QDV 10: Cap CAPES! Même pas cap?!

Norbert : a écrit:

Friedrich Engel (1861-2011)

Celui-là, il est bon pour le Guiness des records, Mathusalem n'ayant pas été homologué .

Bruno

Pour Ivan Niven, il me semble l'avoir déjà écrit, et j'ai donné de plus la référence exacte de l'article, et un autre participant de ce forum l'a retrouvé en ligne, et j'ai donné aussi une curiosité, l'exposé de cette démonstration dans le "Journal de mathématiques élémentaires" de la librairie Vuibert, en 1961. Je fais moi aussi un peu d'histoire des mathématiques - oh si peu ...
Quant au corrigé, il me semble qu'un autre participant en a déjà fait un, qui est très bien rédigé. Contrairement au point de vue considéré comme correct aujourd'hui, "collégial" n'est pas une qualité en soi.
RC

Personne ne m'en voudra si je fais à la fois 2.1 et 2.2 :

C'est pas marrant si JLT et moi on est les seuls à répondre ! Je vais mettre un lien dans l'autre fil.

En attendant, en m'aidant de mes maigres compétences en proba et de Maple, je tente les terribles questions B.1.1 et B.1.2 :

B.1.1 : $A$ est un système complet d'évènements donc $p_1+p_2+p_3+p_4=1$, d'où $p_1=p_2=p_3=p_4=\dfrac{1}{4}$ et $H(A)=-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{1}{4}=\ln 4=2\ln 2$.

B.1.2 : Plus dur : $H(A)=-\dfrac{1}{8}\ln\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}\ln\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{4}\ln 2$.

Je me demande sur combien de points étaient ces questions...

Alors, B.3.1.
Soit $f$ convexe sur un intervalle $I$.
Démontrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$ la propriété $P_n$ suivante : étant donné $(x_1,...,x_n)\in I^n$, et $(\lambda_1,...,\lambda_n)\in \mathbb{R}_{+}^n$ avec $\sum_{k=1}^{n}{\lambda_k}=1$, on a : $f\left(\sum_{k=1}^{n}{\lambda_k x_k}\right)\leq \sum_{k=1}^{n}{\lambda_k f(x_k)}$.

Si $n=1$, les deux quantités à gauche et à droite de l'inégalité sont égales à $f(x_1)$ et l'inégalité est donc vraie. Ainsi $P_1$ est vérifiée.

$P_2$ est exactement la définition de la convexité de $f$. Par hypothèse, $P_2$ est donc également vérifiée.

Supposons maintenant $P_{n-1}$ vraie pour $n\in\mathbb{N}, n\geq 2$ fixé quelconque, et montrons $P_n$. Soit $(x_1,...,x_n)\in I^n$, et $(\lambda_1,...,\lambda_n)\in \mathbb{R}_{+}^n$ avec $\sum_{k=1}^{n}{\lambda_k}=1$. Si $\lambda_n=1$, c'est qu'alors tous les autres $\lambda_i$ sont nuls (ils doivent être positifs et $\sum_{i=1}^{n-1}{\lambda_i}=1-\lambda_n=0$). Supposons maintenant $\lambda_n \neq 1$. Alors on a $\sum_{k=1}^{n}{\lambda_k x_k}=\lambda_n x_n + (1-\lambda_n) \left( \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n} x_k} \right)$ (on a séparé le terme en $x_n$ et tous les autres termes, qu'on a multipliés et divisés par le scalaire non nul $1-\lambda_n$). Mais en utilisant la convexité de $f$, avec les points $x=x_n, y=\sum_{k=1}^{n-1}}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n} x_k}$ affectés des coefficients respectifs $\lambda_n$ et $(1-\lambda_n)$, on a :
$f\left(\sum_{k=1}^{n}{\lambda_k x_k}\right) = f\left(\lambda_n x_n + (1-\lambda_n) \left( \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n} x_k}\right)\right) \leq \lambda_n f(x_n) + (1-\lambda_n) f \left( \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n} x_k}\right)$.
Ensuite, en remarquant que $\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n}}=\frac{\sum_{k=1}^{n-1}{\lambda_k}}{1-\lambda_n}=\frac{1-\lambda_n}{1-\lambda_n}=1$, on peut majorer le terme de droite grâce à $P_{n-1}$ (par hypothèse de récurrence), avec les points $x_k, 1\leq k\leq n-1$, affectés des poids respectifs $\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n}$. Cela donne $f \left( \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n} x_k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n} f(x_k)}$. Donc $(1-\lambda_n) f \left( \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{\lambda_k}{1-\lambda_n} x_k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n-1}{\lambda_k f(x_k)}$. En injectant cette inégalité dans celle trouvée plus haut, on obtient exactement l'inégalité de définition de $P_n$.

