QDV8 & H62: Hommage à Frobenius
Bonjour à vous toutes et tous,
Cette "Question du Vendredi" coïncide à un hommage. La rubrique hommage renaît de ses cendres mais sera à périodicité variable quand l'anniversaire d'un des nôtres tombera un vendredi.
Ferdinand Georg Frobenius est né le 26 octobre 1849 (vous pouvez vérifier) à Charlottenbourg (Prusse, aujourd'hui Allemagne) et est décédé le 3 août 1917 à Berlin.
Nous avons beaucoup de chance car Frobenius a laissé son nom à plusieurs objets mathématiques et ce pour notre plus grand bonheur
Frobenius 1: un problème.
Dans un jeu, on totalise à chaque tour $a$ ou $b$ points, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels avec $b<a$. Il apparaît que trente-cinq nombres ne peuvent être atteints, et que l'un d'entre eux est $58$.
1) Quelles sont les valeurs de $a$ et $b$?
2) Quel est le plus grand nombre que l'on ne peut atteindre ? Comment s'appelle-t-il ?
Frobenius 2: une inégalité.
Soit $(E_1,E_2,E_3,E_4)$ quatre espaces vectoriels de dimension finie sur un corps $\K$. Soit $f \in \mathcal{L}(E_1,E_2)$, $g\in \mathcal{L}(E_2,E_3)$, $h \in \mathcal{L}(E_3,E_4)$. Montrer que : $$\mathrm{rg\,} (h\circ g) + \mathrm{rg\,}(g\circ f) \leq \mathrm{rg\,}(h \circ g\circ f) + \mathrm{rg\,}(g).$$
Bernard p/o Le Comité Du Vendredi.
Cette "Question du Vendredi" coïncide à un hommage. La rubrique hommage renaît de ses cendres mais sera à périodicité variable quand l'anniversaire d'un des nôtres tombera un vendredi.
Ferdinand Georg Frobenius est né le 26 octobre 1849 (vous pouvez vérifier) à Charlottenbourg (Prusse, aujourd'hui Allemagne) et est décédé le 3 août 1917 à Berlin.
Nous avons beaucoup de chance car Frobenius a laissé son nom à plusieurs objets mathématiques et ce pour notre plus grand bonheur
Frobenius 1: un problème.
Dans un jeu, on totalise à chaque tour $a$ ou $b$ points, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels avec $b<a$. Il apparaît que trente-cinq nombres ne peuvent être atteints, et que l'un d'entre eux est $58$.
1) Quelles sont les valeurs de $a$ et $b$?
2) Quel est le plus grand nombre que l'on ne peut atteindre ? Comment s'appelle-t-il ?
Frobenius 2: une inégalité.
Soit $(E_1,E_2,E_3,E_4)$ quatre espaces vectoriels de dimension finie sur un corps $\K$. Soit $f \in \mathcal{L}(E_1,E_2)$, $g\in \mathcal{L}(E_2,E_3)$, $h \in \mathcal{L}(E_3,E_4)$. Montrer que : $$\mathrm{rg\,} (h\circ g) + \mathrm{rg\,}(g\circ f) \leq \mathrm{rg\,}(h \circ g\circ f) + \mathrm{rg\,}(g).$$
Bernard p/o Le Comité Du Vendredi.
Réponses
-
Problème 2
On applique le théorème du rang d'abord à $h_{\vert\text{Im}(g\circ f)}$:
\begin{equation*}
\dim\text{Im} (g\circ f)=\dim\text{Im} h_{\vert\text{Im}(g\circ f)}+\dim\text{Ker\,}h_{\vert\text{Im}(g\circ f)},
\end{equation*}
puis à $h_{\vert\text{Im} g}$:
\begin{equation*}
\dim\text{Im} g=\dim\text{Im} h_{\vert\text{Im} g}+\dim\text{Ker\,}h_{\vert\text{Im} g}.
\end{equation*}
Ces deux égalités peuvent encore s'écrire sous la forme
\begin{gather*}
\text{rg}(g\circ f)=\text{rg}(h\circ g\circ f)+\dim\text{Ker\,}h_{\vert\text{Im}(g\circ f)},\\
\text{rg}(g)=\text{rg}(h\circ g)+\dim\text{Ker\,}h_{\vert\text{Im} g}.
