres composés, quelque chose du genre : $\forall (I_j)_{j \in \N} \subset \N, \forall (n_i)_{i \in I_j}, \quad n=\displaystyle\prod_{j \in \N}\prod_{i \in I_j}n_i$ contredisant le fait qu'un nombre fini n'a qu'un nombre fini de facteur, mais en plus "propre", ceci est peut-être même faux ça ne me surprendrai pas.

Merci pour toute suggestion !

Amicalement,
Johann

PS : Je ne savais pas trop sur quel forum envoyer ce post, puisqu'il s'agit tout aussi bien de fondements que de logique ou même d'arithmétique, alors j'ai opté pour l'histoire des mathématiques puisque c'est dans ce contexte que j'ai rencontré cette question...

Réponses

  • GG
    GG
    ce n'est pas du charabia, ça dit juste que si une propriété est vraie pour un ordinal dès qu'elle est vraie pour les ordinaux inférieurs, alors elle est vraie pour tous les ordinaux :)
  • Remarque0
    Remarque0
    Faire une récurrence transfinie, c'est utiliser le bon ordre sur les ordinaux. Si tes ordinaux sont finis, c'est une récurrence usuelle. Nul besoin de transfinitude là-dedans me semble-t-il.
  • TigerFou
    TigerFou
    Bonsoir,

    Merci pour la traduction GG !

    remarque...
    Je pensais que le fait que chaque membre d'un nombre composé étant un nombre composé lui-même de composés dont les membres... etc, etc. C'est le principe de l'Hydre de Lerne, c'est plus profond qu'une récurrence d'ordinaux finis, cela correspond aux ordinaux transfinis, non ? Je me trompe d'après toi ?

    Merci de m'éclairer

    Amicalement,
    Johann
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour TigerFou.

    En réfléchissant aux procédures que tu semble vouloir mettre en œuvre, il me semble que tu aurais aussi vite fait d'utiliser la théorie des anneaux.

    Z est un anneau principal, donc tout idéal propre est inclus dans un idéal maximal. ergo, quel que soit n, différent de 1 ou -1, l'idéal (n) est inclus dans un idéal maximal (p) et p est un diviseur premier de n.

    Bruno
  • Remarque0
    Remarque0
    Mais TigerFou, que signifie un produit d'une (énorme) infinité de nombres entiers ? Je ne dis pas que tu te trompes, mais je ne vois pas du tout où tu veux en venir.
  • TigerFou
    TigerFou
    Bonjour,

    Bruno, l'idéal maximal est une très bonne idée à laquelle je n'avais pas pensé...
    Démontrer la propriété $(*)$ revient à montrer que tout idéal $n\Z$ est inclu dans un idéal maximal $p\Z$ avec $p$ premier, j'aime beaucoup.
    En revanche, si on sait bien que $p\Z$ est maximal $\forall p$ premier car $\Z/p\Z$ est un corps $\forall p$ premier, pourquoi un idéal maximal existe-t-il toujours et pourquoi s'écrit-il forcément $p\Z$ ?
    J'aurai tendance à répondre à cette question en utilisant... le théorème fondamental de l'arithmétique !
    On tourne en rond ?


    remarque, c'est normal que tu ne voie pas de quoi je parle (maladroitement) puisque ce que je cherche, c'est justement un moyen de l'exprimer clairement !

    Comme je suis têtu, je vais essayer encore de décrire ce que je veux dire.
    La preuve par la descente infinie se fait ainsi par l'absurde :
    $\qquad$ Supposons qu'aucun premier ne divise $n$
    Alors par récurrence sur le nombre de facteurs de $n$, il n'est composé que de nombres composés :
    $-$ Pour $1$ facteur, c'est $n$ dont aucun premier ne divise par hypothèse, donc il est composé.
    $-$ Supposons que pour toute factorisation de moins de $k$ facteurs (strictement), ces facteurs sont tous composés.
    Alors il suffit de décomposer en deux facteurs $a$ et $b$ l'un d'entre eux, et on a ainsi une décomposition de $n$ en $(k-1)+1=k$ facteurs exactement.
    $a$ et $b$ ne peuvent pas être premiers sinon ils diviseraient $n$ ce qui contredirai l'hypothèse.
    Donc les $k$ facteurs de $n$ sont composés.
    Fin de la récurrence, on à montré que $n$ n'est composé que de nombres composés.

