QDM 17: auriez-vous été agrégé(e) en 1867?
Finis les soldes ! En première page du cours de Liouville (en 1868 à la faculté des sciences) pris par Tisserand et dans les archives de l’école polytechnique, est notée cette question (agrégation 1867) :
Lieu des points tels que si de chacun d’eux on mène des tangentes à une ellipse donnée, ces tangentes interceptent un segment de longueur constante sur une droite donnée dans le plan de l’ellipse.
Auriez-vous été agrégé en 1867 ? Le ou les lauréats auront leur solution exposée dans l’exposition Liouville actuellement dans le hall de l’école polytechnique. (Cf. http://www.sabix.info/)
Amicalement Norbert (Pour le Comité Du Mardi).
Lieu des points tels que si de chacun d’eux on mène des tangentes à une ellipse donnée, ces tangentes interceptent un segment de longueur constante sur une droite donnée dans le plan de l’ellipse.
Auriez-vous été agrégé en 1867 ? Le ou les lauréats auront leur solution exposée dans l’exposition Liouville actuellement dans le hall de l’école polytechnique. (Cf. http://www.sabix.info/)
Amicalement Norbert (Pour le Comité Du Mardi).
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Réponses
J.
Les livres de physique promis partent demain. Bien à toi. N!
Norbert, j'en connais quelques uns qui ne l'auraient pas obtenue cette agrégation, mais je ne nommerai personne
Amicalement.
Donnons nous un point $(u,v)$ du plan et un point $(a,t)$ de $\Delta$. La droite qui les joint a pour équation $\alpha x+\beta y+\gamma=0$ avec $\alpha = v-t$, $\beta=a-u$, $\gamma = ut-va$. En rentrant ces valeurs dans l'équation tangentielle $\alpha^2+\beta^2-\gamma^2=0$ de $E$, on obtient une équation du second degré en $t$ de la forme $At^2+Bt+C=0$ où $A,B,C$ sont des polynômes en $u,v$ de degré $2$. On écrit ensuite que le carré de la différence des solutions en $t$ est une constante $c^2$ : $B^2-4AC= c^2 A^2$, ce qui est l'équation d'une quartique en $u,v$, avec paramètres $a$ et $c$. Que dire d'intelligent sur cette quartique?
> cette agrégation, mais je ne nommerai personne.
Mmouais, mais ils étaient pas beaucoup d'agrégés en 1867 à savoir ce qu'est un espace de Hilbert!
(*) Pour aller dans le sens de Lucas, je ne suis pas sûr que Liouville était un pro de Scilab non plus.
mathématiques :
*Didon (François), *Bourdeaux (Stanislas, Hyacinthe), *Maillard (Nicolas), **Combette (Eugène), **Jarrige (Adolphe)
A défaut de connaître les espaces de Hilbert, ils auraient pu connaître le petit David Hilbert. Il avait cinq ans et jouait alors sur les ponts de Königsberg. (?). Amicalement. Norbert.
Un cas particulier: dans le cas où l'équation de la droite $\Delta$ est $x=a=1$, alors le cercle $x^2+y^2=1$ devient le cercle inscrit du triangle $MT_1T_2$ avec $T_1T_2=c$ sur la droite d'équation $x=1$. J'ai essayé d'exploiter ce cas particulier à l'aide des relations métriques du triangle en faisant intervenir $r=1$ mais sans grand succès.
Amicalement.
cela se dessine-til avec cabri ??
Quand la droite $\Delta$ est tangente à l'ellipse $E$, le lieu donné par l'équation se décompose en la droite $\Delta$ comptée deux fois et une conique. On peut sans doute déterminer géométriquement cette dernière conique.
Quant à faire des dessins, ça peut se faire en tout cas sans problème avec geogebra, et sans doute aussi avec cabri. En voici un exemple (le lieu est en rouge).
Comme on le voit sur le dessin, non seulement la quartique passe par les points de coordonnées $(1,0)$ et $(-1,0)$ dans le repère choisi, mais elle est tangente au cercle en ces points (c'est forcé par la symétrie);
Merci Zo!, une partie de la quartique que tu dessines fait un peu penser aux conchoïdes de Nicomède ?