\end{gather*}
On remarque que $\text{Ker\,}h_{\vert\text{Im}(g\circ f)}\subset\text{Ker\,}h_{\vert\text{Im} g}$ et l'on en déduit que
\begin{equation*}
\text{rg}(h\circ g)+\text{rg}(g\circ f)\leq\text{rg}(h\circ g\circ f)+\text{rg}(g).
\end{equation*}
L'inégalité de Sylvester s'en déduit facilement.
Problème 2 bis. Montrer que l'inégalité de Sylvester implique l'inégalité de Frobenius. -
Problème 1:
Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, le nombre d'entiers qui ne sont pas atteints est égal à $\frac 12(a-1)(b-1)$.
On en déduit $a=11$ et $b=8$.
Le plus grand nombre qui n'est pas atteint est égal à $ab-a-b=69$.
Je crois que ces formules sont dues à Sylvester. -
Comment s’appelle ce nombre ?
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Le plus grand nombre qu'on ne peut atteindre s'appelle nombre de Frobenius!
-
Bonsoir,
(tu) Jandri pour le Frobenius 1.
Il s'agit du problème de Frobenius précédemment évoqué sur notre forum ici ou encore là.
Cet énoncé était le problème 5 de l'examen Putman de 1971, il figure dans les Joyaux mathématiques de Ross Honsberger.
Un pdf sur le problème de Frobenius: http://math.sfsu.edu/beck/papers/frobprojects.pdf
Liens: http://mathworld.wolfram.com/CoinProblem.html http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_problem
(tu) Eric pour l'inégalité de Frobenius.
Référence: Une année de colles en Math Sup MPSI livre écrit par Eric qui a reconnu un de ses exercices
Frobenius 2 bis. Montrer que l'inégalité de Sylvester implique l'inégalité de Frobenius, proposé par Eric.
Dans son livre, Eric propose plutôt de montrer que l'inégalité de Frobenius implique l'inégalité de Sylvester:
$$\mathrm{rg\,} (f) + \mathrm{rg\,}(g) \leq \mathrm{rg\,}(g\circ f) + \mathrm{dim\,}(E_2).$$
Amicalement. -
Bonsoir,
Frobenius 3: Matrice de Frobenius
A tout polynôme unitaire $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+ \dots +a_2X^2+a_1X+a_0 \in \K[X]$ avec $\K = \R$ ou $\C$, on associe sa matrice de Frobenius encore appelée matrice compagnon.
$$C_P=\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&&-a_0\\
1&0&\cdots&0&-a_1\\
0&1&\cdots&0&-a_2\\
\vdots\\
0&0&\cdots&1&-a_{n-1}
\end{pmatrix}
$$ Convention: le polynôme caractéristique d'une matrice $M \in \mathit{M}_n(\K)$ est $\chi_M(X)= \det (M-XI_n)$.
Définition: une matrice est cyclique si elle est semblable à une matrice compagnon.
Montrer que:
3.1) tout polynôme unitaire est à la fois polynôme caractéristique et polynôme minimal de sa matrice compagnon.
3.2) une matrice est cyclique ssi son polynôme caractéristique est égal à son polynôme minimal.
3.3) si $M$ admet $n$ valeurs propres distinctes alors $M$ est cyclique. Réciproque ?
Frobenius 4: Théorème de ???
Comment s'appelle ce théorème? Soit $p$ premier $\geq 3$, $\mathbb{F}_p$ le corps à $p$ éléments, et $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{F}_p$ de dimension finie. Alors pour tout $f \in GL(E)$, on a : $$\epsilon(f)= \Big( \dfrac{\det(f)}{p} \Big)$$
[Merci Alain pour la reprise du Latex, c'est plus joli après ton passage
]
Bonne nuit. -
Salut bs,
La question Frobenius 3 est facile pour l'ancienne agrégative que je suis ! Il s'agit du théorème de Frobenius-Zolotarev que l'on trouve à la page 251 du fameux "OA" (Objectif Agrégation de Beck, Malick, Peyré).
Quant à la question Frobenius 4, j'étais une fan à l'époque des matrices compagnons (et je le suis toujours !).
Pour les questions 1 et 2, il "faut" prendre la définition unitaire du polynôme caractéristique. Ce qui est d'ailleurs, à mon avis, une bonne habitude à prendre. Cela évite de "se prendre la tête" avec des histoires de signe !
Amicalement,
Clairon. -
Une autre question "amusante" autour de l'automorphisme de Frobenius d'un corps fini $\mathbb F_q$ de caractéristique $p$. Il s'agit du morphisme $\mathcal F : \mathbb F_q \rightarrow \mathbb F_q, \quad x \mapsto x^p$.
