QDV 6: Calculs subtils à la Renaissance
Ami(e)s du vendredi, bonjour;
La vignette jointe est extraite d’un traité de mathématiques du XVè siècle destiné « aux marchands, mais également à toute personne de quelque condition qu’elle soit... »
Dans ce livre, on trouvera , aux dires de l’auteur « beaucoup de choses subtiles »
Trouverez-vous quel calcul subtil peut expliquer le $188 \dfrac {4}{7}$ que l’on peut lire en bas à gauche de ce dessin ?
Amicalement. Jacquot p/o Le Comité Du Vendredi.
La vignette jointe est extraite d’un traité de mathématiques du XVè siècle destiné « aux marchands, mais également à toute personne de quelque condition qu’elle soit... »
Dans ce livre, on trouvera , aux dires de l’auteur « beaucoup de choses subtiles »
Trouverez-vous quel calcul subtil peut expliquer le $188 \dfrac {4}{7}$ que l’on peut lire en bas à gauche de ce dessin ?
Amicalement. Jacquot p/o Le Comité Du Vendredi.
Réponses
-
C'est sans doute extrait de "Lo Compendion de l'Abaco", émouvant témoignage de la science de nos ancêtres, écrit dans la douce langue occitane, héritière du latin, langue d'une des plus magnifiques civilisations, dont nous sommes issus.
Mais pour répondre précisément à la question, il faudrait avoir la reproduction des pages précédentes, sans quoi, ce ne sont plus des mathématiques, c'est de la divination.
D'ailleurs, j'aimerais avoir la reproduction de l'ouvrage tout entier.
Bonne dimanchade.
RC -
Eh bien, Raymond, je suis ébahi de ton érudition. Je pensais sincèrement pouvoir lever le voile plus progressivement sur l'origine des documents qui vont vous être proposés dansla suite.
Pour identifier le "Compendion de l'Abaco" avec si peu d'éléments, tu m'impressionnes.
Cependant ta perpicacité devrait aussi te permettre de résoudre le volet purement mathématique de la première énigme de cette QDV. Ce n'est pas de la divination. Il suffit de faire la bonne hypothèse et de la vérifier...
Alors qui saura donner l'explication de cette valeur incongrue? -
En effet, H, Goooooooooogle est un outil redoutable,
"cet opuscule d'abaque d'art d'arithmétique [assorti de quelques..] exemples de géométrie [...s'adressait aux)...] citoyens de la Cité de Nice [qui] sont subtils et réfléchis en toute chose et en particulier dans ledit art"
A votre tour de faire preuve de "subtilité" -
Bonjour jacquot,
Rayon de la tente : $\sqrt{50^2-40^2}=30$.
Circonférence : $2\times 30\times \dfrac{22}{7}=188\dfrac{4}{7}$. -
(tu) Juge Ti, il fallait comprendre que $188\dfrac{4}{7}=188+\dfrac{4}{7}$
Frances Pelos écrivait au mieux les nombres en partie entière +fraction le "+" de l'addition n'était pas encore utilisé (l'ouvrage date de 1492).
Si l'on reconsidère maintenant le dessin, on comprend mieux ce drap qui flotte autour d'une hampe représentant la hauteur d'un cône de révolution.
C'est assez mignon, non?
L'extrémité du drap déctrit la circonférence de la base.
Plus loin, dans le texte, on peut lire que l'auteur calcule l'aire de la pièce de drap et on s'aprerçoit qu'il calcule l'aire de ce secteur de disque à la façon de l'aire d'un triangle:
Longueur de l'arc x rayon/2
Cette première énigme étant résolue, voici deux autres questions:
Exercice 2 : La vignette suivante est extraite d’un ouvrage plus récent ;-)Présenter la résolution de ce petit problème sans écrire aucune équation ni aucun signe opératoire, mais seulement avec quelques phrases de raisonnement.
C'est-à-dire avec les outils des mathématiques médiévales.
Exercice 3 : Que faut-il penser du pentagone ci-dessous ? Calculer son aire.
NB j’ai retouché l’image : sur l’original, les 5 sont couchés.
