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QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?

Envoyé par Norbert Verdier 
QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
Finis les soldes ! En première page du cours de Liouville (en 1868 à la faculté des sciences) pris par Tisserand et dans les archives de l’école polytechnique, est notée cette question (agrégation 1867) :

Lieu des points tels que si de chacun d’eux on mène des tangentes à une ellipse donnée, ces tangentes interceptent un segment de longueur constante sur une droite donnée dans le plan de l’ellipse.

Auriez-vous été agrégé en 1867 ? Le ou les lauréats auront leur solution exposée dans l’exposition Liouville actuellement dans le hall de l’école polytechnique. (Cf. [www.sabix.info])

Amicalement Norbert (Pour le Comité Du Mardi).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par Norbert Verdier.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé en 1867?
il y a onze années
Norbert, c'est une belle question. Elle me séduit beaucoup. J'attends des propositions de réponse avec impatience.

J.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé en 1867?
il y a onze années
Bonjour Jolt;

Les livres de physique promis partent demain. Bien à toi. N!
bs
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé en 1867?
il y a onze années
avatar
Bonjour,

Norbert, j'en connais quelques uns qui ne l'auraient pas obtenue cette agrégation, mais je ne nommerai personne ;)

Amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par bs.
Par un changement de repère affine, on peut supposer l'ellipse $E$ d'équation $x^2+y^2=1$ et la droite $\Delta$ d'équation $x=a$.

Donnons nous un point $(u,v)$ du plan et un point $(a,t)$ de $\Delta$. La droite qui les joint a pour équation $\alpha x+\beta y+\gamma=0$ avec $\alpha = v-t$, $\beta=a-u$, $\gamma = ut-va$. En rentrant ces valeurs dans l'équation tangentielle $\alpha^2+\beta^2-\gamma^2=0$ de $E$, on obtient une équation du second degré en $t$ de la forme $At^2+Bt+C=0$ où $A,B,C$ sont des polynômes en $u,v$ de degré $2$. On écrit ensuite que le carré de la différence des solutions en $t$ est une constante $c^2$ : $B^2-4AC= c^2 A^2$, ce qui est l'équation d'une quartique en $u,v$, avec paramètres $a$ et $c$. Que dire d'intelligent sur cette quartique?
gb
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Qu'elle est bitangente à \(\Delta\) en son point à l'infini ?
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
> Norbert, j'en connais quelques uns qui ne l'auraient pas obtenue
> cette agrégation, mais je ne nommerai personne.

Mmouais, mais ils étaient pas beaucoup d'agrégés en 1867 à savoir ce qu'est un espace de Hilbert!
Oui gb. Aussi qu'elle est symétrique par rapport à l'axe des $u$ parallèlement à l'axe des $v$, qu'elle passe par les points $(1,0)$ et $(-1,0)$ ... Bon mais à part ça?
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Bon, c'est clair que je n'aurais pas eu l'agreg de géométrie (*) , mais quand même j'aimerais au moins comprendre l'énoncé: ça veut dire quoi "interceptent un segment de longueur constante" ?

(*) Pour aller dans le sens de Lucas, je ne suis pas sûr que Liouville était un pro de Scilab non plus.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
En 1867, d'après la base de données d'André Chervel, les lauréats de l'agrégation (maths, hors enseignement spécial) étaient :

mathématiques :
*Didon (François), *Bourdeaux (Stanislas, Hyacinthe), *Maillard (Nicolas), **Combette (Eugène), **Jarrige (Adolphe)

A défaut de connaître les espaces de Hilbert, ils auraient pu connaître le petit David Hilbert. Il avait cinq ans et jouait alors sur les ponts de Königsberg. (?). Amicalement. Norbert.
bs
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Bonjour,

Un cas particulier: dans le cas où l'équation de la droite $\Delta$ est $x=a=1$, alors le cercle $x^2+y^2=1$ devient le cercle inscrit du triangle $MT_1T_2$ avec $T_1T_2=c$ sur la droite d'équation $x=1$. J'ai essayé d'exploiter ce cas particulier à l'aide des relations métriques du triangle en faisant intervenir $r=1$ mais sans grand succès.

Amicalement.
BlackCompass
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
bonjour, amicalment

cela se dessine-til avec cabri ??
Bonjour bs,

Quand la droite $\Delta$ est tangente à l'ellipse $E$, le lieu donné par l'équation se décompose en la droite $\Delta$ comptée deux fois et une conique. On peut sans doute déterminer géométriquement cette dernière conique.

Quant à faire des dessins, ça peut se faire en tout cas sans problème avec geogebra, et sans doute aussi avec cabri. En voici un exemple (le lieu est en rouge).
[attachment 14565 quartique.png]


Comme on le voit sur le dessin, non seulement la quartique passe par les points de coordonnées $(1,0)$ et $(-1,0)$ dans le repère choisi, mais elle est tangente au cercle en ces points (c'est forcé par la symétrie);
bs
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Bonjour,

Merci Zo!, une partie de la quartique que tu dessines fait un peu penser aux conchoïdes de Nicomède ?
...cas 0<a<b, ici chez Robert.

Amicalement.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
Errata:

En 1867, d'après la base de données du Comité Du Mardi, ont été agrégés ;

Zo!, gb & bs

Des éléments de correction vont être proposés et exposés dans une des vitrines de l'école polytechnique consacrées à Liouville (en cours). Le carnet (manuscrit) de cours de Tisserand est exposé avec en première page le texte de l'agrégation 1867. J'y ferai insérer une feuille récapitulative. Est-ce gênant si je fais apparaître vos noms (zo! si tu veux me contacter par message privé à ce sujet).