Frobenius 5 : Quelle est la signature de cet automorphisme ?
Evidemment, la question Frobenius 4 répond à la question (au moins dans le cas où $p > 2$).
On peut aussi consulter une belle note des auteurs de OA ici :
http://objagr.gforge.inria.fr/documents/files/signature-frobenius.pdf
Clairon. -
Voici une présentation de Frobenius 1 pour des collégiens:
Un conte impayable
Le choix de 5 pour l'une des valeurs de la base, facilite l'observation et la démonstration qui doit suivre. -
Bonsoir,
(tu) Clairon,
--> pour le Frobenius 4 qui correspond effectivement au théorème de Frobenius-Zolotarev dont une démonstration figure dans Objectif Agrégation,...et une autre ici: http://www-pequan.lip6.fr/~graillat/agregation/FrobZol.pdf
--> et également pour le Frobenius 5 sur la signature de l'automorphisme de Frobenius.
Frobenius 6: "le" théorème de Frobenius (1)
Tout corps $\K$contenant $\R$ dans son centre et de dimension finie sur $\R$ est isomorphe à $\R,\C$ou $\mathbb{H}$.
6.1: A quelle occasion et en quelle année Frobenius a-t-il démontré ce théorème ? Peut-être le plus joli et/ou le plus important des théorèmes de Frobenius ?
6.2: Quelles démonstrations de ce théorème connaissez-vous?
6.3: Que faut-il modifier pour obtenir les octonions ou octaves de Cayley ?
Merci Jacquot pour le problème de Frobenius version collégiens via MSF.
Si vous souhaitez proposer un "machin de Frobenius" accompagné d'une ou plusieurs questions comme vient de le faire Clairon, c'est bien volontiers que nous vous lirons.
Amicalement. -
On ajoutera à la liste un théorème de Perron-Frobenius http://mathworld.wolfram.com/Perron-FrobeniusTheorem.html et un :
Problème 7 : application du théorème de Perron-Frobenius
Comment est appliqué ce théorème pour classer les sites lors de l'utilisation d'un moteur de recherche sur internet ?
[Activation du lien. AD] -
Bonsoir,
Bien vu et merci Eric pour ce Frobenius 7 : théorème de Perron-Frobenius
Ce théorème qui concerne les matrices positives primitives ou irréductibles était le thème du
- problème d'agrégation externe 1995 : http://agreg.org/sujets/M95AD1E.PDF ou encore du
- problème d'agrégation interne 2009 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,491735,491735#msg-491735
Cependant, notre professeur d'algèbre linéaire en prépa agreg conseillait plutôt le problème ci-dessous de notre ami Jean-Etienne :
Quand au problème 7 proposé par Eric : "Comment est appliqué ce théorème pour classer les sites lors de l'utilisation d'un moteur de recherche sur internet ? "
Wikiki http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Perron-Frobenius précise : le vecteur de Gogol utilisé lors du calcul des pagerank de Gogol est un vecteur de Perron-Frobenius. Une explication claire est fournie dans ce document de Bachir Bekka.
C'était le quart d'heure Frobenius, à suivre...
Amicalement. -
Bonjour,
Frobenius 8 : Groupe de Frobenius
Un groupe de Frobenius est un groupe de permutations agissant transitivement sur un ensemble fini, tel qu'aucun élément non trivial ne fixe plus d'un point et tel qu'au moins un point est fixé par un élément non trivial.
Le plus petit exemple est $\mathfrak{S}_3$: si $\mathfrak{S}_3$ opère sur $\{1,2,3\}$,
$(1,2)$ ne fixe que 3, $(2,3)$ ne fixe que 1, $(1,3)$ ne fixe que 2, $(1,2,3)$ et $(1,3,2)$ ne fixent rien du tout, et,
1 est fixé par $(2,3)$.
Exercice 8.1 : montrer qu'un groupe fini $G$ agissant sur un ensemble $X$ est un groupe de Frobenius si et seulement si $G$ possède un sous-groupe propre $H$
tel que $H \underset{g \notin H}{\bigcap} gHg^{-1} = \{e\}$ (ici c'est pour tout $g \notin H),$
ou encore
tel que $ \mid \underset{g \in G}{\bigcup} gHg^{-1} \mid= \mid G \mid +1 - \dfrac {\mid G \mid}{\mid H \mid}$, (ici c'est l'union pour tous les $g \in G$).