...cas 0<a<b, ici chez Robert.
Amicalement.
En 1867, d'après la base de données du Comité Du Mardi, ont été agrégés ;
Zo!, gb & bs
Des éléments de correction vont être proposés et exposés dans une des vitrines de l'école polytechnique consacrées à Liouville (en cours). Le carnet (manuscrit) de cours de Tisserand est exposé avec en première page le texte de l'agrégation 1867. J'y ferai insérer une feuille récapitulative. Est-ce gênant si je fais apparaître vos noms (zo! si tu veux me contacter par message privé à ce sujet).
Je profite de ce message pour remercier vivement les modérateurs d'avoir effacé des interventions inhospitalières car dépourvues de toute esprit constructif et collaboratif, celui qui doit prévaloir lors des Questions Du Mardi. Amicalement. N!
db
[Edit : Norbert fait allusion dans le message qui suit à une partie de mon message que j'ai effacée : il ne s'agissait que d'un malentendu, qui a été dissipé.]
En l'espèce, je n'ai que l'énoncé mais il doit être possible de trouver les copies des candidats (dans les dossiers adéquats des archives nationales) soit dans les journaux de l'époque comme les Nouvelles annales de mathématiques. Ce serait une recherche à faire. De toutes façons la rédaction de l'époque n'est pas celle d'aujourd'hui. Je ne souhaite pas revenir sur les circonstances que vous évoquez en début de message, je ne perds jamais d'énergie sur de telles choses. Seul le constructif et le collaboratif m'intéresse.[Comme le signale db dans son dernier message, cette phrase découle d'un malentendu entre nous, un malentendu dissipé et du domaine du passé désormais.
N'est-il pas possible qu'il y ait des points sur la courbe à gauche du cercle, c'est-à-dire dans la région $x< -1$ pour certaines valeurs de la longueur du segment ?
J'imagine que c'est pour $c>2$.
Je suis admiratif devant la solution de Zo! qui a bien vu que le problème était de nature affine et non métrique.
On aurait pu le reformuler ainsi:
Soit $\Gamma$ une conique du plan affine (réel ou non).
Soit $D$ une droite du plan.
Soit $\tau$ une translation laissant $D$ globalement invariante.
Pour tout point $M$ du plan, on appelle $\mathcal F_M$ le faisceau des tangentes à $\Gamma$ issues de $M$.
Quel est le lieu des points $M$ du plan affine tels que: $\mathcal F_M \cap D = \{m, \tau(m)\}$?
amicalement
Pappus
La réponse est facile en inspectant l'équation de la quartique, précisément sa partie homogène de degré 4 qui est $u^2(4v^2+(4-c^2)u^2)$. Tu vas avoir des points à l'infini dans la direction de $\displaystyle v=\pm\sqrt{\frac{c^2}{4}-1}\,u$ pour $c>2$. Ca donne effectivement ce que tu dis.
Mais, il doit y avoir alors un problème de degré, on doit pouvoir trouver des droites qui rencontrent la quartique en 5 points donc, ce n'est pas possible.
$$(4-c^2)\,u \pm 2\sqrt{c^2-4}\;v = c^2a\;.$$
Après plusieurs messages privés et comme je l'insinuais à db dans un message précédent, pour connaître une solution de l'époque, il me paraissait utile de consulter les Nouvelles annales de mathématiques. J'ai cherché aujourd'hui. Une correction est proposé dans les Nouvelles annales de 1869. Actuellement, ces Nouvelles annales sont en cours de numérisation mais seulement les premiers sont accessibles. Cela étant, depuis longtemps, Google.Books offre des exemplaires numérisés. C'est le cas de 1869. La solution est de Hilaire, pp. 362-369:
cf. http://books.google.fr/books?id=jRgAAAAAMAAJ&pg=PA568&dq=Agrégation+1867+mathématiques&cd=1#v=onepage&q=Agrégation 1867 mathématiques&f=false
A étudier de près. Bonne soirée. Norbert.
Tout simplement que l'ellipse et la droite sont dans un même plan. Il y a nettement plus de deux formes possibles pour le lieu (voir la discussion dans le corrigé de Hilaire).