@ suivre. -
Bonsoir,
Pour la première, il y a 5 têtes donc 5 individus.
Si ce n'était que des hommes, il y aurait 10 pattes-jambes.
Il manque donc 6 pattes.
Or la différence entre cheval et homme est de deux pattes, il y a donc 3 chevaux.
Et il reste ainsi 2 hommes.
Vérification 2 hommes et trois chevaux ont 5 têtes.
2 hommes et trois chevaux ont 4 jambes et 12 pattes, soit 16 pattes.
Bonne soirée. -
Il y a 5 têtes et donc 10 pattes postérieures. Mais il y a 16 pattes en tout. Il y a donc 6 pattes antérieures. Il y a par conséquent 3 chevaux et 2 hommes.
-
(tu) Félix et H.
A l'époque de Frances Pelos (ou Pellos), on ne résolvait pas les problèmes par mise en équation, mais on pratiquait le méthode dite de "fausse position".
C'est exactement ce qu'a fait Félix quand il dit
S'il n'y avait que des hommes.
Il calcule le nombre de pattes, puis il rectifie le tir.
Cette méthode est exposée dans l'un des chapitres de l'opuscule: "Lo XVI de una falsa posicion"
On y trouve le problème suivant, avec sa solution:
Une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et 9 pans (*) à l’extérieur. Je demande sa longueur.
Réponse : pose 12 à ton bon plaisir, et la moitié et le tiers de 12 sont 10, et il reste 2. Pour cela, dis aussi : si 2 sont venus de 12, de combien sont venus 9 ? Et tu trouveras 54.
Et c’est le nombre de pans de cette lance, et c’est fait.
Et ainsi tu dois faire tous les autres exemples semblables.
(*)1 pan = longueur d’une main
En fait ce "Compendion de l'Abaco" conviendrait bien à nos élèves: on y trouve toujours le problème et sa solution, avec la petite phrase de conclusion (en gras).
Cette méthode "de fausse (sup)position" était encore enseignée dans les calsses de Sixième au début de années 60 (j'y étais) ; et il est vrai qu'une fois qu'on l'avait vue, elle était beaucoup plus facile à reproduire -
Parfois, une fausse(sup)position n'est pas suffisante pour résoudre le problème.
Le chapitre suivant présente la double fausse position.
Exercice 4:
"Un marchand a acheté 3 pièces de drap qui lui coûtent 30 florins et il ne sait pas au juste ce que coûte chacune de ces pièces, mais il sait que la deuxième coûte le double de la première plus 4 florins, la troisième coûte 3 fois autant que la seconde moins 7 florins.
Je demande combien coûte chaque pièce."
@ suivre -
Alors la suivante
(La solution de H, sensiblement identique, était formulée de façon plus concise et élégante).
On a des triangles isocèles, de côtés égaux de longueur 5.
Chacun est décomposable en deux triangles rectangles d'hypoténuse 5 et petit côté 3.
On reconnait le célèbre 3-4-5 pythagoricien.
L'aire de ce triangle rectangle vaut base =3 * hauteur = 4, sur 2
L'aire d'un isocèle sera donc 3 * 4
L'aire du pentagone sera 3 * 4 * 5 = 60
Il resterait à vérifier que ces dimensions sont bien compatibles avec le pentagone régulier, je ne l'ai pas fait.
Bravo Jacquot pour cette présentation culturelle et historique. -
(tu)(tu) Félix.
L'aire de cet hypothétique pentagone est bien 60.
Cependant, le doute que tu exprimes dans ta dernière phrase est bien fondé: s'il existait une construction aussi simple du pentagone régulier, ça se saurait.
Un petit calcul met le défaut en évidence: les angles à la base du triangle isocèle font: $\arccos(3/5) = 53,13°$
Or ils devarient mesurer 54°. Mais ici,la différence est incluse dans l'épaisseur des traits!
La lecture du dernier chapitre "Jeumétirie" montre des problèmes assez élémentaires. Ils sont farcis de triangles 3-4-5, mais on pourra s'intéresser à la méthode de calcul des racines carrées à cette occasion, puisque Frances Pelos s'applique à donner des valeurs ausi précises qu'il peut.