Un tel sous-groupe $H$ est appelé complément de Frobenius du groupe $ G$.
L'élément neutre ainsi que tous les éléments sans point fixe forment un sous-groupe $K$ appelé le noyau de Frobenius du groupe $G$, Frobenius a démontré en 1901 que ce sous-groupe $K$ est normal, puis J. G. Thompson montra en 1959 que ce noyau de Frobenius $K$ est également un groupe nilpotent.
De plus, Frobenius démontra que $G = K \rtimes H$.
Exercice 8.2 : Montrer que $D_{2n+1}$ est un groupe de Frobenius.
Exercice 8.3 : Pour chaque corps fini $F_q$ avec $q > 2$ éléments, le groupe des transformations affines inversibles $x \rightarrow ax+b ~~ (a \neq 0)$, avec son action naturelle sur $F_q$ est un groupe de Frobenius d'ordre $q(q-1)$.
Amicalement. -
Bonjour,
Toujours en théorie des groupes:
Frobenius 9 : Théorème de Frobenius (2) - 1895
Si $G$ est un groupe fini et si $p$ est le plus petit diviseur premier de son ordre, alors tout sous-groupe $H$ de $G$ d'indice $p$ est normal dans $G$.
Une preuve ? Quelles applications de ce théorème connaissez-vous ?
Amicalement. -
Tiens ça fait longtemps que je n'ai pas regardé les QD*.
Frobenius 9 : on fait agir $H$ par translation à gauche sur $G/H$. L'ensemble $G/H$ a pour cardinal $p$. Le point $H$ est stable. Soit $X$ son complémentaire dans $G/H$, alors $X$ a un cardinal $<p$, donc pour tout $g\in G\setminus H$, l'orbite de $gH$ a un cardinal $<p$. Comme par ailleurs ce cardinal divise celui de $G$, et comme $p$ est le plus petit facteur premier de $|G|$, il est égal à 1. Autrement dit, pour tout $h\in H$ on a $hgH=gH$, ce qui équivaut à $g^{-1}hg\in H$. Ceci prouve que $H$ est distingué.
Il ne me vient pas d'idées d'applications pour le moment. -
Frobenius 8 : il faut sans doute ajouter l'hypothèse que l'ensemble $X$ comporte au moins 2 éléments.
Exercice 8.1 : supposons que $G$ est un groupe de Frobenius. Soit $a$ un élément de $X$ fixé par un élément non trivial. Soit $H$ le stabilisateur de $a$. $H$ n'est pas réduit à l'élément neutre par hypothèse. Il n'est pas égal à $G$ car l'action est transitive. Donc $H$ est un sous-groupe non trivial de $G$.
D'autre part, si $h\in H\cap gHg^{-1}\setminus \{e\}$ alors $h$ fixe $a$ et $ga$, donc $a=ga$, donc $g\in H$. Ceci prouve que $H\cap gHg^{-1}=\{e\}$ pour tout $g\in G\setminus H$.
Réciproquement, si $H$ est un groupe vérifiant les hypothèses ci-dessus, alors $G$ agit sur $G/H$ et on vérifie aisément que $G$ muni de cette action fait de $G$ un groupe de Frobenius.
Si $H\cap gHg^{-1}=\{e\}$ pour tout $g\in G\setminus H$, alors pour toute famille $(g_i)$ telle que $G=\amalg g_i H$, on a
$$\cup_g gHg^{-1}=\cup_i g_iHg_i^{-1}=\{e\}\amalg \amalg_i g_i(H\setminus \{e\})g_i^{-1}$$
a pour cardinal $1+|G|/|H|\times (|H|-1)$. Et réciproquement. -
Exercice 8.2 : prendre pour $H$ le sous-groupe à deux éléments engendré par une symétrie.
-
Exercice 8.3 : vérification immédiate, toute transformation affine de la droite qui fixe au moins deux points est l'identité.
-
Bonsoir,
Bonsoir,
(tu) JLT pour les Frobenius 8 et 9.
Frobenius 8 bis = prolongation du Frobenius 8
J'ai découvert les groupes de Frobenius à l'occasion de cette QDV8, pas beaucoup de développements dans la littérature française, rien trouvé chez Delcourt, Josette, Bouvier-Richard, Perrin, Querré,..Il a fallu aller flirter chez nos amis anglo-saxons (Rotman, Aschbacher,...) et sur la toile, par exemple wikiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Frobenius ou encore ce cours de Jean-Pierre Serre à l'Ecole Normale Supérieure de Jeunes Filles en 1978/1979: http://www.college-de-france.fr/media/historique/UPL61389_groupes_finis.pdf.
