Delambre et Méchain

jacquot · August 2010

Samedi 7 août, j'ai suivi avec intérêt l'émission d'arte consacrée à la mesure de l'arc de méridien terrestre Dunkerque-Barcelone.
En 1791, l'Académie des Sciences a confié cette mission aux astronomes Delambre et Méchain en vue d'étalonner le mètre, dix-millionième partie du quart du méridien terrestre.

Le film est bien fait : il pose bien la problématique du point de vue théorique et montre aussi les difficultés qui se sont posées aux arpenteurs tant pour des raisons géographiques: franchissement des Pyrennées, que politiques: Terreur, guerres.

Ce document m'a suscité plusieurs questions

Delambre a commencé ses travaux de triangulation à Dunkerque et Méchain à Barcelone. Comment pouvaient ils être sûrs du bon ajustement des sommets de leurs triangles initiaux respectifs sur un même méridien?

Bousculé dans la mesure de la lattitude de son point de départ (ftort de Montjuic à Barcelone) par l'entrée en guerre de l'Espagne, Méchain sera amené à douter de la qualité de cette mesure par des résultats ultérieurs contradictoires. Il estime à 3 secondes de degré son éventuelle erreur, mais ne pourra jamais revenir à Montjuic pour vérifier. En erreur relative, ces 3 secondes d'arc représentent à peu près 1/10 000 des 9,5° de lattitude séparant Barcelone de Dunkerque.
Le film ne dit pas s' il s'était effectivement trompé finalement, mais il montre bien ce doute qui rongera Méchain jusqu'à la fin de sa vie.

Pour cette mesure par triangulation, Delambre et Méchain ont juxtaposé environ 90 triangles. Le cumul des erreurs de leurs mesures, fussent-elles précises, n'est il pas redoutable?

En géométrie plane, on sait résoudre les triangles par les formules des sinus et d'Al-Kashi. Ici, il aura fallu les adapter à la géométrie sphérique, voire ellipsoïdale, (on connait déjà assez bien l'aplatissement de la Terre aux pôles au XVIIIè siècle). Bonjour les calculs !

Finalement la distance des extrémités de ce résau de 90 triangles a été calculée sur la base de la mesure physique du côté de l'un d'eux. Comment se garantir une bonne précision pour cette mesure? Il faudra tenir compte des altitudes des extrémités.

J'ai trouvé des éléments de réponses à ces questions dans les pages référencées par les liens suivants:

Jean-Baptiste Delambre, chronomath
Pierre Méchain, chronomath
Cette page contient un lien vers la mesure par triangulation

Complément intéressant pour ceux qui n'ont pas vu l'émission ou souhaitent y revenir: un voyage de Dunkerque à Barcelone, inrp.

et aussi la page Wikipédia, Delambre et Méchain

Bruno · August 2010

Bonjour jacquot.

Je vois que ton lien sur la mesure par triangulation répond probablement à la question sur l'alignement entre Dunkerque et Barcelone, cela doit apparaître sur la carte de Cassini.

D'autre part, il y est fait allusion à l'approximation de Legendre : soit un triangle sphérique $ABC$ pris sur la sphère unité, d'excès angulaire sphérique $s = \widehat A + \widehat B + \widehat C - \pi$ et d'arcs $a,\ b,\ c$ ; on considère le triangle plan $A'B'C'$ ayant les mêmes longueurs de côtés, alors $\widehat A - \dfrac s 3 - \widehat{A'}$ est $o(s^2)$. Dans le cas des triangles de Delambre et Méchain, l'erreur était de 0,002 secondes d'arc ce qui est non significatif en regard des erreurs des déterminations angulaires.

Bref, Delambre et Méchain ont du travailler simplement avec des triangles plans. Voir le texte de P-L. Hennequin dans le numéro hors série 5 de Tangente co-publié par ellipses et les éditions Archimède ; pages 9-18.

Je n'ai pas compris l'histoire de l'aplatissement de la terre, le problème était réglé depuis un demi-siècle avec les expéditions de Maupertuis et de La Condamine.