Exercice 5
Cette fois-ci, j'ai joint le texte pour qui voudrait le déchiffrer. On y trouvera les étapes du calcul du côté oblique de ce trapèze rectangle.
Mais comment Frances Pelos en arrive-t-il à cette valeur approchée $\sqrt {449} = 21+\dfrac 8 {43}$ ?
Vous pourrez apprécier la précision.
@ suivre -
Maintenant le drapier.
Par tatonnement, ou fausses position :
La 1ère à 1 florin donne la 2ème à 6 et la 3ème à 11, total 18
2 florins, 8, 17, total 27
3 florins, 10, 23, total 36
Progression arithmétique de raison 9
30 se trouve au tiers de la distance entre 27 et 36
Alors 2 florins un tiers, 8 2 tiers, 19, total 30 -
Continuons avec le trapèze.
On supprime le rectangle du bas, il reste un triangle rectangle de côtés 7 et 20 et donc d'hypoténuse racine de 449.
20 au carré vaut 400
21 au carré 441
22 au carré 484
Entre 441 et 484, il y a 43
Entre 441 et 449, il y a 8
Interpolation linéaire, on obtient bien 21 + 8 / 43
On n'a pas l'impression que ce soit bien fameux, mais en calculant on obtient tout de même une erreur inférieure à 4. 10^-3 -
Tu es bien motivé, Félix!(tu)
Pelos fait aussi deux essais:
"Suppose que la première coûte 3, la seconde coûte alors 6 plus 4 ce qui fait 10. La troisième coûte 3 fois 10 qui font 30 moins 7 reste 23, maintenant pour savoir si tu as résolu, ajoute les trois résultats. Cela fait 36 et tu ne veux que 30 ainsi dis que, par cette première supposition, 3, cela dépasse de 6.
De même pour une seconde supposition admets que la première pièce coûte 4, la seconde le double, 8 plus 4 ce qui fait 12. La troisième coûte 3 fois 12, 36 retranche 7, il reste 29. Tu ajoutes les trois résultats:45.
Tu dis que pour la seconde supposition, 4, cela dépasse de 15."
Suit un schéma qui montre que pour un 1florin de plus le prix total augmente de 9. Alors il faut enlever deux tiers de florins de 3
et la première pièce coûte 2+1/3 -
Effectivement, les parties fractionnaires des racines carrées sont éstimées par interpolation linéaire entre deux valeurs entières. On en trouvera une autre confirmation sur la vignette ci dessous.
Le "Compendion de l'Abaco" est le premier ouvrage connu écrit en langue occitane, provençal ou nizzan. il est remarquable que ce soit un traîté de Mathématiques.
Avec un petit peu d'entraînement, on arrive à le déchiffrer. Par exemple, pour le problème du trapèze rectangle , je lis:
"Deux lances sont fichées en terre plane à .20. l’une de l’autre et l’une est haute de .10 et l’autre de .17. je demande combien il y a d’une cime à l’autre.
Soustrais la hauteur de la moins (grande) lance de la plus grande comme 17 de 10 reste 7 et multiplie 7 par 7 : 49 et multiplie 20 par 20 font 400. Ajoute 49 aux 400 (ça) fait 449. alors tire la racine de ceci qui est 21 et huit (sur) quarante trois et tant il y a d’une cime à l’autre".
Voici, en guise de récréation, une présentation de deux calculs "à la Pythagore", d'abord à droite, du sommet de la tour au pied du pommier, puis à gauche, du pied de la tour au "pe de l'albre"
Vous pouvez vous entraîner à déchiffrer l'exposé des calculs
Pour $\sqrt {1025}$, il n'y a pas d'explication. Pelos écrit "32 et un éclat" mais la valeur affichée sur la vignette $32+\dfrac 1 {65}$ confirme que le résultat correspond à une interpolation entre 1024 et 1089.
Il m'est arrivé parfois de travailler sur ce document avec des élèves de Quatrième.
