Annales de Gergonne (ADG2): pb d'arithmétique
Pour tous les "Gergonnophiles" (dont je suis, malheureusement):
En 1812, notre cher Gergonne proposa à ses perspicaces lecteurs le petit problème suivant :
"On demande quatre nombre pairs, en progression arithmétique, tels qu'en multipliant la somme des trois derniers par la somme des deux du milieu, on obtienne un produit égal au cube d'un moyen arithmétique entre les deux premiers de ces quatre nombres."
Il faudra les efforts conjugués de quatre de ses perspicaces lecteurs pour donner une solution quelques mois plus tard. Celle-ci (bientôt ici) est élégante, mais peut-être en avez-vous d'autres ?
En tout cas, c'est un bel exercice pour nos élèves de terminale ou d'ailleurs...
A suivre...
Amicalement,
C.G.
En 1812, notre cher Gergonne proposa à ses perspicaces lecteurs le petit problème suivant :
"On demande quatre nombre pairs, en progression arithmétique, tels qu'en multipliant la somme des trois derniers par la somme des deux du milieu, on obtienne un produit égal au cube d'un moyen arithmétique entre les deux premiers de ces quatre nombres."
Il faudra les efforts conjugués de quatre de ses perspicaces lecteurs pour donner une solution quelques mois plus tard. Celle-ci (bientôt ici) est élégante, mais peut-être en avez-vous d'autres ?
En tout cas, c'est un bel exercice pour nos élèves de terminale ou d'ailleurs...
A suivre...
Amicalement,
C.G.
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Réponses
14+18+22=54
14+18=32
32*54=1728
(10+14)/2=12
123=1728
0, 144, 288, 432
En écrivant les termes sous la forme: x-3r, x-r, x+r, x+3r, on obtient:
f(x)=(x-2r)3-6x(x+r)=0
Le reste du travail est fait par Excel: pour chaque valeur de r, je fais calculer f(x) pour les valeurs entières de x. Je me suis arrèté à r=72, faute de temps.
Pas le temps non plus de faire une étude plus arithmétique.
6,6,6,6
14,70,126,182
70, -10, -90, -170
Et la recette (un peu cachée), si je ne me suis pas trompé :
Soient $2a,2(a+r),2(a+2r),2(a+3r)$ les quatre entiers pairs en progression arithmétique. La condition biscornue imposée revient à:
$$12(a+2r)(2a+3r) = (2a+r)^3\;.\qquad\eqno{(1)}$$
On cherche donc les solutions entières de cette équation. Posons $k=a+2r$, $\ell=2a+3r$. L'équation (1) se transforme en
$$12 k\ell = (3\ell-4k)^3\;.\qquad\eqno{(2)}$$
Puisque la matrice $\left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 2&3\end{array}\right)$ est inversible sur les entiers, il revient au même de chercher les solutions entières de (1) ou les solutions entières de (2). En considérant (2) modulo 3, on voit qu'on doit avoir $k=3m$, et modulo 2 on voit qu'on doit avoir $\ell=2n$. On arrive ainsi à
$$ mn=3(n-2m)^3\;.\qquad\eqno{(3)}$$
Soit $d$ le pgcd de $m$ et $n$ ; on a $m=ds$ et $n=dt$ avec $s$ et $t$ premiers entre eux, et on est ramené à chercher $s$ et $t$ premiers entre eux tels qu'il existe $d$ entier vérifiant
$$ st= 3d(t-2s)^3\;.\qquad\eqno{(4)}$$
Soit $p$ un diviseur premier de $t-2s$. Il ne peut pas diviser $s$, car sinon $s$ et $t$ ne seraient pas premiers entre eux. Il divise donc $t$, par conséquent il divise $2s$ et finalement on a $p=2$. On conclut que $t-2s = \pm 2^\alpha$.
Si $\alpha=0$, n'importe quel $s$ convient. Si $s$ est divisible par 3, prendre $t=2s\pm1$ et $d=s(2s\pm1)/3$. Si $s$ est congru à 1 modulo 3, prendre $t=2s+1$ et $d=s(2s+1)$. Si $s$ est congru à 2 modulo 3, prendre $t=2s-1$ et $d=s(2s-1)/3$.
Si $\alpha=1$, n'importe quel $s$ congru à 1 modulo 4 tel que $s(s-1)$ est divisible par 3 fait l'affaire (c.-à-d. $s$ congru à 1 ou 9 modulo 12), avec $t=2(s-1)$ et $d=s(s-1)/12$, ainsi que n'importe quel $s$ congru à 3 modulo 4 tel que $s(s+1)$ est divisible par 3 fait l'affaire (c.-à-d. $s$ congru à 3 ou 11 modulo 12), avec $t=2(s+1)$ et $d=s(s+1)/12$.
Si $\alpha\geq 2$, alors $t= 2s\pm 2^\alpha$, avec $s$ impair, devrait être divisible par $8^\alpha$, ce qui est impossible.
J'ai surtout essayé de relancer un sujet qui semble intéressant.
Mais je suis trop occupé (enseignement et administration) en cette rentrée pour aller plus loin.
Je compte sur vous (même si cela ne vaut pas Goldbach).