Les rares précédents messages du forum portant sur les groupes de Frobenius sont ici
Le nombre de groupes de Frobenius d'odre $n$ se trouve là : http://oeis.org/search?q=A178498&sort=&language=english&go=Search
Il y a 22 groupes de Frobenius d'odre $\leq 50$. On y retrouve $D_3 \sim S_3$, puis successivement $D_5$, un groupe d'ordre 12, $D_7$, deux groupes d'ordre 18 dont $D_9$, le groupe d'ordre 20 correspondant au groupe des transformations affines inversibles $x \rightarrow ax+b ~~ (a \neq 0)$ dans $\mathbb{F}_5$ (question 8.3), puis un groupe d'ordre 21, $D_{11}, D_{13}, D_{15}, D_{17}$, un groupe d'ordre 36, $D_{19}$, un groupe d'ordre 39, deux groupes d'odre 42 qui sont $D_{21}$ et le groupe des transformations affines inversibles $x \rightarrow ax+b ~~ (a \neq 0)$ dans $\mathbb{F}_7$, $D_{23}$, deux groupes d'ordre 48 et deux groupes d'ordre 50 dont $D_{25}$.
Les sept seuls groupes d'ordre $\leq 50$ non identifiés sont donc:
-> un groupe d'ordre 18 non isomorphe à $D_9$
-> un groupe d'ordre 21
-> un groupe d'ordre 36
-> un groupe d'ordre 39
-> un groupe d'ordre 42 non isomorphe à $D_{21}$
-> deux groupes d'ordre 48.
A quoi ressemblent ces sept groupes de Frobenius, quel est leur produit semi-direct ?
Par exemple dans l'OEIS est précisé : le groupe de Frobenius d'ordre 18 non diédral est $ (Z/3Z \times Z/3Z) \rtimes_{\Phi} Z/2Z$ avec $\Phi(1) (a,b)= (-a,-b)$ où $a$ et $b$ sont des générateurs de $Z/3Z$ et $Z/3Z$.
Merci.
Amicalement. -
Si $p<q$ sont des nombres premiers tels que $p$ divise $q-1$, alors $\Z/p\Z$ agit non trivialement sur $\Z/q\Z$ : en effet, soit $m$ un élément d'ordre $p$ dans $(\Z/q\Z)^*$. Pour tout $s\in\Z/p\Z$, on définit $\alpha_s(x)=m^sx$. Alors $s\mapsto \alpha_s$ est un morphisme de $\Z/p\Z$ dans $\mathrm{Aut}\,(\Z/q\Z)$. Le produit semi-direct $G=\Z/q\Z\rtimes_\alpha \Z/p\Z$ est un groupe de Frobenius : on prend $H=\Z/p\Z$. Si $g\in G\setminus H$ vérifie $H\cap gHg^{-1}\ne \{0\}$, alors comme $H$ est d'ordre premier on a $H=gHg^{-1}$. Le normalisateur de $H$ seraait alors un sous-groupe de $G$ contenant $H$, donc serait égal à $G$, et $H$ serait normal. Impossible.
Ceci règle les groupes d'ordre 21 et 39. -
Soit $\alpha : H\to \mathrm{Aut}(K)$ une action de $H$ sur $K$ telle que l'action de $H$ sur l'ensemble $K\setminus \{1\}$ soti libre. Alors $G=K\rtimes_\alpha H$ est un groupe de Frobenius. En effet, supposons que $g=(k,h)$ vérifie $k\ne 1$ et $gHg^{-1}\cap H \ne \{1\}$. Alors $kHk^{-1} \cap H\ne \{1\}$, donc il existe $x\in H\setminus \{1\}$ tel que $kxk^{-1}\in H$, donc $kxk^{-1}x^{-1}\in H\cap K=\{1\}$, ce qui entraîne $\alpha_x(k)=k$. Contradiction.
Ceci permet de trouver
1) Un groupe de Frobenius d'ordre 36 : $\Z/4\Z$ agit sur $(\Z/3\Z)^2$ de sorte que l'action de $1\in \Z/4\Z$ sur $(\Z/3\Z)^2$ est $(a,b)\mapsto (-b,a)$.