La suite samedi, avec d'autres questions. Bonne nuit
jacquot -
Bonjour,
Pour les deux exercices suivants, je voudrais vous mettre à contribution pour résoudre des énigmes dont je n'ai pas la solution complète.
D'abord, cette question de géométrie:
Exercice 6: -
A présent, je lance appel aux Mathernautes qui ont une connaissance de la langue occitane et à ceux qui voudraient s’y essayer.
Exercice 7 :
Le chapitre VIII présente une méthode pour trouver la racine cubique de tous les nombres entiers. Wikipédia donne un décryptage du texte :
La maniera de trayre la rays cubica.
« Si tu voles trayre la rays cubica de alcun numbre propausat grant aut petit, pausa prumierament lo numbre propausat per sas differentias. E apres partas aquel numbre aut summa de tres figuras en tres figuras, comensant a la man destra fayre aquella division. Apres comensas operar desota la prumiera figura del derier ternari, sia complit aut non complit. E de la cercas una figura laqual si multiplica per sy cubicament, que leva la valor de totas figuras que stan en drech sobre ello aut plus pres che pora. Et si resta causa, aquel rest pausa en sos certans luecs, coma aves en la regula de partir. Apres che aves tout fach, ensins tripla la figura de la rays, et aquel triple pausa desota la tersa figura apres la rays dever la man destra. Apres deves cercar desota la prumiera figura del sequent ordre una autra figura che cant sera multiplicat ambe la figura de la prumiera rays ambe lo triple, et apres sensa la figura de la prumiera rays ambe aquella summa che sera venguda, et so que venga tengas a part. Apres multiplica aquella figura que aves derierrament per ta rays trobat per se cubicament. E so che per tal multiplicar vendra ajustas ambe la summa que aves tengut a part, per aquella maniera che la prumiera figura d'aquella summa que es venguda per multiplicar la figura de la rays en si cubicament occupo lo prumier luec. [...] »
Voici la suite , sous réserves d'erreurs de déchiffrage:
« Et la segõda figura daquella medesina suma sia ajustada a la prumiera d la suma che aves resut apart. E la tersa de tota la segõda. Et la quarta se y fo fa de sota la tersa ( ?) he ensins se hy cara mays de figuras en la maniera que suma daquel ajustar leua tot la sobra nubre aut plus pres che pot.
E quãt sera fach ensins tripla las figuras de la rays he commensa pansar aquel triple de sota la tersa figura dvers la man destra coma aves fach davant apres de sota la prumera figura que fassa la operacion en tota maniera coma deves anar tostemps de ordre en ordre che en cascu ordre sia trobat une figura a p rais.
E que la operatiõ de chalcuna sia leuat de las sobranas figuras en maniera que leuat tot aut plus pres che pot coma podes veyre en los exemples : "
figura = chiffre ; rais ou rays= racine ; devers la man destra = à droite
Trouverons-nous un courageux qui se donne la peine de traduire le tout ou quelqu'un pour décrire la méthode en français contemporain?
@ bientôt. jacquot -
Visiblement, les deux derniers exercices ne vous ont guère inspirés.
J'aimerais quand même avoir votre avis sur l'exercice 6 : diamètre du cercle inscrit...
Pour la traduction du texte qui décrit l'extraction de la racine cubique, je vous en fais grâce: la méthode de F.Pelos est comparable à la présentation plus claire en lien:
Comment extraire une racine cubique à la main (page perso F.Wronecki).
Pelos fait la même chose, mais il pose un peu moins proprement les soustractions, rayant au fur et à mesure les chiffres dont il n'a plus besoin.
Et surtout, son texte est difficile à suivre parce qu'il ne dispose pas de la formalisation pour écrire une explication telle que
Pelos fait des prases du genre: " tu écris derrière le chiffre candidat, tu multiplies par le triple de ce que tu as déjà, tu ajoutes le cube du chiffre candidat, tu ajoutes en décalant d'un cran vers la (main) droite "etc.Wronecki a écrit:on cherche le plus grand chiffre @ tel que l'expression :
[30 x 2@ x 2 +
(où 2@ représente le nombre formé des deux chiffres 2 et @)
soit inférieure ou égale à 2.808.
