Maths : découverte ou invention ?
Salut,
C'est une question très classique que de se demander si les maths sont une découverte ou une invention. Mais voilà, je voudrai rédiger un petit papier sur le sujet pour mes étudiants (ou en donner un qui existe déjà). Si vous avez des arguments pour l'une ou l'autre de ces opinions, je suis preneur. Sinon vous connaissez peut-être un bouquin ou un article bien qui traite du sujet.
Merci d'avance pour vos suggestions,
Michal
PS. Je ne sais pas dans quelle partie du forum mettre cette question.
C'est une question très classique que de se demander si les maths sont une découverte ou une invention. Mais voilà, je voudrai rédiger un petit papier sur le sujet pour mes étudiants (ou en donner un qui existe déjà). Si vous avez des arguments pour l'une ou l'autre de ces opinions, je suis preneur. Sinon vous connaissez peut-être un bouquin ou un article bien qui traite du sujet.
Merci d'avance pour vos suggestions,
Michal
PS. Je ne sais pas dans quelle partie du forum mettre cette question.
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Réponses
Découverte et invention sont... synonymes. (il te suffira de lire la phrase de signature de GreginGre)
On peut inventer une île, un trésor, une planète.
A noter qu'une invention peut être un exploit, lorsque c'est le fait d'un huissier.
cordialement,
e.v.
Alain Connes et Jean-Pierre Changeux, Matière à pensée, Odile Jacob,1989
Il s'agit d'un dialogue entre un matheux et un biologiste , le sujet est de savoir si les mathématiques sont une invention de la pensée humaine ou qu'elles existent de façon intrinsèque .
Il doit sûrement exister d'autres textes sur ce sujet mais je crois que celui ci est un des plus connus .
Je ne suis pas d'accord avec ev, lorsqu'elle dit que découverte et invention sont synonymes.
La littérature, la musique, le cinéma relèvent de l'invention et de la création artistique.
La physique, l'archéologie, l'économie relèvent de la découverte et de l'observation scientifique.
Les mathématiques sont avant tout une science où l'objectivité et l'esprit d'analyse sont prépondérants mais où c'est vrai les créations (les plus pertinentes ou les plus oiseuses) sont historiquement nombreuses.
Il y a eu invention des mathématiques (et en particulier des nombres et des figures géométriques) comme il y eu invention des lettres pour des raisons très pratiques liées à la vie quotidienne des hommes ;
il y eu ensuite de la part des Grecs en particulier, conceptualisation
(recherche des propriétés des nombres et des figures géométriques) et c'est à ce moment que les math sont devenues une science et non simplement un outil de travail.
D'une façon générale les créations mathématiques ne deviennent découvertes que lorsqu'elles ressortent en sciences physiques ou sociales.
Les vecteurs dont Leibniz avait eu l'intuition ne sont devenus découvertes qu'au 19ème siècle lorsque les physiciens les utilisèrent en dynamique et mécanique.
La création des nombres complexes par les Italiens au 16ème siècle est devenue découverte que bien plus tard lorsqu'ils furent utilisés en électricité (courant alternatif) et en économie (pour l'illustration des cycles).
L'invention relève en psychologie de l'intuition, de la mémoire et du génie.
La découverte relève de la vérification, de l'objectivité, et de l'intelligence analytique.
Certains matheux (on pense à Euclide et Pythagore) étaient plutôt inventifs, d'autres (on pense à Descartes et Newton) étaient plutôt découvreurs. Leibniz et Euler étaient sans doute les deux.
Cordialement
[Jean, je me suis permis de te corriger pour le sexe de ev
On découvre l'Amérique, mais on ne l'invente pas. Inventer c'est presque créer ce qui n'était pas là avant. On invente des histoires.
Alors on invente les nombres je suis bien d'accord pour des raisons pratiques. Dans ces cas-là on a créé un outil et les nombres revêtent une dimension humaine. Ils n'existent que par nous.
En revanche, à la vue des nombreuses propriétés que l'homme a trouvé sur les figures géométriques et les nombres, on peut se demander si l'homme n'a pas découvert quelque chose. Si l'on croit au monde des Idées, alors on découvre les idées mathématiques.