Bruno

jacquot · August 2010

Bonjour Bruno,

Prenons par exemple un triangle demi-carré de 20 km de côté

On aura $$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180°(1+\frac {S}{\pi R^2}) = 180°(1+\frac {200}{\pi 6366^2})
=180° (1+1.5*10^{-6})$$
ce qui donne environ une seconde de degré d'excédent dû à la sphéricité.
Je pense que Delambre et Méchain voulaient en tenir compte. Dans l'article de Chronomath sur Delambre, il est mentionné qu'on lui doit une formule de trigonométrie sphérique. je pense que ce n'est pas par hasard...
Par ailleurs, dans l'article "voyage", il est écrit qu'au final leur erreur n'était que de 5 secondes d'arc..

J'ai parlé de l'aplatissement aux pôles, sans doute à tort, car le fait que la Terre ne soit pas une sphère parfaite aura par contre une influence négligeable sur les angles de nos triangles.

Pour ce qui concerne l'alignement de Dunkerque et Barcelone avec le Nord, je pense qu'une petite erreur de longitude est bien moins influente qu'une erreur de lattitude : en effet dans une triangle rectangle ayant un tout petit angle, l'hypoténuse est presque égale au grand côté de l'angle droit...

Je n'ai pas accès au texte de Hennequin que tu mentionnes.
Merci pour tes réflexions, amicalement.
jacquot

.

bruno16 · August 2010

Bonjour

Ne pas oublier de lire ou relire La Méridienne de Denis Guedj disparu il y a qq mois

Désolé pour la pollution du post

Cordialement
Bruno

Burnet · July 2011

Intervention un peu à retardement.
L'anomalie constatée par Méchain n'est pas du à la sphéricité ellipsoïdale de la terre, mais au phénomène de déviation de la verticale qui est expliquée ici. Le passage des Pyrénées a en effet perturbé sérieusement les mesures, et ce phénomène n'était que suspecté à l'époque et sera confirmé dans le demi siècle suivant http://fr.wikipedia.org/wiki/De_l'ellipsoïde_au_géoïde .
Cordialement
R.B.

[Activation du lien. AD]

jacquot · August 2013

Le film "un mètre pour mesurer le Monde" sera rediffisé samedi 3 août à 20 h 50 sur arte

nsar2 · August 2013

Bonjour,

Je ne suis pas homme de science mais d'explorateur, randonneur à pied ou en vélo.
Ayant vu le reportage sur ce sujet, j'aimerais bien retracer les mêmes itinéraires que ces deux grands personnages de science.

Depuis sur les sites internet, j'ai essayé de retrouver les noms des villes où ils ont mis leurs pieds et effectué leurs travaux de mesure, mais sans succès.

Dans le reportage, ils ont mis 7 ans à relier le méridien de Dunkerque à Barcelone.
A leur époque, il n'y avait pas du tout des moyens de transport comme aujourd'hui.

Voilà, j'aimerais faire les mêmes parcours que ces deux grands hommes, donc si vous avez les noms des villes, n'hésitez pas de me faire savoir.

Peut-être que de votre côté, avec vos associations, vous pourriez faire les mêmes chemins que ces grands hommes de science, juste par curiosité...
Bien à vous, nsar2

jacquot · August 2013

Bonjour nsar2,

Une rapide recherche sur Internet me donne par exemple cet article:
http://acces.ens-lyon.fr/clea/lunap/Triangulation/TriangCompl1.html
assorti d'une carte moyennement lisible qui présente tous les triangles mesurés par les deux astronomes.
Ce genre de document pourrait t'aider à préparer ta grande randonnée méridienne...

Concernant les tourments de Pierre Méchain, l'article mentionné précise:
Aujourd'hui, nous avons la clé de l'énigme. A l'époque, on voyait dans les directions de la verticale données par des fils à plomb en des points différents, autant de droites qui convergeaient au centre du globe. Tel eût été le cas si la Terre avait été une sphère idéale. Or, les Pyrénées faussent la situation : leur masse écarte légèrement le fil à plomb. Non seulement Méchain n'avait commis aucune erreur, mais il avait découvert le phénomène de déviation de la verticale

Delambre et Méchain

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