Je retiendrai simplement qu'à l'époque, on extrayait les racines cubiques suivant cette méthode fastidieuse. A choisir, je préfère la méthode de Héron adaptée aux racines cubiques.
Ainsi, pour calculer la racine cubique de 4 913 087, on pourrait se dire Que ça fait à peu près 160 (puisque 16^3=4096)
Avec ce candidat, on pose les divisions
4 913 087 : 160 = 30 706
30 706 :160 = 192
et maintenant, on fait la moyenne des deux diviseurs successifs et du dernier quotient, obtenant (2*160+192)/3 = 170,66 qui est une assez bonne approximation de la racine cubique cherchée.
[size=x-small]Cette méthode de Héron consiste à utiliser la fonction affine tangente en un point.
Elle peut donner d'excellentes valeurs approchées si le point candidat est bien choisi. Si non on réitère en ajustant mieux le candidat. Ici , on pourrait recommencer avec 170.[/size]
@suivre. jacquot -
Bonjour,
Pour l'exercice 6, la plus grande roue que le triangle équilatéral peut contenir a pour diamètre celui du cercle inscrit dans ce triangle.
A partir de la relation $S=pr$, (je ne parviens pas à déchiffrer l'occitan) pour un triangle équilatéral de côté $a$, on obtient $r=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Ici: $r=\dfrac{10 \sqrt{3}}{3} = \sqrt {\dfrac{100}{3}}= \sqrt{33+\dfrac 1 3 }= 5 \sqrt{\dfrac 4 3 }= 5\sqrt{1+\dfrac 1 3 } \approx 5(1+ \dfrac 1 6) = 5 +\dfrac 5 6$.
Je ne parviens pas à obtenir le $ 5+\dfrac 7 9$ comme mentionné sur le dessin.
Amicalement. -
Je ne sais pas non plus comment il obtient $5+\dfrac{7}{9}$ mais si on utilise le fait que $\dfrac{45}{26}$ est l'une des valeurs approchées de $\sqrt{3}$ par les fractions continues
-->1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(2+1/(1+1))))) ans = 1.7307692
on obtient le résultat. -
Merci bs, pour ton étude de l'Exercice 6
En fait, le texte occitan donne deux méthodes pour ce calcul, je m'évertuerai à en donner la traduction plus tard.
Merci aussi à JLT pour l'idée de l'approximation par fractions continues.
Quoiqu'il en soit, Pelos est amené à calculer $\sqrt{33+\dfrac 1 3 }$.
La méthode qu'il a présentée dans le chapitre "Extraire une racine carrée" est l'interpolation. J'imagine qu'il sait que cette méthode donne de meilleurs résultats quand le radicande est grand alors sans doute calculerait-il:
$\dfrac{\sqrt{300}} 3$ obtenant $\dfrac 1 3 (17+\dfrac{11}{35})$ c'est à dire $5+\dfrac{27}{35}$
Maintenant, on peut faire l'hypothèse qu'il bricole, sachant que sa valeur approchée l'est par défaut, il l'"améliorerait" tout en simplifiant son écriture par:
$5+\dfrac{28}{36}$, soit $5+\dfrac{7}{9}$
Une autre hypothèse serait qu'il fait usage de l'approximation de Héron au voisinage de 6:
$\sqrt{33+\dfrac 1 3 }=\sqrt{36-\dfrac 8 3}=\sqrt{36(1-\dfrac 2 {27})}$
Cette approximation de Héron donne alors:
$6(1-\dfrac 1 {27})$ , soit $6-\dfrac 2 9$ ou encore $5+\dfrac 7 9$
Cette deuxième hypothèse me laisse aussi perplexe que la première, parce que, dans son opuscule, Pelos ne fait pas mention de cette façon de calculer les racines carrées.
@ suivre. jacquot -
Voici ma "traduction " de l'énoncé de l'Exercice 6:
Un triangle a des côtés qui font .10.chacun.
Je demande quel est le diamètre de la plus garnde roue qu'il peur (contenir).