2) Un groupe de Frobenius d'ordre 42 : $\Z/7Z\rtimes \mathrm{Aut}(\Z/7\Z)$.
3) Un groupe de Frobenius d'ordre 48 : la multiplication par un élément d'ordre 3 dans $\mathbb{F}_{16}^*$ donne une action de $\Z/3\Z$ sur le groupe $(\mathbb{F}_{16},+)$ (qui est isomorphe à $(\Z/2\Z)^4$).
Manque un groupe d'ordre 48, je ne vois pas encore. -
Ah je crois que je l'ai.
$$(x,y)\mapsto (-y,x-y)$$
est un élément d'ordre 3 du groupe des automorphismes de $(\Z/4\Z)^2$, donc fournit une action de $\Z/3\Z$ sur $(\Z/4\Z)^2$. Le produit semi-direct correspondant est un groupe de Frobenius d'ordre 48. -
Bonjour,
Merci JLT.
Peut-être serait-il préférable d'ouvrir un fil intitulé Groupes de Frobenius regroupant un peu tous les messages sur ce thème ?
La première famille de groupes de Frobenius rencontrée est celle des groupes diédraux $D_{2n+1}$.
1) approche du cours via les produits semi-directs :
Si $s$ est la réflexion par rapport à un axe passant par le centre du polygone et par un sommet, alors $<s> \simeq \Z/2\Z$,
si $r^$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2 \pi}{2n+1}$, alors $<r> \simeq \Z/(2n+1) \Z$,
alors $ D_{2n+1}\simeq \Z/(2n+1) \Z \rtimes_{\phi} \Z/2\Z $ où l'action $\phi$ est définie par $\phi(\bar{1})(\bar{k})=\bar{k}^{-1}$pour tout $\bar{k} \in \Z/(2n+1)\Z $,
ou encore: $\phi(s)(r)=s.r=srs^{-1}=r^{-1}$
Une présentation est donc $<s,r \mid s^2=r^{2n+1}=1, srs^{-1}=r^{-1}>$
2) approche par les groupes de Frobenius :
Le complément de Frobenius $H$ de $D_{2n+1}$ qui ne fixe qu'un seul point est le sous-groupe $<s>$.
Le noyau de Frobenius $K$ constitué par l'élément neutre ainsi que tous les éléments sans point fixe est $<r>$, de plus l'indice de $K$ dans $D_{2n+1}$ est égal à 2, et par le théorème du Frobenius 9, $K$ est normal. .
Théorème de Frobenius: $ D_{2n+1}= K \rtimes H$.
A suivre: le groupe affine dans le corps $\mathbb{F}_q$ quand $q=p^n$ et $p$ premier.
Amicalement. -
Bonjour,
Une seconde famille de groupes de Frobenius rencontrée est celle du groupe affine dans $\mathbb{F}_q$ quand $q= p^n$, $p$ premier, $n \geq 1$, $q \geq 3$.
1) approche du cours via les produits semi-directs des groupes affines :
Si $\mathcal{E}$ est un espace affine sur l'espace vectoriel $E$, alors le groupe des automorphismes affines de $\mathcal{E}$ encore appelé groupe affine de $\mathcal{E}$ et noté $GA(\mathcal{E})$ est isomorphe (cours) à
$GA(\mathcal{E}) \simeq \mathbb{T}(\mathcal{E}) \rtimes_\phi GL(E) \simeq E\rtimes_\phi GL(E)$ où $\mathbb{T}(\mathcal{E})$ est le groupe des translations de $\mathcal{E}$.
Lorque le corps de base de $E$ est un corps fini $\mathbb{F}_q$, $q= p^n$, $p$ premier et $q\geq 3$ alors
$GA(1,\mathbb{F}_q) \simeq \mathbb{F}_q \rtimes_\phi GL(1,\mathbb{F}_q )\simeq \mathbb{F}_q \rtimes_\phi \mathbb{F}_q^{\times} $
$\mid GA(1,\mathbb{F}_q) \mid = q(q-1)=p^n(p^n-1)$
2) approche par les groupes de Frobenius :
Les automorphismes de $\mathbb{F}_q$ sont les applications $f_{a,b}$ tels que $f_{a,b}(x)=ax+b$ avec $a \in \mathbb{F}_q^{*}$ et $b \in \mathbb{F}_q.$
Pour chaque $f_{a,b}$ avec $a \neq 1$ il existe un unique point fixe $c \in \mathbb{F}_q$ vérifiant $ac+b=c$ ie $c=-b(a-1)^{-1}.$ L'ensemble des applications $f_{a,b}$ laissant fixe un tel élément $c$, le stabilisateur de $c$, constituent un groupe d'ordre $q-1$ qui est le complément de Frobenius $H$ de $GA(1,\mathbb{F}_q).$ Dans le cas où $q=p$ premier, ce sous groupe est cyclique isomorphe à $\Z/(p-1)\Z$; par exemple $H=<f_{2,3}>= \{f_{2,3}, f_{4,4}, f_{3,1}, f_{1,0}=Id \}$ est le stabilisateur de 2 dans $GA(1,\mathbb{F}_5)$, ou encore $H= <f_{2,0}>$ qui fixe 0.
