QDM 27: Cherchez Midy à quatorze heures!

Norbert Verdier · May 2010

Il est quatorze heures, cherchez midy! En 1846, Etienne Midy s’intéresse au problème suivant :

« Si l’on conçoit la suite des nombres impairs :
1 [1], 3, 5 [8], 7, 9, 11 [27], 13, 15, 17, 19 [64], etc.
Décomposée comme ci-dessus, en suites partielles dont le nombre des termes aille toujours en croissant suivant la progression naturelle 1, 2, 3, 4, etc. [Nous avons fait figurer ces suites partielles entre crochets], la somme des termes de chaque suite sera le cube du nombre entier marquant le rang correspondant. »

Et vous, intéressez vous y ? Amicalement, Norbert pour le Comité Du Mardi avec une petite pensée à Bernard!

Sylvain · May 2010

Ca revient à dire :
\begin{center}
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{t_{k}}2n-1=\sum_{\ell=1}^{k}\ell^3}$,\quad avec $t_{k}=\dfrac{k(k+1)}{2}$
\end{center}
Or la somme de gauche vaut $2t_{t_{k}}-t_{k}=t_{k}(1+t_{k})-t_{k}=(t_{k})^{2}$
Raisonnons par récurrence, en supposant qu'il existe $k$ tel que la première égalité soit vérifiée.
Calculons $(t_{k+1})^2-(t_{k})^2$ :
\begin{align*}
(t_{k+1})^2-(t_{k})^2&=\dfrac{((k+1)(k+2))^{2}-(k(k+1))^{2}}{4} \\
&=\dfrac{(k+1)^{2}}{4}((k+2)^{2}-k^{2}) \\
&=\dfrac{(k+1)^{2}}{4}(k^{2}+4k+4-k^{2}) \\
&=\dfrac{(k+1)^{2}}{4}(4(k+1)) \\
&=(k+1)^{3}
\end{align*}
CQFD.

Norbert Verdier · May 2010

Merci à Sylvain pour avoir trouvé Midy à un peu plus de quatorze heure. Mais qui était Midy?

Richard André-Jeannin · May 2010

Bonsoir Sylvain
En fait vous utilisez (et redémontrez) deux résultats connus:

1+3+5+..+(2n-1)= n²

1³+2³+..+n³=[n(n+1)/2]²

T2 · May 2010

Coucou

Je ne saisis pas la mise en équation du problème. En fait, je ne comprends pas ce que l'on fait avec les suites.

Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

Merci

Norbert Verdier · May 2010

La source de cette question est une note du professeur Etienne Midy dans les Nouvelles annales de mathématiques (tome 5, 1846, pp. 640-646). (Numérisé). La même année à l'Académie des sciences, il y a plusieurs notes à ce sujet. Mais ce résultat sur la suite des impairs est très ancien. Dans l'Encyclopédie méthodique [Mathématiques, tome II, 197-199, publié en 1785], Jean-Joseph Rallier des Ourmes (1701-1771) écrit (dans la langue de l'époque):

"Si l'on conçoit les nombres impairs rangés par ordre à la fuite l'un de l'autre, il réfulte une progression arithmétique indéfinie, dont le premier terme eft 1, & la différence 2: c'eft ce qu'on nomme la fuite des impairs.

Cette fuite a une propriété remarquable relative à la formation des puiffances; mais qui n'a jufqu'ici, du moins que nous fachions, été connue ni développée qu'en partie. La voici dans toute fon étendue.

A toute puissance numérique d'une racine r & d'un exposant e quelconques, répond, dans la fuite générale des impairs, une fuite fubalterne des termes consécutifs, dont la fomme eft cette puiffance même.

Il s'agit d'en déterminer généralement le premier terme p, & le nombre de termes n."

Fauriez-vous démontrer le résultat de Rallier des Ourmes? (plus général que celui démontré par Sylvain). Amicalement. Norbert.

Richard André-Jeannin · May 2010

Bonfoir Norbert,
J'ai effayé de bricoler un autre exemple de fuite fubalterne, avec exfel
1=1⁵

5+7+9+11=2⁵ (4 termes)

19+..+35=3⁵ (9 termes)

49+51+..+79=4⁵ (16 termes)

101+103+..+149=5⁵ (25 termes)

pour paffer du premier bloc au fuivant, on faute 1 nombre (le nombre 3). On a: 1=2*1/2

pour paffer du deuxième bloc au fuivant, on faute 3 nombres (13, 15 17). On a: 3=3*2/2

pour paffer du troisième bloc au fuivant, on faute 6 nombres (37, 39,..,47). On a: 6=4*3/2

pour paffer du quatrième bloc au fuivant, on faute 10 nombres (81, 83,..,99). On a: 10=5*4/2

Norbert Verdier · May 2010

Merfi RAJ.Amicalement. N!

Richard André-Jeannin · May 2010

Posons: u(n)=n²(n+1)/2 et v(n)=n²(n-1)/2.
On a u(n)-v(n)=n² et u(n)+v(n)=n³

On considère la somme des nombres impairs (2k-1) pour k allant de v(n)+1 à u(n). Cette somme s'écrit:
(2*v(n)+1)+...+(2*u(n)-1). Il y a u(n)-v(n)=n² termes et la moyenne entre le premier et le dernier est u(n)+v(n)=n³. La somme est donc égale à: n³*n²= n⁵.