Pour le savoir voici la règle de la multiplication .10. fois .10. font .100.
Après, prends la moitié de .
10. qui est .5. Multiplie .5. par .5. , ça fait .25.
Soustrais .25. de .100. pour obtenir .75.
Dis la règle de proportionnalité: prends quatre neuvièmes de .75. qui font .33. et un tiers.
Et de cette valeur prends la racine carrée qui est .5. et sept neuvièmes.pour respecter la proportion.
Et tant est le diamètre de la roue.
Mais plus brèvement, tu peux faire sans calcul sinon .10. par .10. font .100.
et de cette somme, tu prends le tiers duquel tu tires la racine carrée.
Ce sera comme est dit.
* cette "proportionnalité sur les aires" m'a surpris: au lieu de prendre les deux tiers de la hauteur, il fait une proportion sur l'expression quadratique.Par ailleurs, le texte ne nous dit pas comment Frances Pelos a calculé sa racine carrée.
Tout le dernier chapitre " l'art de la jeumétrie" est dans ce style, il ne faut pas espérer y trrouver des raisonnements, mais plutôt des exercices d'application des techniques de calcul développées dans les premiers chapitres de ce béviaire qui donne avant tout des conseils pour bien calculer.
Ainsi dans le début du "Compendion", on trouve la façon de poser les quatre opérations, les techniques de calcul des racines carrée et cubique. Dans la partie centrale, divers problèmes à l'usage des commerçants plus particulièrement.
Et la géométrie vient ensuite avec des calculs de longueurs "à la Pythagore"( qui n'est jamais nommé), des calculs d'aires et le problème du cône vers la fin de l'ouvrage.
Pour les matheranutes qui souhaiteraient consulter l'ouvrage, je donne ladresse suivante Torossa Casalini où vous pourrez acheter l'accès au .pdf moyennant quelques euros.
Vous pouvez aussi m'écrire par MP.
Pour ma part, j'ai découvert le Compendion vers 2000, alors que j'étais en vacances dans le Sud-Ouest, un quotidien toulousain (la Dépêche?) avait publié la belle page avec les arbres et la tour . Je l'ai découpée pour en faire un exo pour mes collégiens, avant que de commencer à la déchiffrer...
@ suivre -
Je reviens encore sur l'expression de la partie fractionnaire d'une racine carrée présentée dans le chapitre VII:
Soit à calculer $\sqrt a$
Frances Pelos cherche d'abord la partie entère $n$ de $\sqrt a$ par une méthode d'extraction classique. On a donc $n^2\leq a<(n+1)^2$
Il fait alors l'interpolation comme suit:
$\sqrt a \approx n+\dfrac {a-n^2} {(n+1)^2-n^2} = n+\dfrac {a-n^2}{2n+1}$
Ainsi, si son extraction donne la racine entière $n$ avec un reste $r$,
il écrit : $\boxed{\sqrt a \approx n+\dfrac r {n+(n+1)}}$
Cette méthode est bonne à retenir pour obtenir rapidement des valeurs approchées par calcul mental.
Localement, elle donne toutefois de moins bonnes approximations que la méthode de Héron, si l'on maîtrise bien cette dernière....
Amicalement. jacquot -
Bonne nuit,
Grâce à vous j'en sais un peu plus sur le Compendion de l'abaco. Merci.
Bien cordialement.
PS. Entre le nissart et le provençal (de Mistral, disons) il y a pas mal de différences. Les deux sont des dialectes de la langue occitane (et non des patois!). -
@ C.de Pluquaire
Bonne nuit -
Merci pour ce très beau fil.
Mauricio -
Sympa cette discussion, mais du coup le niçois Francés Pelòs a écrit son ouvrage de calculs et problèmes pour les marchands et les soldats qui n'avaient pas accès à l'éducation ? Par contre ses problèmes militaires ont l'air irréels, une lance de 13m de long xD.
Sinon à cette même période il y avait Galigai et ses problèmes sur les rationnels du type q=(n+1)2/(n+2) avec n entier différent de -1,-2.
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