QDM 30: Le trivium d'Arnold

Bonjour à toutes et à tous;

Le 3 juin, Mauricio nous apprenait le décès de Vladimir Arnold; dans le fil correspondant, Jean-Yves proposait de procéder avec le trivium d'Arnold comme nous l'avions fait avec le Debarre-Laszlo. Just do it!

Nous vous proposons en hommage à Vladimir Igorevitch la résolution des exercices dont les numéros correspondent aux diviseurs de 1937 ou 2010, années de naissance et de décès de Vladimir Arnold.

See [michel.delord.free.fr]

Amicalement, Bernard p/o le Comité Du Mardi.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Norbert Verdier.

Belle réflexion. Et beaux problèmes

Le tout premier problème, dans le texte, consiste a évaluer $ y = \sin(x)^{100} $ avec une précision de 10 pour cent.

Voila une piste niveau terminale: $ \ln(y) = \ln (\sin(x)^{100}) = 100 \ln (\sin(x))$ d'où $y= e^{100} \sin(x) $

Et là.. je ne sais pas combien peut faire $e^{100}$ . Enfin, ce n'est probablement pas la bonne méthode. Peut-être un calcul différentiel pour les 10 pour cent. Comment faire ?

PS: comment banaliser le signe pourcentage qui semble ne pas bien passer ici ? Merci.

[Jinx : le plus classiquement \verb=\%= pour obtenir \%.
Es-tu bien sûr de ton expression de $y$ ? AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.

$e^{100}$ ça fait beaucoup, beaucoup. Beaucoup trop en tout cas pour que le résultat final soit entre $-1$ et $1$.*

* De toutes façons, c'est la moyenne de $\sin^{100}x$ qu'il faut évaluer.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par remarque.

L'erreur est en rouge.

Citation

$ \ln(y) = \ln (\sin(x)^{100}) = 100 \ln (\sin(x))$ d'où $y= e^{100} \sin(x) $

Ce « d'où » n'est pas justifié. D'ailleurs $\ln(e^{100} \sin(x))=\ln(e^{100} )+\ln( \sin(x))=100+\ln( \sin(x))\neq 100\ln( \sin(x))$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par remarque.

Est-ce que quelqu'un se sent capable d'évaluer $\big(\sin(x)\big)^{100}$ à $10\%$ près ?

[La case LaTeX. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.

Lu sur le web à propos de cette question:

"Trivially, the average value of $sin(x)^{100}$ is equal to the average value of $cos(x)^{100}$ on $]-\pi/2, \pi/2[$. Now, $cos (x)$ is close to $e^{-x^2/2}$ on $]-\pi/2,\pi/2[$, thus the answer is very close to $\int e^{-100 x^2/2} dx / \pi \simeq \int e^{-x^2/2} dx /(10 \pi) = \sqrt{2 \pi} /(10 \pi) = \sqrt{2/\pi}/10 \simeq 0.08$ It's easy to make this solution rigorous. And you can make this computation in your head in 5 minutes. "

Re,

Pour le trivium 2, j'avais commencé les DL à la main, mais faut aller jusqu'à l'ordre $7$, donc direction Maple et la fonction taylor.
\begin{align*}
\sin\tan(x)&= x+\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{x^5}{40}-\dfrac{55}{1008}x^7+o(x^8) \\
\tan\sin(x)&= x+\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{x^5}{40}-\dfrac{107}{5040}x^7+o(x^8) \\
\arcsin\arctan(x)&= x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{13}{120}x^5-\dfrac{341}{5040}x^7+o(x^8) \\
\arctan\arcsin(x)&= x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{13}{120}x^5-\dfrac{173}{5040}x^7+o(x^8)
\end{align*}
Ainsi: $$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin\tan(x) -\tan\sin(x)}{ \arcsin\arctan(x)- \arctan\arcsin(x)} =1\quad ( =\tfrac{168}{168} )$$
Ce que confirme Maple avec la fonction limit.

Question : était-ce évident (prévisible) cette limite égale à 1 ??
Merci chers amis analystes.
Amicalement.

[Merci Alain pour la flèche sous limite ]



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par bs.

Bonjour

Je trouve :
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\big(\tan(x)\big)-\tan\big(\sin(x)\big)}{\arcsin\big(\arctan(x)\big)-\arctan\big(\arcsin(x)\big)}=1.$$
P.S : grillé par bs.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.

Pour le trivium 4, on peut voir que l'on a (sauf erreur) :
$$f^{(n)}(x)=\frac{P_{n}(x)}{x^{n+1}(x^2-1)^{n+1}}$$
avec $p_{n}(x)$ de degré $2n+2.$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Bouzar.

Pour le trivium 87, on a :
\begin{align*}
[A, [B,C]] &= A[B,C] -[B,C]A \\
&= A(BC - CB) - (BC -CB)A \\
&= ABC -ACB -BCA + CBA.
\end{align*} Par permutations circulaires, on obtient aussi que :
\begin{align*}
[B, [C,A]] &= BCA - BAC - CAB + ACB, \\
[C, [A,B]] &= CAB -CBA - ABC + BAC.
\end{align*}
En conclusion, la somme $ [A, [B,C]] + [B, [C,A]] + [C, [A,B]] $ vaut donc 0.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.

Pour la question traitée par bs, si je me souviens bien, on considère deux fonctions $f$ et $g$ analytiques dans un voisinage de $0$ telles que $f(0)=g(0)=0$ et $\lim\limits_{x\to0}f(x)/x=\lim\limits_{x\to0}g(x)/x=1$.
On a $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(g(x))-g(f(x))}{f^{-1}(g^{-1}(x))-g^{-1}(f^{-1}(x))}=1$.
Les développements en série entière de $f$ et $g$ sont de la forme $f(x)=x+a_mx^m+\dotsb$ et $g(x)=x+b_nx^n+\dotsb$.

Si $m\neq n$, le calcul ne pose pas de problème. On a en fait besoin de l'hypothèse d'analycité lorsque $m=n$.

[Corrigé selon ton indication. AD]
[Re-corrigé selon ton indication. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.

Pour le trivium 4, il est préférable de décomposer en éléments simples la fraction de départ. On a bien

$$f^{(n)}(x)=\frac{P_{n}(x)}{x^{n+1}(x^2-1)^{n+1}}$$
avec $p_{n}(x)=100!(-(x^2-1)^{n+1}+x^{n+1}(x+1)^{n+1}+x^{n+1}(x-1)^{n+1})$ qui est de degré $2n+2.$

En particulier, pour $n=100,$ on a :

$$f^{(100)}(x)=100!(\frac{-1}{x^{101}} + \frac{1}{(x-1)^{101}} + \frac{1}{(x+1)^{101}}).$$

P.S : Correction d'une erreur. Merci bs. Et merci à Alain pour la mise en forme.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Bouzar.

Merci Alain.

Et bien sur ce n'est pas la limite de $xf(x)$ ou $xg(x)$ mais $f(x)/x$ et $g(x)/x$.

[J'ai fait la correction. A ton service. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.

Bonjour,

Merci Eric et Bouzar pour faire avancer ce schmilllblickkk

Bouzar:
1) Trivium 2: tu ne précises plus que tu as obtenu le résultat par la méthode du marquis...?
2) Trivium 4: ne manque-t-il pas $100!$ dans l'expression de $f^{(100)}(x)$ ?

Les questions de ce trivium présentent manifestement un aspect original qui rend ce trivium des plus intéressants.

Amicalement.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par bs.