QDL n°25: une intégrale double

C'est dommage le 27 avril je serai à Paris et la copine qui m'héberge n'a pas internet...Mais c'est pour la bonne cause (oraux de concours).

Bonjour à tous.

Passant après une solution de grosse brute qui assomme le problème, il est difficile d'écrire une solution alternative intelligente.
Le but du jeu est de ne pas voir la symétrie fonction/ensemble d'intégration. Ce n'est pas évident !
Essayons...

On peut remarquer que $\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = \Re\left( \dfrac{1}{z^2}\right) $, en prenant $Q(x,y) = -\dfrac{1}{2}\dfrac{x}{x^2+y^2}$ et $P(x,y) = -\dfrac{1}{2}\dfrac{y}{x^2+y^2}$, on a
\begin{align*}
\dfrac{\partial Q}{\partial x}- \dfrac{\partial P}{\partial y} &= -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+y^2} + \dfrac{x^2}{(x^2+y^2)^2} +\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+y^2} - \dfrac{y^2}{(x^2+y^2)^2} \\
&= \dfrac{x^2}{(x^2+y^2)^2} - \dfrac{y^2}{(x^2+y^2)^2}
\end{align*}
D'après la formule de Green-Riemann,
\begin{align*}
\iint_{\mathcal D}\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x}- \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \,\textrm dx\,\textrm dy &=\int_{\partial \mathcal D} P\,\textrm dx+Q\,\textrm dy \\
&= \int_1^3 P(x,1)\,\textrm dx + \int_1^3 Q(3,y)\,\textrm dy - \int_1^3 P(x,3)\,\textrm dx - \int_1^3 Q(1,y)\,\textrm dy \\
&= -\int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+1}\,\textrm dx - \int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{3}{9+y^2}\,\textrm dy + \int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{3}{x^2+9}\,\textrm dx + \int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{y^2+1}\,\textrm dy \\
&= 0.
\end{align*}

amicalement,

e.v.