QDM 11: une belle Bulgare!
Bonjour;
Vous avez été attiré par l'appel de la Bulgarie.
La voici :
Résoudre dans $\N$ l'équation diophantienne suivante: $$x^2+y^2=2009(x-y)$$
Question subsidiaire: que vient faire la Bulgarie dans cette affaire?
Bernard p/o le Comité du mardi. Amicalement. Norbert.
Vous avez été attiré par l'appel de la Bulgarie.
La voici :
Résoudre dans $\N$ l'équation diophantienne suivante: $$x^2+y^2=2009(x-y)$$
Question subsidiaire: que vient faire la Bulgarie dans cette affaire?
Bernard p/o le Comité du mardi. Amicalement. Norbert.
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Réponses
Reste à étudier toutes les décompositions de $8072162$ comme sommes de deux carrés.
que s'est-il passé en 1764 ?
S
(j'en trouve 4 aussi dans $\mathbb{N}$)
En écrivant x=y+k, on se ramène à une équation du second degré en y qui dépend du paramètre k. Le discriminant doit être un carré.
($x=2205, y = -1764$) et ($x=2205, y=-245$) sont effectivement solutions...mais pas dans $\N$.
$1764$ = décès de Goldbach.
Bonne nuit.
2y2+2ky+k2-2009k=0
Le discriminant réduit est d=k(4018-k)
En posant k=2009+r, on a: d=20092-r2
On a les décompositions: 20092=20092+02 et
20092=4412+19602
Les cas à examiner sont: r=0, r=+-2009, r=+-441 et r=+-1960.
Solution de RAJ traduite en Latex:
En posant $x=y+k$, on arrive à l'équation du second degré
$2y^2+2ky+k^2-2009k=0 $
Le discriminant réduit est$ d=k(4018-k)$
En posant $k=2009+r$, on a: $d=2009^2-r^2$
On a les décompositions: $2009^2=2009^2+0^2$ et $2009^2=441^2+1960^2$
Les cas à examiner sont: $r=0$, $r=+-2009$, $r=+-441$ et $r=+-1960$.
Remarque: Pour que les solutions soient dans $\N$, il est effectivement nécessaire que $d$ soit un carré, disons $d=m^2$, on est alors amené à résoudre l'équation diophantienne $m^2+r^2=2009^2$ qui n'admet effectivement aux permutations près que deux solutions (ceci restant à démontrer sans le sirop d'érable...) $2009^2=2009^2+0^2$ et $2009^2=1960^2+441^2$. Il y a ainsi sept cas à examiner.
Merci Guego et samok de confirmer, à l'aide du sirop de Maple, qu'il n'existe que 4 solutions dans $\N^2$ dont deux dans $\N^{*2}$.
Une autre méthode conduit aux solutions.
Amicalement.
Résoudre 20092=a2+b2 est très rapide avec Excel.
Remarquons que si (x,y) est solution, il en est de même de (-y,-x).
(245,196) donne aussi (-196,-245) qui donne (2009+196,-245)=(2205,-245) etc.
(x,y) solution ===> (2009-x,y) solution
Partons de la solution évidente (0,0)
On a ensuite: (2009-0,0)=(2009,0) solution, puis (0,-2009) solution, puis (2009-0, -2009) =(2009, -2009)solution, ce qui donne 4 des solutions énoncées par Guego
Partons de la solution (245,196). On a successivement les solutions suivantes:
(-196,-245)
(2009+196,-245)=(2205,-245)
(245,-2205)
(2009-245,-2205)=(1764,-2205)
(2205,-1764)
(2009-2205,-1764)=(-196,-1764)
(1764,196)
(2009-1764,196)=(245,196) (retour à la solution initiale).
On a les 8 autres solutions de Guego.
Merci pour toutes vos réponses.
Cet exercice a été posé lors des Olympiades de Mathématiques de Bulgarie en 1997, ce n'était donc pas 2009 qui figurait dans l'équation.
Les étudiants n'avaient ni Excel, ni Maple à leur disposition
Une solution:
En multipliant l'équation initiale $x^2+y^2=2009(x-y)$ (à résoudre dans $\N$) par $2$ , puis en passant tout à gauche:
$(x+y)^2+(x-y)^2-2*2009(x-y)=0$ <==>
$(x+y)^2+[(y-x)+2009]^2=2009^2 \\\\\ (1)$
Avec les conditions $x>y\geq0$ et $(1)$, il n'est pas difficile de vérifier que $0 \leq x+y \leq 2009$ et $0 \leq (y-x)+2009 \leq 2009$.
On est ainsi amené à rechercher des triplets pythagoriciens vérifiant : $A^2+B^2=C^2$, c'est à dire:
$A= K(u^2-v^2), B= 2Kuv, C=K(u^2+v^2)$ avec $u>v \geq 0$ et $(u,v)=1$.
On sait que $C=2009=7^2.41$, donc $K \in \{1,7,41,49,7.41,2009\}$
[Il est vrai que l'année $1997$ était "première", ce qui donnait moins de $K$ à examiner pour nos jeunes Bulgares.]
...enfin, reporter les valeurs de $A$ et $B$ dans les deux systèmes:
$\left \{ \begin{array}{rcl} A &=& x+y \\ B &=& y-x+2009 \end{array} \right.$ et $\left \{ \begin{array}{rcl} B &=& x+y \\ A &=& y-x+2009 \end{array} \right.$
On voit alors apparaître la structure des solutions proposées par nos amis RAJ (qui se fait malheureusement rare) et Sylvain.
Pour $y=\dfrac{A+B-2009}{2}$, $x=\dfrac{A-B+2009}{2}$ ou $x=\dfrac{B-A+2009}{2}$
Allons-y, par exemple,
-> pour $K=1$ ==> $u^2+v^2=2009$ ==> $\dfrac{2009}{2}<u^2<2009^2$ ==>$13$ essais ==> $(u=35,v=28)$ ==> $(A=441,B=1960)$ ==> $(x=245,y=196)$ ou $(x=1764,y=196)$
-> pour $K=7$ ===> $u^2+v^2=287=7^1.41$
Pas de solution suite au théorème des deux carrés: Un entier naturel $n$ est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers congrus à $-1$ modulo$(4)$ figure avec un exposant pair.
-> pour $K=41$, apparition des deux solutions $(0,0)$ et $(2009,0)$
-> pour $K=49$, à nouveau $(245,196)$ et $(1764,196)$.
-> pour $K=7.41, 2009$, pas de solution.
Amicalement.