Je profite de ce message pour remercier vivement les modérateurs d'avoir effacé des interventions inhospitalières car dépourvues de toute esprit constructif et collaboratif, celui qui doit prévaloir lors des Questions Du Mardi. Amicalement. N!
db
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
Norbert, j'aimerais savoir si vous avez seulement les énoncés ou également soit des copies de ceux qui ont réussi le concours soit un corrigé de l'époque. En particulier, savez-vous si les correcteurs de l'époque attendaient une réponse rédigée comme l'a fait Zo ou est-ce que l'on écrivait les choses autrement?

db

[Edit : Norbert fait allusion dans le message qui suit à une partie de mon message que j'ai effacée : il ne s'agissait que d'un malentendu, qui a été dissipé.]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par db.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
Cher monsieur;

En l'espèce, je n'ai que l'énoncé mais il doit être possible de trouver les copies des candidats (dans les dossiers adéquats des archives nationales) soit dans les journaux de l'époque comme les Nouvelles annales de mathématiques. Ce serait une recherche à faire. De toutes façons la rédaction de l'époque n'est pas celle d'aujourd'hui. Je ne souhaite pas revenir sur les circonstances que vous évoquez en début de message, je ne perds jamais d'énergie sur de telles choses. Seul le constructif et le collaboratif m'intéresse.[Comme le signale db dans son dernier message, cette phrase découle d'un malentendu entre nous, un malentendu dissipé et du domaine du passé désormais. :)] Si c'est dans cet esprit que vous venez vous êtes le bienvenu. Bien à vous. NV.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Norbert Verdier.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Bonjour,

N'est-il pas possible qu'il y ait des points sur la courbe à gauche du cercle, c'est-à-dire dans la région $x< -1$ pour certaines valeurs de la longueur du segment ?
J'imagine que c'est pour $c>2$.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
Par un changement de repère affine, on peut supposer l'ellipse $ E$ d'équation $ x^2+y^2=1$ et la droite $ \Delta$ d'équation $ x=a$.

Je suis admiratif devant la solution de Zo! qui a bien vu que le problème était de nature affine et non métrique.
On aurait pu le reformuler ainsi:
Soit $\Gamma$ une conique du plan affine (réel ou non).
Soit $D$ une droite du plan.
Soit $\tau$ une translation laissant $D$ globalement invariante.
Pour tout point $M$ du plan, on appelle $\mathcal F_M$ le faisceau des tangentes à $\Gamma$ issues de $M$.
Quel est le lieu des points $M$ du plan affine tels que: $\mathcal F_M \cap D = \{m, \tau(m)\}$?

amicalement
Pappus
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Si $c>2$, n'y a-t-il pas deux branches asymptotiques inclinées d'un angle $\alpha$ par rapport à la droite avec $\sin \alpha = 2/c$ dans le repère de Zo! ?
Bonjour Marco,

La réponse est facile en inspectant l'équation de la quartique, précisément sa partie homogène de degré 4 qui est $u^2(4v^2+(4-c^2)u^2)$. Tu vas avoir des points à l'infini dans la direction de $\displaystyle v=\pm\sqrt{\frac{c^2}{4}-1}\,u$ pour $c>2$. Ca donne effectivement ce que tu dis.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Ah, d'accord, merci.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par marco.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Cela pourrait être des branches paraboliques, si par exemple, le point d'ordonnée $0$ était un point de rebroussement ?
Mais, il doit y avoir alors un problème de degré, on doit pouvoir trouver des droites qui rencontrent la quartique en 5 points donc, ce n'est pas possible.
Est-ce que la question est de savoir s'il y a des asymptotes? On peut regarder les tangentes aux points à l'infini, et on trouve ainsi les asymptotes, sauf erreur:

$$(4-c^2)\,u \pm 2\sqrt{c^2-4}\;v = c^2a\;.$$
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
Je n'avais pas pensé à cette méthode. Dans ma tête, on calculait la limite de $x/y$, pour trouver la branche, mais ça ne disait pas si c'était asymptotique ou parabolique.
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
avatar
...dans le plan de l'ellipse............ signifie quoi? Que la droite est parallèle à l'axe focale? sinon il y a 2 forme de lieux possibles (merci à geogebra).
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a onze années
Bonsoir à toutes et à tous;

Après plusieurs messages privés et comme je l'insinuais à db dans un message précédent, pour connaître une solution de l'époque, il me paraissait utile de consulter les Nouvelles annales de mathématiques. J'ai cherché aujourd'hui. Une correction est proposé dans les Nouvelles annales de 1869. Actuellement, ces Nouvelles annales sont en cours de numérisation mais seulement les premiers sont accessibles. Cela étant, depuis longtemps, Google.Books offre des exemplaires numérisés. C'est le cas de 1869. La solution est de Hilaire, pp. 362-369:

cf. [books.google.fr]

A étudier de près. Bonne soirée. Norbert.
Citation
qadassi
...dans le plan de l'ellipse............ signifie quoi? Que la droite est parallèle à l'axe focale? sinon il y a 2 forme de lieux possibles (merci à geogebra).

Tout simplement que l'ellipse et la droite sont dans un même plan. Il y a nettement plus de deux formes possibles pour le lieu (voir la discussion dans le corrigé de Hilaire).
db
Re: QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
il y a dix années
Un grand merci à Norbert. Je trouverai un moment ce week-end pour essayer de lire la solution de l'époque.
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