Enfin voilà quelques idées. Après quand les idées réapparaissent dans les sciences, alors on a une représentation sensible de ces idées. Et c'est comme si leur découverte devenait possible...
Qui connaît un peu l'opposition Platon/Aristote ? Norbert Verdier en parlait un peu dans un hommage sur Fourier. Toute précision serait la bienvenue. Et puis si on est un peu empiriste...
Amicalement
Un texte intéressant sur ce sujet me semble être celui de Husserl : L'Origine de la géométrie. Voir aussi le commentaire de Derrida.
-- Schnoebelen, Philippe
citation: "La littérature, la musique, le cinéma relèvent de l'invention et de la création artistique."
Une remarque volontairement provocante:
n'importe quel livre, partition de musique,... se trouve dans un nombre univers. Il suffit d'avoir la patience de la découvrir!
Sinon il y a un article de Delahaye dans un pour la science qui présente ce thème de manière très pertinente.
Je suis d'accord avec nicolas.patrois. Il me semble que lorsqu'on définit un nombre premier, il y a en effet là une part d'invention (de se dire que ce sont précisément ces nombres là qui seront intéressants). En revanche, une fois que cette définition est posée et que l'on s'intéresse par exemple à leur répartition (et que l'on démontre que $\pi(x)\sim x /\ln x$), il y a là, pour moi, une découverte de quelque chose préexistant.
cédric3313131 : Tu peux me donner les références précises de l'article de Delahaye ?
Il me semble que lorsqu'on définit un nombre premier, il y a en effet là une part d'invention (de se dire que ce sont précisément ces nombres là qui seront intéressants). (...) il y a là, pour moi, une découverte de quelque chose préexistant.
Une définition n'a aucun caractère obligatoire, c'est souvent un concept que seul l'intelligence humaine peut apercevoir ou choisir. Ces concepts sont plus ou moins en puissance dans les postulats mais c'est l'homme avec son intelligence qui les fait émerger ou non. Quant au fait que les conséquences déductives de ces concepts préexistent, c'est selon, car ils dépendent de l'homme qui a exhibé le dit concept et c'est une conception toute platonicienne des mathématiques. Que dire des conséquences des concepts que l'homme ne trouvent pas alors qu'ils existent peut-être en puissance dans les postulats sachant qu'il n'y a certainement aucune méthode pour trouver tous les concepts intéressants (Problème de l'induction chez Popper et les autres).
-- Schnoebelen, Philippe
"du tout, c'est moi."
Le résultat est un théorème (2 courbes de degré respectifs n et p ont n×p "points d'intersection"), mais il a fallu tordre dans tous les sens la notion de "points d'intersection" au point que c'est à se demander si parfois on n'invente pas exprès certains concepts pour obtenir ce qu'on désire...
bonus:
Soit n un entier, X un espace topologique, Sn le groupe symétrique. Ce dernier fournit une action naturelle sur X^n (permutation des coordonnées). On munit X^n de la topologie produit et X^n/Sn de la topologie quotient (Ce dernier ensemble étant susceptible de représenter les parties à n éléments "éventuellement multiples" de X). Dans la pratique X sera P^2(C) muni de sa topologie usuelle (pas celle de Zariski).
Si P est un polynôme homogène de degré d à 3 indéterminées sur C, alors l'ensemble des zéros de P dans P^2(C) est le même que celui de aP avec a non nul, en outre si deux polynômes homogènes sans facteurs carrés ont même ensemble de zéros ils sont égaux (cf nullstellensatz). Désormais on assimilera l'ensemble des courbes de P^2 et de degré d à une partie de P^d
Exo (le corps de base est C. les topologies envisagées sont celles de la géo diff):
1)Soient p, q entiers. Montrer que l'ensemble E des (P,Q) avec d°P=p, d°Q=q, sans facteurs communs, ayant exactement pq points d'intersection, forme une partie dense de P^p x P^q (topo usuelle). (montrer qu'il contient un ouvert de Zariski à l'aide de résultants)
2) Montrer que l'application f:E->X^pq/Spq (voir intro) qui à (P,Q) associe le pq-uplet des zéros communs de P et Q, est continue.
3) Soit F l'ensemble des (P,Q) sans facteur commun, sans facteur carré, Montrer que f se prolonge à F par continuité. En déduire une notion "raisonnable" de nombre d'intersection.
