QDV 13 & H64: Sourions à Souriau
Bonjour à toutes et à tous;
Le 15 mars dernier (2012), sartorius nous apprenait le décès de Jean-Marie Souriau, l'un des pères fondateurs de la géométrie symplectique.
Le Comité du Vendredi propose d'honorer la mémoire de Jean-Marie Souriau dans le cadre de cette QDV 13.
Au tout début de cette vidéo enregistrée en 2010
Jean-Marie Souriau évoque brièvement deux résultats :
Souriau 1 : quelle est la propriété que possèdent les diviseurs d'un diviseur d'un nombre ?
Souriau 2 : à quoi correspond la limite de la moyenne égale à $\dfrac{\pi^{12}}{893025}$ ?
Amicalement. Bernard p/o Le Comité du Vendredi.
Le 15 mars dernier (2012), sartorius nous apprenait le décès de Jean-Marie Souriau, l'un des pères fondateurs de la géométrie symplectique.
Le Comité du Vendredi propose d'honorer la mémoire de Jean-Marie Souriau dans le cadre de cette QDV 13.
Au tout début de cette vidéo enregistrée en 2010
Jean-Marie Souriau évoque brièvement deux résultats :Souriau 1 : quelle est la propriété que possèdent les diviseurs d'un diviseur d'un nombre ?
Souriau 2 : à quoi correspond la limite de la moyenne égale à $\dfrac{\pi^{12}}{893025}$ ?
Amicalement. Bernard p/o Le Comité du Vendredi.
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Réponses
Pour Souriau 2, je dirais la valeur particulière de'une fonction hypergéométrique généralisée.
Pour Souriau 2 il s'agit d'un cas particulier de la formule:
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}\sigma_s(d)\sim\dfrac{\zeta(s+1)^2}{s+1}n^{s+1}$ où $\sigma_s(n)=\displaystyle\sum_{d|n}d^s$ et $\zeta$ désigne la fonction de Riemann..
Pour $s=5$: $\displaystyle\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}\sigma_5(d)\sim\dfrac{\pi^{12}}{6\times 893025}n^{6}$.
La démonstration est analogue à celle de:
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma_s(k)\sim\dfrac{\zeta(s+1)}{s+1}n^{s+1}$
(tu) et merci jandri pour le Souriau 2.
Ton aisance à généraliser les différentes questions posées sur notre forum comme lors de la QDV 5 ici ou encore là laisse admiratif.
Effectivement $\zeta(6)= \dfrac{\pi^6}{945}$ et $945^2=893025.$
Sais-tu, ou tout autre intervenant, où trouver une démonstration des deux résultats que tu énonces ? Merci et bonne journée.
Amicalement.
Au départ je connaissais l'équivalent pour la moyenne de la somme des diviseurs:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma(k)\sim\dfrac{\pi^2}{12}n^2$
Une démonstration figure page 93 du livre" Autour du nombre pi" de Pierre Aymard et Jean-Pierre Lafon chez Hermann.
Elle est basée sur $ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma(k)=\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}d=\sum_{(x,y) , 1\le xy\le n}y=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^{[ n/x]}y$.
On généralise sans problème à:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma_s(k)\sim\dfrac{\zeta(s+1)}{s+1}n^{s+1}$ où $\sigma_s(n)$ est la somme des puissances $s$ des diviseurs de $n$.
A l'aide de cet équivalent j'ai eu l'idée d'obtenir de manière analogue:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^n\sum_{d\vert k}\sigma_s(d)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^{[ n/x]}\sigma_s(y)\sim\dfrac{\zeta(s+1)^2}{s+1}n^{s+1}$.
Jean-Marie Souriau a du oublier le facteur $\dfrac1{6}$ mais on lui pardonne volontiers (il en parle plus de soixante ans après l'avoir cherché!)
Merci jandri pour ces compléments et pour la référence.
Souriau 3 : un peu de symplectique...
Effectivement, pas possible de rendre hommage à Jean-Marie Souriau l'un des pères fondateurs de la géométrie symplectique sans aborder ici quelques objets symplectiques.
Ci-dessous un très joli énoncé de problème proposé à l'Université Henri Poincaré de Nancy 1, lors du Capes blanc du 20/09/2006, avec des matrices symplectiques, des formes symplectiques et des endomorphismes symplectiques...ben dis donc, c'est pas des charlots à Nancy !
Il serait possible de résoudre pas à pas ce problème tous ensemble, mais
1) Quelle est l'origine exacte de cet énoncé ici un peu tronqué ?
2) Pouvez-vous exhiber un corrigé de ce problème trouvé sur la toile ?
On trouve un corrigé à cette adresse:
corrigé1 X2001 PC2
un autre ici:
corrigé2 X2001 PC2
un troisième:
corrigé3 X2001 PC2
Oui (tu) c'est effectivement le sujet X 2001 filière PC (math 2), énoncé en pièce jointe ci-dessous.