    Maintenant pour conclure la démonstration et arriver à une contradiction, on affirme que l'on peut ainsi décomposer $n$ infiniment, ce qui contredit le bon ordre de $\N$ puisque celui-çi est borné inférieurement.
    $$\Box$$

    Voici donc ce que je veux traduire formellement : "on peut décomposer $n$ infiniment".

    Or si je dis formellement que $n$ à une infinité de facteurs, chacun d'entre eux à aussi une infinité de facteurs ! Voilà pourquoi j'ai pensé aux ordinaux transfinis...


    Amicalement,
    Johann
  • Bruno
    Bruno
    Première étape :

    Si un idéal principal est maximal, alors son générateur est irréductible. D'accord ?

    Bien entendu, on sait que tout idéal propre d'un anneau unitaire est inclus dans un idéal maximal... Mais on use d'un marteau pilon pour ce faire : l'axiome de choix !

    On peut user plus subtilement : l'anneau Z est principal ; donc tout idéal propre est engendré par un élément. La démo qui suit est valable pour les anneaux noethériens ; On considère un idéal I et l'ensemble E des idéaux de Z qui contiennent I ; si l'on prend une suite strictement croissant (In) d'éléments de E, cette suite est finie. En effet, Soit J la réunion de cette suite, c'est un idéal de Z donc il est principal et c'est un certain (p). Or il existe un entier n tel que p appartienne à In ; donc J = In et la suite, supposée strictement croissante contient n (ou n + 1 si le décompte commence à 0) éléments. De plus, il est certain que p est un entier premier puisque (p) est un élément maximal de E.

    Conclusion, si l'on se donne n dans Z, il existe un entier premier p qui le divise.

    La division ne fait pas appel à la notion d'entier premier et le caractère principal de Z repose uniquement sur les propriétés de la division.

    Il me semble donc qu'il n'y a pas de cercle vicieux.

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    Est-ce que l'argument suivant, tu le rejettes comme "descente infinie"?

    Soit n un entier. Le plus petit diviseur (autre que 1) de n est un nombre premier?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • TigerFou
    TigerFou
    Bonsoir,

    Bruno j'ai du mal à suivre ton argument montrant que la suite d'idéaux $I_n$ est finie, leur réunion $J$ n'étant en fait pas un idéal...
    Mais la clé est bien là : montrer que $E$ possède un idéal maximal cad que $\Z$ est Noethérien.
    En fait Noethérien pour un anneau est l'équivalent de bien ordonné pour un ensemble, non ? Donc finalement c'est le même argument que la descente infinie, mais appliqué à $\Z$ au lieu de $\N$...

    Christophe Chalons, bien vu, il pourrait suffire de dire que si $n$ est composé c'est qu'il a au moins un diviseur (premier ou pas) et peu importe combien il en a au juste, le plus petit d'entre eux sera forcément premier.

    Merci pour votre aide

    Amicalement,
    Johann
  • gb
    gb
    L'existence du plus petit diviseur de n (qui est de ce fait premier), c'est bien l'utilisation du bon ordre de $\N$, non ?
  • TigerFou
    TigerFou
    Oui gb, la discussion est revenue au point de départ, à savoir la démonstration classique utilisant la descente infinie de Fermat... mais je cherchais une preuve différente, je pensais à une récurrence "plus profonde" en formalisant le cas absurde d'un entier divisible par aucun nombre premier, mais je n'y parviens pas, et on me dit que les transfinis n'aideraient pas, contrairement à ce que je croyais.
    C'est un petit résumé "express" de la discussion (:P)

    Amicalement,
    Johann
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour Tigerfou.

    La réunion d'une suite croissante d'idéaux (plus généralement de structures algébriques groupes, anneaux, corps, modules) est un idéal. Simplement, les opérations ne font appel qu'à un nombre fini d'éléments, donc tu travailles toujours dans l'un des idéaux.

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    Ok, merci gb

    Je ne savais pas au juste où il mettait la barre. Sans récurrence, aucune, tu voudrais vérifier s'il n'y a pas une propriété des entiers qui implique que tout entier a un diviseur premier. Donc, je suppose exit aussi Bézout et compagnie?

    Prenons "X" qu'on suppose "supergrand" un peu à la façon de l'analyse non standard.

