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H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes

Envoyé par Norbert Verdier 
H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
H37 QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes

Jean Morlet (né à Fontenay-sous-Bois le 13/01/1931, mort à Nice le 27/04/2007), ancien élève de l'école Polytechnique (X1952), est un géophysicien français qui a été le pionnier dans le domaine de l'analyse des ondelettes en collaboration avec Alex Grossmann.

Jean Morlet était ingénieur de recherche chez ELF Aquitaine lorsqu'il "transforma" la transformée de Fourier pour créer l'analyse par ondelettes et résoudre des problèmes de traitement de signaux utiles dans le cadre de la prospection pétrolière, dans le domaine de la vibrosismique.

Ayant très vite compris l'importance de sa découverte, Jean Morlet a tenté de prévenir son employeur; malheureusement, Elf venait d'être la victime hilarante des "avions renifleurs"; plus que méfiant, Elf proposa alors à J.Morlet une retraite anticipée.

Le terme d'ondelette a ainsi été introduit par Jean Morlet et Alex Grossmann au début des années 1980, car la fonction de base oscille tout en s'amortissant, rappelant une petite vague. Ce terme d'origine française a ensuite été traduit en anglais par wavelet. Alex Grossmann (né en 1930) est un physicien croate, directeur de recherche au CRNS, qui travaillait au campus de Luminy (Aix-Marseille II).

J.Morlet est ainsi à l'origine du standard de compression d'images (norme ISO JPEG 2000) utilisant une transformation en ondelettes bien plus performante que la norme JPEG initiale: il n'y a plus de prédécoupage nécessaire de l'image en blocs [ JPEG= Joint Photographic Experts Group].


En pièce jointe, deux documents rédigés par Yves Meyer... et qui sont à l'origine de cet hommage.
Qui pouvait mieux raconter l'histoire des ondelettes qu' Yves Meyer, professeur de mathématiques à l'X dans les années 80 (Analyse hilbertienne) et qui a participé activement à cette aventure passionnante en créant entre autre (1985) l'ondelette de Yves Meyer $C^{\infty}$ appartenant à l'espace de Schwartz S(lR), aux côtés de J.Morlet, Alex Grossmann et Ingrid Daubechies.

La première publication sur le sujet: Decomposition of Hardy Functions into Square Integrable Wavelets of Constant Shape, rédigée par nos deux pionniers, se trouve ici:

[scitation.aip.org]

J.Morlet a obtenu en 2001 le premier Prix Chéreau Lavet - Grand Prix de l'Académie des Technologies.


En complément aux livres écrits par Yves Meyer sur le sujet, la leçon 42 (l'analyse des signaux par ondelettes) du livre: Analyse de Fourier et applications -Filtrage, calcul numérique et ondelettes de Claude Gasquet / Patrick Witomski chez Masson explique clairement le cheminement mathématique des ondelettes.


Demandant un jour à un ami X(52): "Qui est le "Poincaré" de ta promotion", mon ami répondit "certainement Jean Morlet"; c'est pourquoi nous rendons hommage aujourd'hui à un mathématicien décédé il y a tout juste deux ans...

{\bf L’hommage : }
En hommage à Jean Morlet, décédé il y a deux ans jour pour jour, nous vous proposons pour les trois ondelettes ci-dessous de:
\begin{enumerate}
\item Dessiner la courbe de l'ondelette,
\item Calculer sa transformées de Fourier,
\item Dessiner cette transformée de Fourier, ou le spectre d'amplitude $|\hat{f}(t)|$ pour l'ondelette de Haar qui n'est pas paire.
\end{enumerate}
Pour la transformée de Fourier, vous pouvez choisir celle de l'électronicien $\hat{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2i \pi tx}{f(x)} \, \mathrm dx$, celle du mathématicien $\hat{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i tx}{f(x)} \, \mathrm dx$ ou encore celle du physicien $\hat{f}(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-i tx}{f(x)} \, \mathrm dx$
\begin{itemize}
\item L'ondelette initiale de Jean Morlet $f(x)=e^{-\frac {1}{2}x^2} \cos (5x)$
\item Le chapeau mexicain, dérivée seconde de la gaussienne: $g(x)= -e^{-\frac {1}{2}x^2} $. Donc $ g"(x)=f(x)=(1-x^2)e^{-\frac {1}{2}x^2}$
\item L'ondelette de Haar: $f(x)= \begin{cases}
1&\mathrm{si\ }x\in \,]0;\frac 1 2[ \\
-1 &\mathrm{si\ }x\in \,]\frac 1 2;1[ \\
0 &\mathrm{sinon}\end {cases} $
\end{itemize}
Bernard p/o le Comité du Lundi.
Amicalement. Norbert.
[attachment 11960 HommageJeanMorlet.pdf]
[attachment 11961 smf_gazette_JM-YM1.pdf]