Domi
EDIT : ça marche même directement sur le message . J'aurais juré que ça ne marchait pas il y a 5 minutes ::o
Il nous manque la solutions triviale :
0 0 0 0
Sinon,
6, 6, 6, 6, 6 ;
10, 14, 18, 22 ;
14,70,126,182 et
0, 144, 288, 432
sont effectivement les quatre autres. J'avais oublié que l'énoncé ne demandait (implicitement, mais c'était toujours le cas à l'époque, sauf précision contraire) que des solutions constituées d'entiers naturels, ce qui élimine la solution 70, -10, -90, -170 de Meu.
Je vois en tout cas, Richard, qu'Excel est un peu défaillant... autant que moi puisque, avant de découvrir la solution de 1812 de Du Bourguet (alors professeur au lycée Impérial, l'actuel lycée Louis le Grand), Cardinali (alors professeur à Trévise), Lanjuinais (alors professeur à Rodez) et Le Grand (alors élève de l'Ecole Normale), je n'avais aussi que deux solutions.
Leur solution est assez élégante et pour vous mettre l'eau à la bouche, je vous en donne le début:
ils appellent 2x le premier terme et 2y la raison de la suite. Puis, deux lignes plus loin: 2x + y = z et 6y = t. Ils résolvent une équation en t de degré 2 dont les solutions dépendent de z et font un autre changement de variable.
Cette solution est en ligne sur Internet, évidemment, mais défense de tricher... sourire.
$$\begin{array}{c|c}
a&r\\
u (3 u + 4) (6 u - 1)& -2 u (3 u + 1) (6 u - 1)\\
3 (3 u + 2) (2 u + 1) (u + 2)& -6 (3 u + 2) (2 u + 1) (u + 1)\\
3 u (4 u + 3) (12 u + 1)& -6 u (4 u + 1) (12 u + 1)\\
(3 u + 2) (4 u + 3) (12 u + 17)& -2 (3 u + 2) (12 u + 11) (4 u + 3)
\end{array}$$
Parmi celles-ci, très peu de solutions où les quatre termes de la progression sont positifs ou nuls : $u=0,-1$ pour la première famille (0,0,0,0 et 14,70,126,182), $u=-1,-2$ pour la deuxième (6,6,6,6 et 0,144,288,432), $u=0$ pour la troisième (0,0,0,0), $-1$ pour la quatrième (10,14,18,22).
Cordialement
Marc Couturier
Vous nous donnez finalement la réponse complète et la plus "proche" de celle rédigée à l'époque. Souhaitez-vous que je publie ici le fac-simé de cette réponse "historique" donnée dans les Annales? A moins que nous en fassions une rubrique dans un prochain numéro de Quadrature (rubrique qui aura bientôt un lien sur les-mathematiques.net), en l'agrémentant d'autres sujets du même genre et de références historiques (auteurs, contexte) que les amateurs comme vous de tels sujets d' "arithmétique" pourraient proposer d'abord ici, sur ce forum...
Bien cordialement,
Christian Gérini
Habitant de l'est (90), j'ai acheté les deux premiers numéros de Quadrature en avril 2009 à la boutique de la Cité des Sciences de La Villette, lors d'une visite en compagnie de ma femme et mes deux filles. Ces deux premiers numéros étaient le début d'une "saga" sur les fractions continues. Saga qui m'a invité à continuer et permis de ne manquer aucun numéro. (Un grand merci à François Jaboeuf, auteur des articles). Comme vous l'avez proposé, il serait donc intéressant de faire découvrir aux lecteurs de Quadrature, les annales de Gergonne, comme j'ai pu le faire par hasard sur le forum de discussion "les-mathématiques.net".
Cordialement
Marc Couturier
Je pense que les lecteurs de Quadrature (comme les "accros" de ce forum ) sont déjà familiers des Annales de Gergonne, mais il est vrai que je pourrais proposer un papier de présentation de ce journal "historique" sur lequel je travaille depuis... 15 ans! De même que Norbert Verdier pourrait présenter le Journal de Liouville sur lequel il a fait un travail considérable. Peut-être pourrions-nous simplement renvoyer les lecteurs à notre papier commun intitulé "Les deux premiers journaux mathématiques français" sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ . Ces journaux de maths du 19ème siècle sont d'une richesse étonnante, et nous n'avons pas fini d'en découvrir les trésors. D'où les questions que nous aimons poser ici de temps en temps... tout en espérant que d'autres passionnés iront parcourir ces périodiques et poseront à leur tour ici des questions issues de leurs pages.
Le suite à ...la prochaine question!
Bien cordialement,
Christian.
On écrit les nb a, a+r, a+2r, a3r et on a la relation f(a,r) = 0
Avec DERIVE ou un autre logiciel par la fonction SUBSTITUER on donne une valeur à a ou à r on a alors une équation en r ou en a que l'on résout. On ne retient que les racines entières. Evidemment il faut essayer différentes valeurs.
Cordialement
koniev
En notant a le 1er nb et r la raison on arrive à une équation f(a.r) = 0.. Avec DERIVE ou un autre logiciel on utilise la fonction SUBSTITUER et on change a ou r par une valeur numérique on a alors une équation en r ou en a qu'on résout, on ne garde que les racines entières..
Cordialement
Koniev