    On prend en plus les entiers standards (positifs et négatifs) et les polynômes en X à coef standards de sorte qu'on a une structure (un modèle) qui répond aux axiomes des entiers à part la récurrence.

    On continue ainsi, à chaque fois qu'on a un polynôme en X qui est déclaré diviseur de X, on lui rajoute des diviseurs qui sont déclarés supergrands aussi etc

    Je crois que ce qu'il voudrait c'est que ça s'arrête forcément sans qu'on ait besoin de le supposer comme axiome. Ca ne me parait pas très probable, mais bon, moi et l'arithmétique...

    En tout cas, ça ramène à l'étude des polynomes en une infinité d'indéterminées.

    Par ailleurs, pour prouver que N est noethérien (en fait euclidien), on utilise forcément la récurrence aussi, en prenant le premier élément de l'idéal.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • TigerFou
    TigerFou
    Bonjour,

    Bruno OK pour la suite croissante, mea culpa...

    Christophe Chalons je ne te suis pas du tout, d'autant que l'anneau des polynômes en une infinité d'indéterminées n'est pas Noethérien donc je ne vois pas trop le rapport.

    Dans le même thème, en creusant un peu je suis tombé sur un théorème, attribué à Wolfgang Krull, qui affirme que dans un anneau tout idéal à gauche (ou à droite) strict est inclus dans un idéal à gauche (ou à droite) maximal.

    On a donc un "caractère Noethérien" bien plus fort puisqu'un idéal n'a pas besoin d'être bilatère pour être inclus dans un idéal maximal...
    Dans ce cas comment un anneau pourrait-il ne pas être Noethérien ?
    Exemple : l'anneau cité plus haut n'est pas Noethérien, donc il y existe des idéaux qui ne sont pas inclus dans un idéal maximal (ie on peut construire une suite croissante infinie d'idéaux). Or ces idéaux, sont aussi des idéaux à gauche (ou à droite, peu importe puisque ça commute), donc sont inclus dans un idéal à gauche ou à droite, même bilatère en fait, et on a donc une contradiction !

    Question : Où ai-je pêché dans mon raisonnement ?

    Remarque : Wikipédia, qui d'ailleurs donne le théorème de Krull seulement dans le cas d'un anneau commutatif (ce qui revient à dire qu'un anneau commutatif est Noethérien ?), indique aussi que ce théorème est équivalent à l'axiome du choix.
    Cela confirme ce que tu disais Bruno.

    Amicalement,
    Johann
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour tigerfou.

    Voici un exemple d'anneau non noethérien : $$\prod_{n \geq 2}\big(\Z / (n\Z)\big)$$ une suite d'idéaux (principaux, s'il vous plaît ;)) non stationnaire est :$$I_p = \prod_{2 \leq n \leq p}\big(\Z / (n\Z)\big)$$

    Ton raisonnement pêche par le fait que l'existence d'une suite croissante infinie n'infirme pas l'existence d'un idéal maximal contenant tous les éléments de la suite.

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    Christophe Chalons je ne te suis pas du tout, d'autant que l'anneau des polynômes en une infinité d'indéterminées n'est pas Noethérien donc je ne vois pas trop le rapport.

    La noethérianité est une propriété très comparable à l'axiome de récurrence. Comme Bruno te le dit, les anneaux ne sont pas tous noethériens, et les idéaux des anneaux commutatifs sont tous inclus dans un idéal maximal (avec l'axiome du choix)

    Mais l'axiome du choix n'a pas d'effet sur les entiers.

    Ce que je voulais dire c'est que tu peux donc t'amuser avec la théorie suivante:

    Un ensemble N est muni d'une addition, d'une multiplication, qui sont commutatives, d'un ordre. Tout "nombre" qui est supérieur à x est supérieur ou égal à x+1. 0 est le plus petit élément, 1 le suit et est neutre pour la multiplication, etc.

    La multiplication distribue sur l'addition (comme pour les entiers).

    Et quelques autres trucs, sympas, mais pas la récurrence.

    Par ailleurs tu supposes: "il existe un élément a tel que pour tous élément u, si u divise a, u différent de a et différent de 1 alors u n'est pas premier".

    En définissant "y est premier" par "pour tout u,v tels que uv=y, u=1 ou u=y"

    Par un théorème de logique appelé "élimination des coupures" (lol publicité) ta théorie sera consistante (y aura pas de contradiction).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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