4) (pénible) Montrer que le nb d'itersection défini dans 3) coïncide avec celui qu'on trouve dans la littérature usuelle (dimension d'un certain espace vectoriel).
5)L'hypothèse "sans facteur carré" sert-elle vraiment à quelque chose?
Je pense que le livre de Ian Stewart est assez intéressant sur cette question.
La nature et le nombre.
En observant la nature ou l'univers, ne trouve t'on pas une relation mathématique ?
Je pense que l'on découvre les mathématiques, et ses différentes propriétés pour des besoins de compréhension de notre environnement ou pour le transformer, depuis des millénaires..
Mais à ce jour, surement pas pour l'inventer ou le créer.
Pourrait-on dire que le tournesol à inventer les nombres, pour se développer de façon optimale8-) ??
Ne faudrait-il pas aussi s'entendre par ce qu'on appelle maths... Les nombres entiers, on peut dire qu'il suffit d'observer un mouton, on l'appelle 1, deux moutons etc, et on s'aperçoit que 1 moutons + 2 moutons ça correspond à 3 moutons.
Ensuite si on définit les entiers à l'aide des ordinaux, ça me parait être tout autre chose...les entiers non standrds existent-ils per se...mais cette question restera sans réponse à mon avis, pour longtemps.
Bonne soirée.
Cordialement.
Jean-Louis.
-- Schnoebelen, Philippe
Je pense que l'on découvre les mathématiques, et ses
différentes propriétés pour des besoins de compréhension de notre
environnement ou pour le transformer, depuis des millénaires. .
Aprés avoir posé des postulats, les théorèmes qui s'en déduisent
sont obligatoires et notre activité les découvre effectivement,
jusqu'au moment au moment où vous allez poser une définition
correspondant à un concept que vous voudrez entrer et celui là
vous ne le découvrez pas comme un théorème, bien sûr, vous
ressentirez peut-être confusément que c'est celui-ci qu'il faut
entrer et pas un autre, mais il ne dépend que de vous de l'entrer
ou de ne pas l'entrer ou de le modifier. Ainsi, deux types d'objets
ne sont pas obligatoires et ne se découvrent pas, ce sont les
postulats que vous posez au début et les définitions/concepts que
vous introduisez.
D'humeur philosophe, je remonte ce post car cette question est un sujet passionnant !
Un point de vue que je n'ai pas vu mentionné est que la question de l'existence ou non des objets mathématiques est en fait un non-sens, en soi. C'est comme de demander ce qu'il y avait avant l'origine du temps, cela n'a pas de sens !
D'après Poincaré, les mathématiques ne s'intéressent pas à la nature des objets, mais à leurs relations. Peu importe que des objets soient remplacés par d'autres, si leur relations, elles, ne changent pas.
On ne peut pas dire que les nombres entiers existent, mais les relations entre ensembles finis de même nombres cardinaux existent bien, et nous permettent de définir les nombres entiers cardinaux. Mais nous devons auparavant définir ce que sont un ensemble et son cardinal !
Comme l'illustre cet exemple, on définit la nature de quelques objets mathématiques par des conventions (axiomes, postulats, qui sont donc inventés), pour donner exactitude et sens aux liens toujours plus complexes que l'on découvre entre eux, et qui nous poussent alors à définir de nouveaux objets, etc.
Dans un autre registre, les objets réels que décrit la physique contiennent une infinité d'informations et sont des idées limites de nos descriptions qui ne peuvent être qu'approchées, de même que leurs relations (décrites à l'aide des mathématiques) qui devront toujours être affinées au fur et à mesure que l'expérience nous le suggèrera...
Amicalement,
Johann
On ne peut éluder la question des modalités de l'existence des objets mathématiques.
Quel est le registre de réalité des objets décrits par la physique ?
PS : Je me sens moi aussi d'humeur philosophe.
Lorsque je dis que l'on peut voir la question de leur existence comme un non-sens, je ne parle pas de l'existence des concepts, mais des objets que ces derniers représenteraient. Ceci est un point de vue très extrême, mais que je ne trouve pas insensé.
