QDL n°8: Haro sur Aareau
La « question du lundi » n°8, 10 novembre 2008: Haro sur Aarau !
A Aarau, qui deviendra deux ans plus tard la première capitale de la Suisse, le 19 septembre 1896 à 7 h 00, un jeune homme découvre un des exercices du baccalauréat :
« On donne un cercle de rayon r dont le centre se trouve à l’origine O d’un repère orthonormal. On considère les cordes de ce cercle perpendiculaires à l’axe des x. Les cercles ayant ces cordes comme diamètres, sont tangents à l’ellipse de demi axes 2 Sqrt [r] et r aussi longtemps que la distance p de leur centre à 0 ne dépasse pas une certaine valeur maximale. Démontrer cette proposition et déterminer la valeur maximale de p. ».
Sauriez-vous aider ce jeune homme ? Si besoin était de réveiller le compétiteur qui réveille en vous, le jeune homme était un certain Einstein.
Amicalement. Norbert.
A Aarau, qui deviendra deux ans plus tard la première capitale de la Suisse, le 19 septembre 1896 à 7 h 00, un jeune homme découvre un des exercices du baccalauréat :
« On donne un cercle de rayon r dont le centre se trouve à l’origine O d’un repère orthonormal. On considère les cordes de ce cercle perpendiculaires à l’axe des x. Les cercles ayant ces cordes comme diamètres, sont tangents à l’ellipse de demi axes 2 Sqrt [r] et r aussi longtemps que la distance p de leur centre à 0 ne dépasse pas une certaine valeur maximale. Démontrer cette proposition et déterminer la valeur maximale de p. ».
Sauriez-vous aider ce jeune homme ? Si besoin était de réveiller le compétiteur qui réveille en vous, le jeune homme était un certain Einstein.
Amicalement. Norbert.
Réponses
-
Bonjour Norbert.
Analytiquement la solution est facile :
Soit~$(h,0)$ les coordonnées du centre du cercle variable~$\mathcal C(h)$, ce cercle existe si, et seulement si $-r \leq h \leq r$. L'équation normale du cercle est :$$x^2 + y^2 - 2\,xh - (r^2 - 2h^2) = 0$$Les points caractéristiques sont donc les solutions du système suivant obtenu en dérivant l'équation du cercle~$\mathcal C(h)$ par rapport au paramètre:
$$\begin{array}{rcl}
0 &= &x^2 + y^2 - 2\,xh - (r^2 - 2h^2) \\
0 &= &2\,h - \,x
\end{array}$$
En substituant la valeur de $h$ en fonction de $x$ dans l'équation du cercle on obtient une équation cartésienne du lieu cherché:
$$\frac{x^2}{2\,r^2} + \frac{y^2}{r^2} - 1 = 0$$
En exprimant $y$ en fonction de $h$ on obtient les coordonnées des points caractéristiques :$$X = 2\,h, \qquad Y_\pm = \pm\sqrt{r^2 - 2\,h^2}$$Donc le contact est réel pour :$$|h| \leq \frac r{\sqrt 2}$$Les centres des cercles limites sont les centres de courbure aux sommets principaux de l'ellipse et ces cercles sont les cercles surosculateurs à l'ellipse en ses sommets principaux.
Bruno
P.S. As-tu une idée de la solution du jeune candidat bachelier ? -
Je ne résiste pas au plaisir de mettre une figure.
Le cercle vert de diamètre BB' est le cercle C(0).
Le cercle en pointillé est l'un des deux cercles limites, surosculateur à l'ellipse enveloppe (en rouge sur la figure).
Le cercle C(h) de centre I(h) est un cas de cercle de la famille pour lequel le contact avec l'ellipse est imaginaire.
Les cercles points D et D' dont les cercles de rayon nul de la famille.
L'excentricité de l'ellipse (1/sqrt(2)) amène deux résultats particuliers :
-- les centres de courbures en A et A' sont les milieux des segments [OA] et [OA']
-- Les centres de courbures en B et B' sont respectivement B' et B.
Bruno -
Bonjour Bruno;
Merci pour ta contribution illustrée.
Jean-Pierre Frieldelmeyer (que je salue) a mis la main sur la copie d'Einstein. Il en avait fait l'objet d'un exposé aux journées IREM à Lille, il y a quelques années. Une publication en est extraite. Voici les références (Je ne l'ai pas sous la main).