$P_n$ étant vraie pour $n=1$ et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.

Bonjour,

Merci à tous pour vos contributions (tu)

Merci Juge Ti pour cet appel à la population que tu as lancé ici.

B.3.2
Soit $f: x\in]0,1[\mapsto x \ln(x)$, alors $f'(x)=1+ \ln(x)$ et $f''(x)= \dfrac{1}{x}.$

La fonction $f''$ est clairement positive sur $]0,1[$; en admettant le théorème proposé dans l'énoncé : $f$ est deux fois dérivable sur $]0,1[$ et $f''$ est positive sur $]0,1[$, donc la fonction $f: x\mapsto x \ln(x)$ est convexe sur $]0,1[$.

Amicalement.

Greg qui fait des probas !
Le changement, c'est maintenant !;)

{\bf C.1.2.}
\begin{eqnarray*}
H(h)&=& -\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda t}(\ln \lambda -\lambda t)\,dt\\
&=& \int_0^\infty e^{-u}(-\ln\lambda+u)\,du\qquad (u=\lambda t)\\
&=& [(\ln\lambda) e^{-u}-(u+1)e^{-u}]_0^\infty\\
&=& 1-\ln\lambda.
\end{eqnarray*}

Evidemment l'énoncé est faux, il faut enlever l'hypothèse de continuité de $f$. D'autre part il faut poser par convention $x\ln x=0$ si $x=0$.

Merci pour la précision, JLT.

Du coup je ne vois plus l'intérêt de parler de système complet d'événements au début de la partie B.

Je me pose donc la question : Est-ce que tous les sujets de Capes sont écrits avec mes pieds, ou est-ce spécial à cette année pour ne pas trop nous faire regretter la fin du monde ?

Je note qu'il faudra se souvenir de la continuité à la question 3.3.

@Greg.

Je crois que l'alternative est simple : Soit dire que c'est du cours, soit détailler en faisant le ménage à fond dans les coins.
La première branche me semblant inacceptable...

amicalement,

e.v.

{\bf C.3.2} On a $-\int_\R f(t)\ln(g(t)){\rm d}t=\frac{1}{2}\int_\R t^2f(t){\rm d}t+\ln(\sqrt{2\pi})\int_\R f(t){\rm d}t=1/2+\ln(\sqrt{2\pi})=H(g)$

On ne l'arrête plus. Si ça continue, il va résoudre tous les problèmes ouverts de théorie de Galois inverse ! ::o

C.3.3.

En posant $x=f(t)$ et $y=g(t)$, on a d'après C.2.1. $x\ln y - x\ln x - y + x \leqslant 0$ soit $f(t)\ln (g(t)) - f(t)\ln (f(t)) - g(t) + f(t) \leqslant 0$, ce pour tout $t$ réel. En intégrant sur $\mathbb R$, toutes les intégrales étant supposées convergentes, on a
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ln (g(t)) \,\mathrm dt - \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ln (f(t)) \,\mathrm dt - \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \,\mathrm dt + \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \,\mathrm dt \leqslant 0. $$
Or $\int_{\mathbb R} f(t)dt=\int_{\mathbb R} g(t)dt=1$.
Donc
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ln (g(t)) \,\mathrm dt - \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ln (f(t)) \,\mathrm dt \leqslant 0, $$
Soit $H(f) \leqslant H(g)$.
D'après C.2.2, on a $H(g)=H(f)$ si et seulement si $g(t)\ln(g(t))-f(t)\ln(f(t))+g(t)-f(t)=0$ pour tout $t\in\mathbb R$ (car la fonction sous l'intégrale est redevenue continue tout d'un coup.)
Mais d'après C.2.1., cela équivaut à $f=g$.

Damned! je me suis embrouillé entre les $f$ et les $g$. Pour ma pénitence, je vais Jordaniser une dizaine de matrices 5x5

Bonjour,

Voilà un pdf fruit de votre participation, mille mercis à toute et à tous, ce fut rondement mené.

Le résultat ne semble pas trop cacophonique.

N'étant pas un pro du Latex, le texte en tex peut être facilement amélioré, je l'enverrai ensuite à ev pour obtenir un corrigé complet de cette première épreuve.

Merci pour vos remarques pertinentes et constructives en direct et en mondiovision ici sur le forum ou alors en MP.

Amicalement.

Dernière version du 29/11/2012 :