En pièce jointe, deux documents rédigés par Yves Meyer... et qui sont à l'origine de cet hommage.
Qui pouvait mieux raconter l'histoire des ondelettes qu' Yves Meyer, professeur de mathématiques à l'X dans les années 80 (Analyse hilbertienne) et qui a participé activement à cette aventure passionnante en créant entre autre (1985) l'ondelette de Yves Meyer $C^{\infty}$ appartenant à l'espace de Schwartz S(lR), aux côtés de J.Morlet, Alex Grossmann et Ingrid Debauchies .point

La première publication sur le sujet: Decomposition of Hardy Functions into Square Integrable Wavelets of Constant Shape, rédigée par nos deux pionniers, se trouve ici: ...

[Corrections faites selon vos indications. :) AD]
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Norbert Verdier écrivait:
-------------------------------------------------------
> aux côtés de J.Morlet, Alex Grossmann et Ingrid Debauchies ?

La pauvre Ingrid Daubechies a déjà un nom qui prête aux jeux de mots scabreux, pas la peine "d'ajouter l'insulte à l'injure" en le détournant du droit chemin :)
[Corrigé dans le message initial. AD]

Sinon, voilà un sujet en effet très intéressant, merci à vous deux ! Et le livre de P. Witomski et feu Claude Gasquet est un très bon livre. Bon assez parlé, je me lance dans les calculs tout de suite.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par AD.
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Les dessins pour la première ondelette (sauf erreur dans le script, mais ça semble raisonnable à vue de nez) :

L'ondelette
[attachment 11966 Image1.png]

Sa transformée de Fourier
[attachment 11967 Image2.png]


Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
La deuxième et j'arrête là, la dernière se calculant encore plus à la main que les deux premières...

[attachment 11968 Image1.png]
Ondelette

[attachment 11969 Image2.png]
Fondelette


bs
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Bonjour,

Monsieur remarque, merci pour tes réponses:
-> bien vu pour l'ondelette initiale de Jean Morlet,
-> pour l'ondelette en forme de "chapeau mexicain", as-tu tenu compte du signe moins devant exp(-x^2), afin que le "chapeau mexicain" ressemble à un chapeau mexicain ?

Amicalement.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par bs.
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Bonjour

En matlab j'ai ceci où psi désigne l'ondelette Gaussienne :

n = 1000;
t = linspace(-1,1,n);
psi = diff(exp(-t.^2/0.1));
figure(1)
plot(psi)
4
figure(2)
hatpsi = abs(fft(psi));
plot(hatpsi(1:100))
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Citation

-> pour l'ondelette en forme de "chapeau mexicain", as-tu tenu compte du signe moins devant exp(-x^2), afin que le "chapeau mexicain" ressemble à un chapeau mexicain ?

Ma foi non, en effet. Le plus simple est de retourner l'écran.

Allez, la dernière, nettement moins dans $\cal S$...

[attachment 11978 Image1.png]

[attachment 11979 Image2.png]
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Du coup j'ai fait les calculs, avec la transformée de Fourier du probabiliste : $\widehat{f}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f(x) \, dx$. Je trouve, dans l'ordre: $$\widehat{f}(t) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( e^{-(5+t)^2/2} + e^{-(5-t)^2/2} \right)$$ $$\widehat{f}(t) = -t^2 \sqrt{2\pi} e^{-t^2/2}$$ $$\widehat{f}(t) = 2i \frac{1 - \cos t/2}{t}$$ J'ai bon ?
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Citation

Du coup j'ai fait les calculs, avec la transformée de Fourier du probabiliste : $ \widehat{f}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f(x) \, dx$.

Ahlalala ! C'que ça fait mal aux yeux ! cool smiley
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Pff quel cinéma ! Surtout que toutes les transformées calculées sont paires...:P
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
N'empêche, n'empêche, on dirait une transformée de Fourier qui a attrapé la grippe porcine ! drinking smiley (Ca c'est pour désinfecter)
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Porcine toi-même !
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
M'en fous, je suis désinfecté. Et pis d'abord, l'ondelette de Haar, elle est pas paire, lalalalalère.
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
egoroff écrivait:
-------------------------------------------------------
> Surtout que toutes les
> {\bf transformées} calculées sont paires...:P

Et bim ! Et pis en plus contre la grippe porcine ça sert à rien de se désinfecter, ce qu'il faut c'est porter un masque, des gants, et rester tout seul chez soi.

