QDL n°25: une intégrale double

La question du lundi n°25 : une intégrale double

En devoir sur les intégrales multiples, aucun de mes étudiants n’a su intégrer $$\iint_{\mathcal D} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \mathrm dx \mathrm dy$$ où $\mathcal D $ est le carré $ABCD$ où $A(1,1), B(3,1), C (3,3)$ et $D (1,3)$.
J’avais emprunté cette intégrale à Cournot dans son traité d’analyse. Florilège de méthodes pour vaincre cette intégrale ?
Pour le « Comité du lundi », Norbert.
Amicalement.

PS : la question du lundi prend ses vacances. Prochain question, le lundi 27 avril 2009.
[Avec LaTeX, c'est plus attrayant. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par AD.

Bonjour à tous.

Passant après une solution de grosse brute qui assomme le problème, il est difficile d'écrire une solution alternative intelligente.
Le but du jeu est de ne pas voir la symétrie fonction/ensemble d'intégration. Ce n'est pas évident !
Essayons...

On peut remarquer que $\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = \Re\left( \dfrac{1}{z^2}\right) $, en prenant $Q(x,y) = -\dfrac{1}{2}\dfrac{x}{x^2+y^2}$ et $P(x,y) = -\dfrac{1}{2}\dfrac{y}{x^2+y^2}$, on a
\begin{align*}
\dfrac{\partial Q}{\partial x}- \dfrac{\partial P}{\partial y} &= -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+y^2} + \dfrac{x^2}{(x^2+y^2)^2} +\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+y^2} - \dfrac{y^2}{(x^2+y^2)^2} \\
&= \dfrac{x^2}{(x^2+y^2)^2} - \dfrac{y^2}{(x^2+y^2)^2}
\end{align*}
D'après la formule de Green-Riemann,
\begin{align*}
\iint_{\mathcal D}\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x}- \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \,\textrm dx\,\textrm dy &=\int_{\partial \mathcal D} P\,\textrm dx+Q\,\textrm dy \\
&= \int_1^3 P(x,1)\,\textrm dx + \int_1^3 Q(3,y)\,\textrm dy - \int_1^3 P(x,3)\,\textrm dx - \int_1^3 Q(1,y)\,\textrm dy \\
&= -\int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+1}\,\textrm dx - \int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{3}{9+y^2}\,\textrm dy + \int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{3}{x^2+9}\,\textrm dx + \int_1^3 \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{y^2+1}\,\textrm dy \\
&= 0.
\end{align*}

amicalement,

e.v.