Le noyau de Frobenius $K$ est engendré par les les translations $f_{1,1}$.
Dans le cas où $q=p$ premier, ce sous-groupe cyclique est constitué de l'élément neutre ainsi que de tous les éléments sans point fixe: $K = <f_{1,1}>= \{f_{1,1},f_{1,2},\dots,f_{1,p}= f_{1,0}= Id\}$.
On a : $\mid K \mid =q.$
On retrouve par le théorème de Frobenius: $ GA(1,\mathbb{F}_q)= K \rtimes_{\phi} H$.
Le groupe affine de Frobenius dans $\mathbb{F}_5$ est étudié ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,787165,787165#msg-787165
Est-il possible de définir une action de $H$ sur $K$ qui soit valide pour toute cette famille de groupes affines ?
Amicalement. -
Re,
Par deux fois, au moment d'un aperçu, l'écran a affiché ceci, et impossible ensuite de retrouver le texte du message :
"Notre logiciel anti-SPAM a détecté que votre message pouvait être un SPAM. Si votre message n'était pas un SPAM, alors toute nos excuses pour le dérangement causé. Si vos messages sont régulièrement bloqués, SVP contactez les administrateur du site.
Note : Si la fonction java-script de votre fureteur (browser) est désactivée ou qu'elle n'est pas supportée, ceci pourrait être la raison que vos messages sont bloqués. Certaines fonctionnalités de notre logiciel anti-SPAM utilise les fonction java-script."
Dur, dur...à tout retaper le Latex...
Amicalement. -
Bonjour JLT,
Merci pour cette recette que je testerai si besoin, je ne connaissais pas le nom "backstage" : http://www.google.fr/search?q=backspace&hl=fr&qscrl=1&rlz=1T4GGLL_frFR440FR441&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=z1CWUIagHuiM0AXSkoDoDQ&sqi=2&ved=0CE4QsAQ&biw=1266&bih=733
Amicalement. -
Bonjour,
Après une pause sur les groupes de Frobenius, voici un nouveau schmilblick de Frobenius :
Frobenius 10 : Norme de Frobenius
La norme de Frobenius est définie pour tout $A \in M_n(\C)$ par $\mid \mid A \mid \mid_F = \sqrt{\overset{n}{\underset{i,j=1}{\sum}}{\mid a_{ij} \mid^2}} $.
10.1 : sous quels autres noms est connue cette norme ?
10.2 : la norme de Frobenius est-elle une norme sous-multiplicative ie vérifiant : $$\mid \mid AB \mid \mid_F ~~ \leq ~~ \mid \mid A \mid \mid_F~~ \mid \mid B \mid \mid_F~~~~(1)$$ 10.3 : la norme de Frobenius est-elle une norme matricielle subordonnée à une norme vectorielle ?
10.4 : la norme de Frobenius est-elle une norme induite par un produit scalaire ?
10.5 : démontrer les inégalités suivantes vérifiées par $\mid \mid ~~\mid \mid_F$ :
Rappel: si $\mid \mid A \mid \mid_2$ est la norme subordonnée à la norme euclidienne dans $\C$,
on a: $\mid \mid A \mid \mid_2 = \sqrt{\rho(AA^{*})}= \mid \mid A^{*} \mid \mid_2 $, c'est la racine du rayon spectral de $AA^{*}$.