Richard André-Jeannin · May 2010

En définissant les suites u(n) et v(n) par u(n)-v(n)=n et u(n)+v(n)=n², on retrouve l'exemple de départ. On voit comment généraliser.

Sylvain · May 2010

Je vois que vous avez la RAJ de vaincre, Richard.

Richard André-Jeannin · May 2010

Soient r et s des entiers avec 1<=r<s

(somme de k = 1 à s)(2k-1)= s²
On en déduit que: (somme de k = r+1 à s)(2k-1)= s² - r² =(s-r)(r+s).Remarquons que la somme contient (s-r) termes.
En posant s - r = n et s+r = n^t, on a
(somme de k = r+1 à s)(2k-1)= n^t+1
Donc, n^t+1 est la somme de n nombres impairs consécutifs.
Exemple t = 4
15+17=2⁵
79+81+83=3⁵
253+255+257+259=4⁵

t = 5
31+33=2⁶
241+243+245=3⁶
1021+1023+1025+1027=4⁶

Norbert Verdier · June 2010

Bonjour à toutes et à tous;

Petit retour sur l'affaire Midy. A Nantes, le 07 juin je donnais un exposé dans le cadre des journées scientifiques de l'université de Nantes. J'ai assez longuement évoqué Midy. Midy est actuellement sous le feu de l'actualité car plusieurs mathématiciens s'intéressent à ses résultats publiés à Nantes en 1836 chez un éditeur nantais : Forest. Pour en savoir plus, cf. la rubrique de Benoit Rittaud dans "La Recherche". Cf. http://www.larecherche.fr/content/recherche/article?id=8353. Depuis l'exposé de Nantes, plusieurs personnes de Nantes ont contribué à chercher à en savoir plus sur Midy. A suivre. Amicalement. Norbert.

Norbert Verdier · June 2010

Bonjour à toutes et à tous;

Jean-Louis Liters m'écrit, et je l'en remercie, à propos de Midy:

"Midy n'a pas laissé beaucoup de traces au lycée Clemenceau de Nantes. Le registre du personnel (sans doute reconstitué tardivement pour les premières années du collège royal, à partir des seuls palmarès) indique seulement

(1) Midy (orthographié d'ailleurs Meidy) professeur de mathématiques en mathématiques élémentaires. Entré en fonction le 14 octobre 1833. Sorti le 24 octobre 1837.

(2) Midy professeur de mathématiques en mathématiques spéciales. Entré en fonction le 24 octobre 1837. Sorti en octobre 1838.

Sans autres indications.

Le volume du palmarès pour les années correspondantes est actuellement prêté à la Bibliothèque municipale de Nantes (pour une exposition autour de Jules Vallès). Dès que je l'aurai récupéré (très prochainement), je le consulterai pour voir quels renseignements supplémentaires vous apporter (a priori seulement la confirmation des dates, des noms de collègues, des noms d'élèves)."

Continuons à chercher Meidy à quatore heures. Amicalement. Norbert.

Norbert Verdier · June 2010

Et Colette Le Lay me précise et je l'en remercie :

"Bonjour,
Je suis allée à la Bibliothèque municipale de Nantes (BMN) consulter les deux ouvrages de E. Midy :
"De quelques propriétés des nombres et des fractions décimales périodiques" (cote 18747 C15 étoile rouge) et "Du théorème de M. Sturm et de ses applications numériques" (cote 18748 C15 étoile rouge). Ils ont été offerts par l'auteur à la BMN le 14 avril 1836 pour le 1er et le 18 juin 1836 pour le 2nd (mention manuscrite). L'auteur habitait 3 rue Richebourg, c'est-à-dire juste en-dessous du Collège Royal. La 1ère page indique "Ancien professeur de mathématiques spéciales aux collèges de Cahors et d'Orléans. Professeur au collège de Nantes."
Dans son avant-propos, il indique que ses ouvrages sont destinés à la jeunesse et dans le 1er, il se félicite que des "ouvrages de mérite" soient publiés "dans nos départemens".
Je me suis également renseignée sur le libraire Jules Forest, 2 Quai de la Fosse. Il est possible d'accéder au catalogue de toutes les publications de la maison Forest disponibles à la BMN sur le site http://www.bm.nantes.fr
puis catalogue puis recherche multicritères. Dans le menu déroulant qui commence par titre, sélectionner editeur puis taper Forest. On obtient plus de 300 notices. Il apparaît que les Forest éditaient des ouvrages de toutes sortes. Il existe un catalogue papier de Jules Forest mais il figure dans les réserves et je n'y aurai accès que mardi après-midi.
Je vous rendrai compte de la suite de mon enquête. La bibliothécaire cherche des sources secondaires sur les éditeurs nantais mais elle n'a, pour l'instant, rien trouvé.
Cordialement
Colette Le Lay"

Affaires à suivre. Amicalement. Norbert.

QDM 27: Cherchez Midy à quatorze heures!

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