QDM 31: avec ou sans gaku!

Bonsoir ,

Définition empruntée à Wikipedia: "Les Sangaku ou San Gaku sont des énigmes géométriques japonaises de géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois, apparues durant la période Edo (1603-1867) et fabriquées par des membres de toutes les classes sociales."

Dans le cadre de notre dynamique forum de les-mathematiques.net, deux sangaku au moins vous sont familiers:
--> l'avatar de Domi
--> le sangaku aujourd'hui disparu de la préfecture de Fukusima qui est décrit dans le dernier fil de Jean-Louis , page 43

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.

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Le Comité du Mardi vous propose quelques sangakus à résoudre; pour commencer:
<img src="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?17,file=16227,in_body_attachment=1" align="top" onload="in_body_attachments_resizeimage(this)" alt="Sangaku-1-1-1.gif" title="Sangaku-1-1-1.gif">
Sangaku 1
Quel est le rayon des deux cercles situés à l'intérieur du triangle rectangle de côtés $a \leq b < c$ ?
(Le triangle du sangaku original a pour côtés $3,4,5$)
<img src="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?17,file=16195,in_body_attachment=1" align="top" onload="in_body_attachments_resizeimage(this)" alt="Sangaku-2-1.gif" title="Sangaku-2-1.gif">
Sangaku 2
Si $C$ est le côté du grand carré, quel est le côté $c$ du petit carré ?

Amicalement.

[Merci Alain pour la mise en page du fil ]



Edité 10 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par bs.

Pour le 1, dans le cas 3,4,5, je trouve $r = \dfrac{5}{7}$.

Re,

En route pour un autre sangaku ?
<img src="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?17,file=16202,in_body_attachment=1" align="top" onload="in_body_attachments_resizeimage(this)" alt="Sangaku-3-1.gif" title="Sangaku-3-1.gif">
Sangaku 3
$a=R-r$ est connu
côté $x$ du carré en fonction de $a$ ?

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par bs.

Pour le 3 je trouve, après une série de calculs pénibles, la relation suivante :

$$c=a\dfrac{28+16\sqrt{3}+6\sqrt{6}+10\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{2}}$$

Re,

Et voici un quatrième sangaku :
Sangaku 4
<img src="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?17,file=16240,in_body_attachment=1" align="top" onload="in_body_attachments_resizeimage(this)" alt="Sangaku-4-1.gif" title="Sangaku-4-1.gif">
$R$ et $r$ sont les rayons des deux plus grands cercles
Rayons $x>y>z$ des six autres cercles ?

Amicalement.

Je me disais bien que c'était une expression compliquée et manquant cruellement d'élégance...

Edit : en mesurant sur ta figure, je trouve $c=\dfrac{80a}{3}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Sylvain.

Je vais exposer ma démarche pour le sangaku 3, même si je m'empêtre lamentablement dans les calculs (Christophe serait-il contagieux ?) :

l'idée est d'exprimer les rayons $R$ et $r$ en fonction de $x$, via la formule pour le rayon du cercle inscrit $r=\dfrac{2S}{a+b+c}$, avec $S$ l'aire du triangle, $a$, $b$ et $c$ les longueurs de ses côtés.

Basons-nous sur la seconde figure de bs, et appelons $A'$ (respectivement $B'$) le symétrique de $A$ (respectivement de $B$) par rapport à $(EH)$.

Le triangle $EA'B'$ est isocèle de sommet $B'$ et l'angle $EB'A'$ a la même mesure que l'angle $HEB'$ (angles alternes internes), soit 30 degrés.
On a $EB'=A'B'=x$ et $EA'=2x\sin 15°$. Par ailleurs l'aire $S_{1}$ du triangle est $x\cos 15°.x\sin 15°$.

On peut donc en tirer la valeur de $R$ en fonction de $x$.

Ensuite, l'aire $S_{2}$ du triangle $BFE$ est égale à l'aire du carré ($x^{2}$) moins celle du triangle équilatéral ($x²\dfrac{\sqrt{3}}{4}$) moins celle du triangle $AB'F$ ($x^{2}\dfrac{(1-\tan 15°)}{2}$) moins $S_{1}$.

Les longueurs des côtés du triangle $BFE$ sont $x$, $x(1-\tan 15°)$ et $2x\sin 15°$.

Voilà, ya plus qu'à...