Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
251 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

QDV 13 & H64: Sourions à Souriau

Envoyé par Norbert Verdier 
QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
Bonjour à toutes et à tous;

Le 15 mars dernier (2012), sartorius nous apprenait le décès de Jean-Marie Souriau, l'un des pères fondateurs de la géométrie symplectique.

Le Comité du Vendredi propose d'honorer la mémoire de Jean-Marie Souriau dans le cadre de cette QDV 13.

Au tout début de cette vidéo enregistrée en 2010 [www.youtube.com] Jean-Marie Souriau évoque brièvement deux résultats :

Souriau 1 : quelle est la propriété que possèdent les diviseurs d'un diviseur d'un nombre ?

Souriau 2 : à quoi correspond la limite de la moyenne égale à $\dfrac{\pi^{12}}{893025}$ ?
Amicalement. Bernard p/o Le Comité du Vendredi.
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
Juste un témoignage ébloui : cet homme était franchement génial.
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
avatar
Bonjour
Pour Souriau 2, je dirais la valeur particulière de'une fonction hypergéométrique généralisée.
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
Bonjour
Pour Souriau 2 il s'agit d'un cas particulier de la formule:
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}\sigma_s(d)\sim\dfrac{\zeta(s+1)^2}{s+1}n^{s+1}$ où $\sigma_s(n)=\displaystyle\sum_{d|n}d^s$ et $\zeta$ désigne la fonction de Riemann..
Pour $s=5$: $\displaystyle\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}\sigma_5(d)\sim\dfrac{\pi^{12}}{6\times 893025}n^{6}$.
La démonstration est analogue à celle de:
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma_s(k)\sim\dfrac{\zeta(s+1)}{s+1}n^{s+1}$
bs
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
avatar
Bonjour,

thumbs down et merci jandri pour le Souriau 2.

Ton aisance à généraliser les différentes questions posées sur notre forum comme lors de la QDV 5 ici ou encore laisse admiratif.

Effectivement $\zeta(6)= \dfrac{\pi^6}{945}$ et $945^2=893025.$

Sais-tu, ou tout autre intervenant, où trouver une démonstration des deux résultats que tu énonces ? Merci et bonne journée.

Amicalement.
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
Merci bs pour ces compliments mais c'est toi qu'il faut remercier pour proposer ces QDV toujours très intéressantes.
Au départ je connaissais l'équivalent pour la moyenne de la somme des diviseurs:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma(k)\sim\dfrac{\pi^2}{12}n^2$
Une démonstration figure page 93 du livre" Autour du nombre pi" de Pierre Aymard et Jean-Pierre Lafon chez Hermann.
Elle est basée sur $ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma(k)=\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}d=\sum_{(x,y) , 1\le xy\le n}y=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^{[ n/x]}y$.
On généralise sans problème à:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma_s(k)\sim\dfrac{\zeta(s+1)}{s+1}n^{s+1}$ où $\sigma_s(n)$ est la somme des puissances $s$ des diviseurs de $n$.
A l'aide de cet équivalent j'ai eu l'idée d'obtenir de manière analogue:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sum_{d\vert k}\sigma_s(d)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^{[ n/x]}\sigma_s(y)\sim\dfrac{\zeta(s+1)^2}{s+1}n^{s+1}$.
Jean-Marie Souriau a du oublier le facteur $\dfrac1{6}$ mais on lui pardonne volontiers (il en parle plus de soixante ans après l'avoir cherché!)
bs
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
avatar
Bonjour,

Merci jandri pour ces compléments et pour la référence.

Souriau 3 : un peu de symplectique...

Effectivement, pas possible de rendre hommage à Jean-Marie Souriau l'un des pères fondateurs de la géométrie symplectique sans aborder ici quelques objets symplectiques.

Ci-dessous un très joli énoncé de problème proposé à l'Université Henri Poincaré de Nancy 1, lors du Capes blanc du 20/09/2006, avec des matrices symplectiques, des formes symplectiques et des endomorphismes symplectiques...ben dis donc, c'est pas des charlots à Nancy !

Il serait possible de résoudre pas à pas ce problème tous ensemble, mais

1) Quelle est l'origine exacte de cet énoncé ici un peu tronqué ?

2) Pouvez-vous exhiber un corrigé de ce problème trouvé sur la toile ?

[attachment 26263 CapesBlanc-Symplectique.PDF]

Amicalement.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Capes Blanc - Symplectique.PDF (103 KB)
JLT
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
avatar
Je crois que c'était un problème de l'X d'il y a quelques années.
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
C'est le sujet de l'X 2001 filière PC (math 2).
On trouve un corrigé à cette adresse:
corrigé1 X2001 PC2
un autre ici:
corrigé2 X2001 PC2
un troisième:
corrigé3 X2001 PC2



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par jandri.
bs
Re: QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
il y a six années
avatar
Bonjour,

Oui thumbs down c'est effectivement le sujet X 2001 filière PC (math 2), énoncé en pièce jointe ci-dessous.
[attachment 26301 X2001PC2.pdf]

Le site officiel de Jean-Marie Souriau continue de vivre comme son oeuvre également, le site se trouve ici : [www.jmsouriau.com]

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - X 2001 PC (2).pdf (84.7 KB)
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 655, Messages: 1 321 394, Utilisateurs: 24 147.
Notre dernier utilisateur inscrit Topos.


Ce forum
Discussions: 874, Messages: 11 270.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page