Annales de Gergonne (ADG1) ...

Titre initial : Annales de Gergonne (ADG1): un calcul de logarithmes au début du 19ème siècle

Bonjour à tous.
Nous allons bientôt fêter le bicentenaire des Annales de mathématiques pures et appliquées (1810-1832) de Joseph- Diez Gergonne (1871-1859). De nombreux problèmes, des auteurs de tous horizons, des avancées mathématiques importantes: de quoi nous occuper et nous amuser pendant quelque temps, comme l'a fait Norbert Verdier avec le Journal de Liouville (tiens, au fait, si on en profitait pour saluer son travail très honoré la semaine dernière par un prestigieux jury de thèse à Orsay?).
Je n’ai pas le savoir faire de Norbert, ni sa régularité, mais je vous propose de nous y mettre tous ensemble, et de poser des questions, proposer des solutions et réponses autour de ces Annales de Gergonne. Comme nous sommes dans la rubrique « histoire des maths », elles peuvent être mathématiques, mais aussi concerner des éléments d’histoire, de biographies, etc. Disons qu’on va les dénommer ADG (pour Annales de Gergonne), et voici l’ADG1.
Elle nous est posée par Jean-Baptiste-Etienne Dubourguet, dans le tome 2 (1811-1812). Ne vous fiez pas à ce que vous trouverez sur le Net concernant Dubourguet, y compris à ce que j’y ai moi-même écrit : après quelques séances au Archives Nationales et l’aide des descendants de cet officier royaliste devenu mathématicien bonapartiste, il va falloir que je corrige pas mal de contre-vérités à son sujet. Ceci dit, si certains parmi vous ont des éléments inédits sur la vie tourmentée de cet étonnant personnage...
En attendant, vous trouverez d’abord en images jointes deux formules de son cru (formules C et D), puis deux formules de Gergonne (C’ et D’) déduites de celles-ci, et dont il affirme que : « ce qui rend surtout précieux le concours de ces deux formules, c’est que, la première étant toujours fautive par défaut et la seconde par excès, leur emploi simultané peut seul faire connaître la limite de l’erreur que peut donner l’usage de l’une ou de l’autre ».
Excellents exercices à donner à nos élèves ou à nous-mêmes que :
1. De redémontrer les formules C et D
2. De trouver par quel changement de variable Gergonne en déduit C’ et D’.
3. De vérifier son affirmation sur l’encadrement de plus en plus précis de ln(u) grâce à C’ et D’ (ln s’écrit l à l’époque, comme on le voit dans les formules), et chercher à quel rang les pousser pour obtenir une approximation donnée à l’avance et deux valeurs de t et u « très grandes et très voisines » comme le stipule aussi Gergonne.
Pas si simple…..
Bon courage,
Christian