Toujours de ce point de vue, les concepts mathématiques que nous définissons (via axiomes, postulats), décrivent des objets qui n'ont ainsi aucune raison d'être réels même si comme le dit Jean-Claude {\og}les théorèmes qui s'en déduisent sont obligatoires et notre activité les découvre effectivement\fg. C'est pour cela que l'on a l'impression de leur réalité, parce qu'ils en découlent de façon obligatoire.
Les objets que tente de décrire la physique quand à eux nous sont imposés non pas par nos conventions, mais par la réalité elle-même (c'est ce que je voulais dire par autre registre), et nous ne pourront jamais que les approcher dans nos descriptions.
Autres avis :
Selon Riemann, certains concepts mathématiques peuvent décrire la nature d'objets réels (ainsi il considère que l'on peut donner à l'espace physique des propriétés topologiques, par exemple \footnote{voir \itshape{Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie}.}).
A contrario, Einstein (tout comme Poincaré) considère qu'aucun concept mathématique ne peux cerner la nature d'un objet réel de façon immuable ({\og}Pour autant que les propositions des mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu'elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité.\fg \footnote{voir \itshape{La géométrie et l'expérience}.}).
Remarque : Einstein définit néanmoins un axiome supplémentaire qui l'autorise à considérer la géométrie comme une science physique, ce que ne fait pas Poincaré.
Ravi de pouvoir partager cette humeur avec toi gb !
Amicalement,
Johann
Pleiomedia - 3, rue du Colonel Moll – 75017 Paris (F)
Madame, Monsieur,
Editeur de la revue ANAE, Approche Neuropsychologique des Apprentissages chez l’Enfant, nous publions notre premier livre .
Qui donc a inventé les mathématiques ? de Claire Meljac, avec de nouvelles illustrations d’Alexandre Melc.
Nous espérons que cette publication retiendra votre attention et que vous pourrez en informer vos correspondants.
Restant à votre entière disposition
Très cordialement
Catherine de Gavre
Directeur de la Publication ANAE et des Editions du Petit ANAE
Approche Neuropsychologique des Apprentissages chez l’Enfant
anae@wanadoo.fr
www.anae-revue.com
www.anae-revue.over-blog.com
ANAE formations
Les Editions du Petit ANAE
J'ai l'impression que je n'aurai pas la réponse à la question "qui a inventé les mathématiques" B-)-
(Par ailleurs, la référence à Cherpak, le propagandiste "nucléairophile" , paix à ses cendres, m'indispose un peu)
Quant à savoir est-ce que les mathématiques vivent quelque part dans le monde de perfection des idées attendant qu'on les découvre ou est-ce qu'elles sont une invention purement humaine, cette question reste entière
En clair : le langage est créé ; le concept est découvert.
Exemples ou analogies correspondants :
1) Un extraterrestre à l'autre bout de la galaxie divise la circonférence d'un cercle tracé sur une table plane par son diamètre et il compte en base 10... ->... Pi
2) La suite de Fibonacci était déjà visible sur une marguerite, avant se fasse écraser par un Paraceratherium
3) Seul méga-concept au monde qui ne dépende que de lui-même et qui n'a besoin que de lui-même pour se valider à tout jamais. Seule science qui ne décrit aucunement le monde réel (est-ce bien une science d'ailleurs, question de définition sûrement).
4) Aucune loi appartenant à une science décrivant le monde réel (biologie, cosmologie, méca Q...) n'est venu transgressé une loi mathématique, à l'inverse les mathématiques ont permis de faire des prévisions et des bouleversements majeurs dans toutes les sciences.
[Leonardo Fibonacci (1170-1250) a droit à sa majuscule et au respect de son patronyme
création, découverte et invention nous interpellent.
1. pourquoi ne pas commencer par rechercher leur étymologie
2. procéder à un relevé non exhaustif de leurs traits sémantiques et de procéder à une intersection éventuellement vide
3. rappeler les visions religieuses ou non du monde...
4. de circonscrire ainsi le champs d'application de ces mots...
et ainsi d'avoir peut-être une interprétation commune ou personnelle...
Quelques reflections...
Sincèrement
Jean-Louis
désolé même si ça fait mal
je comprend que on aurai bien aimé que ça soit un pur produit de l'espèce humaine au dessus de tout et jamais en dessous de tout
mais c'est faux
c'est comme ça
Bruno