Auteur(s) : Friedelmeyer Jean-Pierre
Titre : Bulletin de l'APMEP. Num. 444. p. 63-71. La copie d'Einstein à l'épreuve de mathématiques du Bac.
Editeur : Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris, 2003
Résumé :
Einstein a passé sa "Maturitätsprüfung", l'équivalent de notre baccalauréat, en Suisse, près de Zurich, en1896 à l'âge de 17 ans et demi. L'auteur de l'article a retrouvé la copie d'Albert Einstein en mathématiques (le manuscrit et sa transcription par le professeur Dr H. Hunziker) et donne la traduction des énoncés, des solutions d'Einstein et des corrections des examinateurs.
Albert n'était pas le cancre que rapporte la légende. Il ne s'intéressait pas également à toutes les matières, mais pour sa copie de bac il a obtenu la note maximum 6 aussi bien en algèbre qu'en géométrie. Il est aussi intéressant de comparer les énoncés avec les épreuves actuelles.
Amicalement. Norbert. -
Pour ceux que ce sujet interesse je poste ici la copie du relevé de notes d'Einstein de sa "Maturitätsprüfung".
-
Bonjour à tous,
J'ai la traduction par Jean-Pierre Frieldelmeyer de la copie en question.
N'arrivant pas à faire fonctionner cette bourrique de scanner (1 partout) je pourrais en cas de crise en cas de guerre recopier à la main.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Quand même pas ev, merci.
Pour J. Merci de ta photocopie, j'ai la même dans une iconographie consacrée à A.E.
Bruno -
Avez-vous remarqué que les foyers de l'ellipse enveloppe sont les points D et D'?
Philippe Boulanger -
Je n'avais pas remarqué, sot que je suis. C'est probablement la clé d'une démonstration géométrique.
Bruno -
Un petit dessin de tout un tas de cercles, et leur enveloppe.
-
Si nous désignons la distance d'un tel cercle à l'origine par $p$, alors son rayon $\sqrt{r^2-p^2}$. Son équation est:
\begin{align*}
x^2 - 2px + p^2 + y^2 &= r^2-p^2\\
x^2 - 2px + y^2 &= r^2-2p^2
\end{align*}
Nos cherchons alors l'équation de l'enveloppe, c'est-à-dire l'intersection de deux tels cercles dont les $p$ diffèrent d'une valeur infiniment petite. Pour le point d'intersection, l'acroissement de $x$ et de $y$ qui découle de l'accroissement infiniment petit d$(p)$ doit entraîner une équation identique à $0$. Donc:
\begin{align*}
x^2 - 2px + y^2 - r^2 + 2p^2&= 0\\
x^2 - 2px + y^2 - r^2 + 2p^2 + (-2x + 4p)\textrm dp &= 0
\end{align*}
En soustrayant: $4p - 2x = 0$\\
et en remplaçant dans la première équation:
\begin{align*}
x^2 - 2px + y^2 - r^2 + 2p^2&= 0\\
x^2 - x^2 + y^2 - r^2 + \frac12 x^2&= 0\\
\frac12 x^2 + y^2 &= r^2
\end{align*}
Pour $x = 0 \; y= \pm r$; pour $y = 0 \;x= \pm r\sqrt2$\\
Nous devons maintenant encore examiner la condition pour laquelle un cercle du système est tangent à l'ellipse $\frac12 x^2 + y^2 = r^2$.
(A suivre...)
e.v. (Einstein Verbatim)Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Et Philippe (Boulanger) de se souvenir d'une colle au lycée Chaptal, il y a quelques années:
"Enveloppe des cercles ayant pour diamètre les cordes d'une ellipse parallèles à une direction donnée". indiquait l'énoncé.
N'est-ce pas Philippe?
Amicalement. N -
Merci beaucoup ev je vais la noter.
Chaptal, c'est là que j'ai fait ma prépa !
Alors une presque démonstration géométrique (suggérée par la magnifique figure de Remarque).
On considère un cylindre de révolution que l'on coupe par un plan oblique par rapport à l'axe ; on obtient ainsi une ellipse E. En chaque point du grand axe de celle-ci on mène le plan normal à l'axe du cylindre et, dans ce plan, on trace le cercle centré sur l'axe de l'ellipse et qui admet pour diamètre les deux points où l'ellipse perce le plan.