Bon allez j'arrête de polluer le fil j'ai honte eye rolling smiley
bs
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Bonjour,

Il est vrai que ça fait un peu corporatiste ces quatre versions de la transformée de Fourier.

Est-ce que le grand egoroff a bon ?
-> ondelette de Jean Morlet : oui.
-> ondelette "chapeau mexicain": oui, sauf l'oubli du signe moins ( même étourderie que monsieur remarque ) dans le calcul de la dérivée seconde de $g(x)= -e^{-\frac {1}{2}x^2}$ ,$g"(x)=f(x)=(1-x^2)e^{-\frac {1}{2}x^2}$ ce qui donne $\widehat{f}(t) = t^2 \sqrt{2\pi} e^{-t^2/2}$
J'ai fait le poirier pour contempler le chapeau mexicain à l'endroit, le dessin est juste.
-> ondelette de Haar: $\widehat{f}(0) =0$ comme le montre le calcul du grand egoroff.

Amical remerciement.
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Merci Bernard pour la validation (mais "grand egoroff" ça me gêne un peu !) ; effectivement j'ai eu un gros doute pour le signe dans le cas du chapeau mexicain ! D'ailleurs il me semble qu'il manque un $(1-x^2)$ dans la formule non ?
bs
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Re,

Pour l'appellation, je n'ai fait que reprendre l'expression de Kito ;)

Le chapeau mexicain est la dérivée seconde de la gaussienne: $f(x)= -e^{-\frac {1}{2}x^2}$ , c'est à dire: $f''(x) = (1-x^2)e^{-\frac {1}{2}x^2}$

Tu connais Ingrid ?

Amicalement.
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Non je ne connais pas Ingrid (enfin, pas celle-là :) ) mais j'ai déjà croisé Yves Meyer et il a l'air sympa !

Ce qui serait chouette pour illustrer encore un peu le fil ce serait que quelqu'un nous calcule la transformée en ondelettes d'une image puis la transformée inverse. Je crois qu'on peut faire ça avec Matlab !
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Citation
bs
ondelette de Haar: $ \widehat{f}(0) =0$ comme le montre le calcul du grand egoroff.

En effet, il y a un bug dans mon calcul dans ce cas. Ya queq'chose qui cloche la d'dans, j'y retourne immédiatement.

Citation
egoroff
Ce qui serait chouette pour illustrer encore un peu le fil ce serait que quelqu'un nous calcule la transformée en ondelettes d'une image puis la transformée inverse.

Mais il y a plein de photos de Lena en ondelettes sur le web !
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Oui mais j'aurais trouvé ça plus amusant qu'un participant nous fasse la transformée d'une image particulière (par exemple, la photo de Manu :) ) plutôt que de recycler la sempiternelle Lena ! Du coup en cherchant "Lena wavelet" je suis tombé sur cette page : [www.ceremade.dauphine.fr] pleine d'illustrations et qui détaille le code Scilab nécessaire pour transformer/détransformer. Un volontaire pour nous faire un autre exemple ?
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
En attendant Lena ou autre créature affriolante en ondelettes, réparation d'une kolossale erreur dans mon script scilab pour l'ondelette de Haar : partie réelle, partie imaginaire, module :

[attachment 11999 Image1.png]

Edit : déplorable influence d'egoroff, c'est la TF du probabiliste ! Une solution : retourner l'écran dans un miroir pour regarder la courbe verte, et le remettre à l'endroit pour la noire et la bleue...sad smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par remarque.


bs
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Bonjour,

Merci pour cet intéressant lien vers Ingrid et pour cette transformée de Fourier (...probabiliste) de l'ondelette de Haar.

Amicalement.
bs
Re: H37 & QDL 26: Jean Morlet et ses ondelettes
il y a dix années
avatar
Bonjour à tous,

Yves Meyer, que j'ai contacté par courriel pour l'informer de cet hommage, m'a gentiment répondu que "l'article est bien fait."

Excellent dimanche.

[Merci Alain pour les différentes corrections que tu as effectuées :) ]
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