$ \mid \mid A \mid \mid_2 ~~ \leq ~~ \mid \mid A \mid \mid_F ~~ \leq ~~ \sqrt{n} \mid \mid A \mid \mid_2 ~~~~(2)$
$ \mid \mid AB \mid \mid_F ~~ \leq ~~ \mid \mid A \mid \mid_F ~~ \mid \mid B \mid \mid_2~~~~(3)$
$ \mid \mid AB \mid \mid_F ~~ \leq ~~ \mid \mid A \mid \mid_2~~ \mid \mid B \mid \mid_F~~~~(4)$
Si $U$ et $V$ sont unitaires, alors $ \mid \mid U A \mid \mid_F ~~ = ~~ \mid \mid A \mid \mid_F ~~= ~~\mid \mid AV \mid \mid_F~~~~(5)$
10.6 : quelles sont les autres propriétés vérifiées par $\mid \mid ~~\mid \mid_F$ que vous connaissez ?
Amicalement. -
10.1. C'est la norme de Hilbert-Schmidt.
10.3. Non si $n\ge 2$ car la norme de l'identité n'est pas égale à 1.
10.4. Oui, par $\langle A,B\rangle = \mathrm{Tr}(A^*
$.
10.5 Pour toute base orthonormée $(e_i)$, $||A||_F^2=\mathrm{Tr}(A^*A)=\sum_i \langle e_i,A^*A e_i\rangle = \sum_i ||A(e_i)||^2$. Les inégalités (2) en découlent facilement.
On a évidemment $||A||_F=||A^*||_F$ par définition.
$||AB||_F^2=\sum_i ||AB(e_i)||^2\le ||A||_2^2 ||B(e_i)||^2=(||A||_2\,||B||_F)^2$. On en déduit (4). Ensuite, (3) s'obtient en passant à l'adjoint.
Comme $||U||_2=1$ on a d'après ce qui précède $||UA||_F\le ||A||_F$. De même, $||U^{-1}||_2=1$ donc on a l'inégalité inverse. Idem pour le produit à droite par un unitaire.
10.2 : combiner (2) et (3). -
10.1 ...et aussi norme de Schur.
-
Bonjour,
(tu) pour le Frobenius 10, trois noms différents dont celui de trois mathématiciens allemands pour une même norme, ça fait un peu beaucoup...
Frobenius 11 : la réduction de Frobenius
Si $P_1, \dots, P_r$ désigne la suite des invariants de similitude de $f \in \mathcal{L}(E)$, il existe une base $B$ de $E$ telle que $$Mat_B(f)=\begin{pmatrix}
C(P_1)&0&\cdots&&0\\
0&C(P_2)&0&\cdots&0\\
0&0&C(P_3)&\cdots&0\\
\vdots\\
0&0&\cdots&0&C(P_r)
\end{pmatrix}
$$
avec $\Pi_f=P_1$ (polynôme minimal) et $\Chi_f= (-1)^nP_1P_2 \dots P_r$ (polynôme caractéristique).
Les $C(P_i)$ sont les matrices de Frobenius des polynômes $P_i$ présentées dans le Frobenius 3.
Applications :
11.1: dans $M_n(\R)$ avec $n=2$ ou $3$, deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont même polynôme minimal et même polynôme caractéristique. Exhiber un contre exemple pour $n=4$.
11.2 : toute matrice est semblable à sa transposée.
11.3 : montrer qu'il n'existe que deux formes de décomposition de Frobenius pour $n=2$ et trois pour $n=3$. Et combien pour $n=4$, et pour $n$ quelconque ?
Amicalement. -
@ JLT
Backspace = Retour Arrière
Bonne journée.
RC -
problème 1
J'avais mis en ligne un programme javascript qui détermine le "nombre de Frobenius" d'un ensemble d'entiers premiers entre eux.
C'est ici:
Frobenius calculator
ce qui permet de vérifier la solution de Jandri
Avec les entrées 11 8
g(11,8)= 69 <- Le plus grand nombre qui ne peut être atteint
NRI(11,8)= 35 <- Le nombre d'entier qui ne peuvent pas être atteint
Et la liste des entiers pas atteints:
1,2,3,4,5,6,7,9,10,12,13,14,15,17,18,20,21,23,25,26,28,29,31,34,36,37,39,42,45,47,50,53,58,61,69 -
Bonjour,
Merci Joel pour ce lien permettant d'obtenir la solution au problème de Frobenius encore appelé équation de Frobenius, c'était le Frobenius1.
Voici un document rédigé par Paul Erdös et R.L.Graham : On a linear diophantine problem of Frobenius, Acta Arithmetica, 21 (1972), relatif au nombre de Frobenius.
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Bonjour!
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