On obtient ainsi une quadrique (à justifier et là je ne sais pas le faire sauf avec l'analytique). En projetant le tout sur un plan normal à l'axe, les cercles se projettent en vraie grandeur et forment une famille plane centrés sur la projection de l'ellipse qui est une section normale du cylindre : un cercle. L'enveloppe de la famille plane de cercles est le contours apparent de la quadrique dans la direction de projection.
Comme il est clair que la quadrique est compacte, c'est un ellipsoïde et le contours est une ellipse.
Bruno
P.S. Je ne vois pas comment utiliser les foyers pour montrer, en géométrie plane, que l'enveloppe est une ellipse. -
Nous devons comparer directement les deux équations du cercle et de l'ellipse, et identifier les $x$ et les $y$ des deux équations:
\[\textrm{Ellipse: }\frac12 x^2 + y^2 = r^2 \qquad \textrm I\]
\[\textrm{Cercle: }x^2 - 2px + y^2 - r^2 + 2p^2= 0\]
$x=2p$ remplacé dans I $\qquad 2p^2 + y^2 = r^2\qquad y = \sqrt{r^2- 2p^2}$\\
Pour que la racine soit réelle, il faut $r^2 < 2p^2$ (sic) $\qquad p\sqrt2 < r\qquad p< \frac{r}{\sqrt2}$\\
Lorsque $p\geqslant \frac{r}{\sqrt2}$ alors il n'y a plus de contact avec l'ellipse.\\
Jean-Pierre Frieldelmeyer donne la référence suivante:
{\bf H. Hunziker} {\it Albert Einstein, Maturitätsprüfung in Mathematik, 1896}, Alte Kantonsschule Aarau (28 August 2000)
bonne chance...
Une question me taraude: Y a-t-il comme cela beaucoup de copies en circulation ?
J'ai eu beaucoup de mal à faire disparaitre mes notes de bac afin de ne pas être victime de chantages de bas étage. Faut-il aussi que je retrouve la trace des copies elles-mêmes avant que mes enfants ne soient trop grands et ne découvrent la triste vérité ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ev, c'est drôle que tu parles de chantage, car je voulais justement faire un sujet sur la corruption et le chantage en Hors Math.
Certains individus sont autorisé par les services secrets a corrompre (ou acheter) des gens. Une fois corrompu, ils (les services secrets) les font chanter.
Je viens d'apprendre (c'est relativement récent) que 2 membres de ma famille ont acheté un juge pour enfant en 1991, lorsque moi et mes frères étions mineur et suivit par ce juge pour enfant en question. Je ne sait pas si l'affaire est "passé" (pour ceux qui connaissent le terme). Inutile de dire que je suis littéralement sidéré. SIDERE.
J. -
"J'ai eu beaucoup de mal à faire disparaitre mes notes de bac" : hum, ev, pour faire ça, faut être dans les services secrets, non ?..
-
Ça dérape fort.
Bruno -
Je reviens sur la copie d'A.E. (merci encore ev).
Quand on cherche l'enveloppe d'une famille de courbes $C_\lambda$ avec $\lambda \in I$ avec $I$ intervalle de $\R$, les {\it points caractéristiques} d'une courbe de la famille sont les points de contact de cette courbe avec l'enveloppe. On peut les définir comme les points limites des points d'intersection de la courbe $C_{\lambda + p}$ et de la courbe $C_\lambda$ quand $p$ tend vers $0$ et c'est pour cette raison qu'E. résout un système de deux équations de cercles en introduisant un infiniment petit $dp$ et en négligeant celui du second ordre. La différence des premiers membres des deux équations donné l'équation de l'axe radical des deux cercles qui, si l'on ne néglige pas le terme de second ordre est :$$-2x + 4 + dp = 0$$et le passage à la limite donne alors l'abscisse des points caractéristiques sans problème. Il obtient bien l'équation de l'ellipse. La suite ne présente aucune difficulté. Je me demande pourquoi il n'accepte pas le cercle surosculateur correspondant à $p = \dfrac r{\sqrt 2}$ qui n'est même pas un cercle point. Je pense que cela justifie amplement le 5/6 ! "peut mieux faire" a du dire le président du jury.
Bruno
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Bonjour!
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